2020学年四川省成都市新高考高二数学下学期期末监测试题

提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）
A ．20192
B ．1
C ．0
D ．-1
2．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=
A ．()f x
B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
3．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列
4．已知函数()ln f x x ax =-在其定义域内有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1
(0,)e B ．(,)e -∞ C ．(0,)e D ．1
(,)e e
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为
A ．22
139
x y -= B ．22193x y -= C ．22
1412x y -= D ．221124
x y -=
6．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( )
A ．A
B
C +=
B ．2B A
C = C ．()2A B C B +-=
D ．()22
A B A B C +=+ 9．如果函数的图象如下图，那么导函数'
()y f x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(1)0.2P ξ>=，则(11)P ξ-≤≤=（ ）
A ．0.4
B ．0.8
C ．0.6
D ．0.3
11．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）
A ．15
B ．14
C ．13
D ．12
12．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，ABC ∆的面积为
A ．34
B ．32
C ．34
D ．32
二、填空题：本题共4小题
13．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，其中AB ∥CD ，若1BC CD ==，60BAD ∠=︒，且侧棱与底面ABCD 所成的角均为45°，则该棱锥的体积为_________．
14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.
15．在101()2x +的二项展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）
16．高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为__________人．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数32()f x x bx ax d =+++的图象经过点()0,2P ，且在点()()
1,1M f --处的切线方程为670x y -+=.
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）求函数()y f x =的单调区间
18．函数2()21ln ()f x x ax x a =-++∈R .
（Ⅰ）若5a =时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()()2ln g x f x x =-，若函数()g x 在1
[,]x e e
∈上有两个零点，求实数a 的取值范围. 19．（6分）已知函数()325f x x ax bx ＝＋＋＋，曲线()y f x ＝在点()()
11P f ，处的切线方程为31y x ＝＋. （1）求a b ，的值；
（2）求()y f x ＝在[]3,1－
上的最大值． 20．（6分）已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形, //,AB CD AC BD ⊥, 垂足为,H PH 是四棱锥的高,E 为AD 中点,设 1.AH =
（1）证明：PE BC ⊥；
（2）若60APB ADB ∠=∠=，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．
21．（6分）设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.
(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；
(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．
22．（8分）某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．）
（1）根据以上数据完成下列22⨯的列联表；
（2）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析． 主食蔬菜 主食肉类 合计
50岁以下
50岁以上 合计
参考公式：()()()()()
2
2n ad bc k a c b d a b c d -=++++ ()20P K k ≥ 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】
【分析】
首先采用赋值法，令12x =，代入求值201932019120232019112...022222a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝
⎭，通分后即得结果.
【详解】 令12
x =， 201932019120232019112 (022222)
a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭, 20192018201732019012201820191202320192019
222...2...022222a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅++++++==， ∴ 2019201820170122018201922220a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=.
故选：C
【点睛】
本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.
2．D
【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以
()()g x g x -=-，应选答案D ．
3．D
【解析】
【分析】
由折线图逐项分析即可求解
【详解】
选项A ，B 显然正确；
对于C ，2.9 1.60.81.6
->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错.
故选：D
【点睛】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
4．A
【解析】
分析：由题意可得()0f x =即ln x a x
=有两个不等的实数解．令ln x g x x =（），求出导数和单调区间、极
值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论． 详解：函数()ln f x x ax =-在其定义域内有两个零点，
等价为()0f x =即ln x a x
=有两个不等的实数解．令()ln ,0x g x x x =>（），21ln x g x x -'=（） ， 当x e ＞ 时，0g x g x （）＜，（）'递减；当0x e ＜＜ 时，0g x g x '（）＞，（）递增．g x （） 在x e =处取得极
大值，且为最大值1e
．当0x y →+∞→， ． 画出函数y g x =（） 的图象，
由图象可得10a e
＜＜ 时，y g x =（） 和y a =有两个交点，
即方程有两个不等实数解，()f x 有两个零点．
故选A ．
点睛：本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，属于中档题． 5．A
【解析】
【详解】
分析：由题意首先求得A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后利用离心率求解a 的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c>0），则A B x x c ==， 由22221c y a b
-=可得：2
b y a =±， 不妨设：22,,,b b A
c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=， 据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22
222bc b bc b d c a b
++==+， 则12226bc d d b c
+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a
==+=+=， 据此可得：2
3a =，则双曲线的方程为22
139x y -=.
本题选择A 选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22
220x y a b
λλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.
6．D
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，由充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.
【详解】
因为{}n a 是公比为q 的等比数列，
若1n n a a +>对任意*N n ∈成立，则111n n a q a q ->对任意*N n ∈成立，若10a >，则1q >；若10a <，则
01q <<；所以由“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”不能推出“1q >”；
若1q >，10a <，则111n n a q a q -<，即1n n a a +<；所以由“1q >”不能推出“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”； 因此，“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查既不充分也不必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.
7．B
【解析】
【分析】
当αβ⊥时，若l α⊂，则推不出//l α；反之//l α可得αβ⊥，根据充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得到答案．
【详解】
当αβ⊥时，若l α⊂且l β⊥，则推不出//l α，故充分性不成立；
当//l α时，可过直线l 作平面γ与平面α交于m ，
根据线面平行的性质定理可得//l m ，又l β⊥，所以m β⊥，
又m α⊂，所以αβ⊥，故必要性成立，
所以“αβ⊥”是“//l α”的必要不充分条件．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，关键是掌握充分条件和必要条件的定义，判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ．
8．D
【解析】
分析：由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.
详解：由等比数列的性质可知，
等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和，
第三个n 项和仍然构成等比数列，
则有,,A B A C B --构成等比数列，
()()2
B A A
C B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-， ()22A B A B C ∴+=+，故选D.
点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.
9．A
【解析】
试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A.
考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
10．C
【解析】
分析：根据随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，得到正态曲线关于0x =对称，根据(1)0.2P ξ>=，得到对称区间上的概率，从而可求()11P ξ-≤≤．
详解：由随机变量ξ服从正态分布()20,N σ
可知正态密度曲线关于y 轴对称，
而(1)0.2P ξ>=，
则10.2P
ξ-=（＜）， 故111110.6P
P P （）（＞）（＜）ξξξ-≤≤=---= ， 故选：C ．
点睛：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
11．D
【解析】
分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球. 详解：111223122412
C C C P C A ==. 点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为1132353310
C C A ⨯=. 12．A
【解析】
【分析】
根据已知求出b 的值，再求三角形的面积.
【详解】
在ABC ∆
中，301C c a =︒==，，
由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅，
即2320b b -+=，
解得：1b =或2b =.
∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.
∴ABC ∆
的面积为
111sin 1222ab C =⨯=故选A.
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题
13．34
【解析】
【分析】
过D 作DE AB ⊥于E ，求得12AE =，3DE =，11222AB =+⨯=，设O 为AB 的中点，则1OA OB OC OD ====，由题意得顶点P 在底面ABCD 的射影为O ，且1PO =，再根据体积公式即可求出答案．
【详解】
解：过D 作DE AB ⊥于E ，
∵1BC CD ==，60BAD ∠=︒，
∴12AE =，32
DE =，∴11222AB =+⨯=， 设O 为AB 的中点，则1OA OB OC OD ====， ∵侧棱与底面ABCD 所成的角均为45°，
∴顶点P 在底面ABCD 的射影到ABCD 各顶点的距离相等，
即为等腰梯形ABCD 的外接圆的圆心，即为点O ，
∴PO 为四棱锥的高，即PO ⊥平面ABCD ，
∴1PO =，
∴该棱锥的体积()113312132P ABCD V -=⨯⨯+=， 故答案为：
34
． 【点睛】 本题主要考查棱锥的体积公式，考查线面垂直的的性质，考查推理能力，属于中档题． 14．16
【解析】
以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1，
故111111326V =⋅⋅⋅⋅= 15．45256
【解析】 【分析】
根据二项式定理展开式的通项公式,即可求得2x 项的系数. 【详解】
二项式展开式的通项公式为()
1011012r
r
r
r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
所以当8r =时为2x 项
则()8
2
8
2910
1452256T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭
所以2x 项的系数为45256
故答案为: 45256
【点睛】
本题考查了二项式定理展开式的应用,求指定项的系数,属于基础题. 16．6 【解析】
分析：根据分层抽样的定义直接计算即可. 详解：设抽取男生的人数为x ，
因为男生36人，女生12人，从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本， 所以
8116486366
x x =⇒=⇒=， 取男生的人数为6，故答案为6.
点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）f （x ）=x 2﹣2x 1﹣2x+1；（1）f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+
,+∞）；单调减区间为
（1﹣
,1+
）.
【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）求出导函数
'()f x ，题意说明(0)2f =，()11f -=，'(1)6f -=，由此可求得,,a b d ；
（1）解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间. 详解：（1）∵f （x ）的图象经过P （0，1），∴d=1， ∴f （x ）=x 2+bx 1+a x+1，f'（x ）=2x 1+1bx+a ． ∵点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0 ∴f'（x ）|x=﹣1=2x 1+1bx+a =2﹣1b+a =6①，
还可以得到，f （﹣1）=y=1，即点M （﹣1，1）满足f （x ）方程，得到﹣1+b ﹣a+1=1② 由①、②联立得b=a =﹣2 故所求的解析式是f （x ）=x 2﹣2x 1﹣2x+1． （1）f'（x ）=2x 1﹣6x ﹣2．令2x 1﹣6x ﹣2=0，即x 1﹣1x ﹣1=0.解得x 1=1- ,x 1=1+
.
当x<1-,或x>1+
时，f'（x ）>0；当1-<x<1+
时，f'（x ）<0.
故f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣
,1+
）
点睛：（1）过曲线()y f x =上一点00(,())x f x 处的切线方程是000()'()()y f x f x x x -=-；（1）不等式
'()0f x >解集区间是函数()f x 的增区间，不等式'()0f x <的解集区间是()f x 的减区间.
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）(]
3,2a e ∈. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）当5a =时，()()()411 x x f x x --=
'，解()f x '不等式则单调区间可求；
（Ⅱ）
()221ln g x x ax x =-+-在1
,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点，等价于221ln ax x x =+-在1
,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有两解，
分离参数1ln 2x a x x x =+-，构造函数()1ln 12,,x h x x x e x x e ⎡⎤
=+-∈⎢⎥⎣⎦
，求导求其最值即可求解 【详解】
（Ⅰ）当5a =时，()2
251ln f x x x x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，
()()()411145x x f x x x x
='--=-+
当10,
4x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，∴ ()f x 在10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
和()1,+∞上单调递增.
当1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴ ()f x 在1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减.
故 ()f x 的单调增区间为 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞；单调减区间为1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
（Ⅱ）因为()()2
2ln 21ln g x f x x x ax x =-=-+-在1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，
等价于221ln ax x x =+-在1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有两解，
1ln 2x a x x x
=+
- 令()1ln 12,,x h x x x e x x e ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦ 则()2
222ln x x h x x -+'= 令()2
122ln ,,t x x x x e e ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦ 则()2
41
0x t x x
'+=>
∴ ()t x 在1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增，又t(1)=0
∴ ()t x 在1,1x e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭上有()0t x <，()t x 在(]1,x e ∈有t(x)>0
∴ 1,1x e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，(]1,x e ∈时，()0h x '>
h(x)在1,1x e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增.
∴ ()()min 13h x h ==
12
2h e e e
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2h e e =， 由1ln 2x a x x x =+
-有两解及()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭
可知. ∴ (]3,2a e ∈
【点睛】
本题考查函数的单调区间及函数最值，不等式恒成立，分离参数法，零点个数问题，准确计算是关键，是中档题
19．（1）2a ＝，4b ＝－；（2）1 【解析】 【分析】
(1)依题意，由()f 14＝，得到a b 2＋＝－，再由()f'13＝，得到2a b 0＋＝，联立方程组，即可求解；
(2)由(1)，求得()()()f'x 3x 2x 2＝－＋，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案． 【详解】
(1)依题意可知点()()
P 1
f 1，为切点，代入切线方程y 31x ＝＋可得，()f 13114⨯＝＋＝， 所以()f 1154a b ＝＋
＋＋＝，即b 2a ＋＝－， 又由()3
2
f x 5x ax bx ＝＋＋＋
，则()2
f'x 32x b x a ＝＋＋， 而由切线y 31x ＝＋的斜率可知()f'13＝，∴32b 3a ++＝，即2b 0a +＝，
由2
20
a b a b +=-⎧⎨
+=⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩，
∴a 2＝，b 4＝－．
(2)由(1)知()3
2
f x x 2x 4x 5＝－++，则()()()2
f x 3x 4x 43x 2x 2+'+＝
－＝－， 令()f'x 0＝，得2
x 3
=
或x 2＝－， 当x 变化时，()f x ，()f'x 的变化情况如下表：
∴()f x 的极大值为()f 213－＝
，极小值为295
f 327⎛⎫=
⎪⎝⎭
， 又()f 38－＝
，()f 14＝，所以函数()f x 在[]
3,1－上的最大值为1． 【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
20．（1）证明见解析；（2）. 【解析】
分析：（1）以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明PE ·BC ＝0即得PE⊥BC.（2）利用线面角的向量公式求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．
详解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x
，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．
(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，则D(0，m,0)，E(1
2
，
2
m
，0)．
可得PE＝(1
2
，
2
m
，－n)，BC＝(m，－1,0)．因为PE·BC＝
2
m
-
2
m
＋0＝0，
所以PE⊥BC.
(2)由已知条件可得m＝－
3
3
，n＝1，
故C(－3
，0,0)，D(0，－
3
，0)，E(
1
2
，－
3
，0)，
P(0，0,1)．设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，
则
n HE
n HP
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，即
13
2
x y
z
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
因此可以取n＝(130)．
由PA＝(1,0，－1)，可得|cos〈PA，n〉|＝
2
4
，
所以直线PA与平面PEH
2
点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查直线平面所成角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的
角和解三角形.方法二：（向量法）•
sin
AB n
AB n
α=，其中AB是直线l的方向向量，n是平面的法向量，α
是直线和平面所成的角.
21．（1）
416
39
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，（2）)2，，82
3
-
【解析】
试题分析：（1）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx，则S1为直线OP 与曲线y=x2
当x∈（0，t）时所围面积，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2为直线OP与曲线y=x2当x∈（t，2）时所围面积，所以，
S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根据S1=S2就可求出t值．
（Ⅱ）由（2）可求当S1+S2，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S1+S2有最小值．
试题解析：
（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），
直线OP的方程为y=tx
S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，
因为S1=S2，，所以t=，点P的坐标为
416 39⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
（2）S=S1+S2==
S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=
因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0
所以，当t=时，S min 842
-
P点的坐标为)22，．
点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．
22．（1）见解析（2）能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）完善列联表得到答案.
（2）计算得到210 6.635
K=>，比较数据得到答案.
【详解】
（1）
主食蔬菜主食肉类合计
50岁以下 4 8 12
50岁以上16 2 18
（2）
()2
2
30812830120120
10 6.635
1218201012182010
K
-⨯⨯
===>
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄
有关．
【点睛】
本题考查了列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为（ ） A ．216 B ．288
C ．312
D ．360
2．设函数
'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使
得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,
)
C ．(,1)(1,0)-∞--
D ．(0,1)(1,)⋃+∞
3．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线:()4
l R π
θρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的
圆的极坐标方程为（ ） A
．)4
πρθ=+
B
．)4
π
ρθ=-
C
．)4
π
ρθ=+
D
．)4π
ρθ=--
4．函数()ln 2x x
f x x
-=的图象在点()1,2-处的切线方程为( )
A ．240x y --=
B ．20x y +=
C ．30x y --=
D ．10x y ++=
5．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，
224,23,()2
,34,x x x f x x x x
⎧-+≤≤⎪
=⎨+<≤⎪
⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11
(,)[,)88
-∞-+∞ B ．11[,0)(0,]48
-
C ．(0,8]
D ．11
(,][,)48
-∞-+∞
6．若2()24ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．(1,0)-
B ．(1,0)
(2,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞
7．已知a b c d ,,,是四个互不相等的正数，满足a b c d +>+且a b c d -<-，则下列选项正确的是（ ）
A ．2222a b c d +>+
B ．2
2
2
2
a b
c d ->-
C
+<
D
<8．在极坐标系中，曲线1C
的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=，若曲线
1C 与2C 的关系为（ ）
A ．外离
B ．相交
C ．相切
D ．内含
9．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足
()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=
A ．()f x
B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
10．曲线()0bx
y ae
a =>作线性变换后得到的回归方程为10.6u x =-，则函数2y x bx a =++的单调递
增区间为（ ） A ．()0,∞+
B ．()1,+∞
C ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．3,10⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
11．若复数(1)(2)ai i +-是纯虚数（a 是实数，i 是虚数单位），则a 等于（ ） A ．2
B ．-2
C ．
1
2
D ．12
-
12．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是 A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>
二、填空题：本题共4小题
13．已知向量()=2,1a ，()=1,2-b ，()=1,λ-c ．若()2∥c a +b ，则λ=__________．
14．平面上两组平行线互相垂直，一组由6条平行线组成，一组由5条平行线组成，则它们能围成的矩形个数是___________
15．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別是,,a b c ，已知22,2(1sin )a b c b C ==-，则 C =_______. 16．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有______种.(用数字作答)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()ln 1f x x ax =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设函数()()()21x
g x x e f x b =-+--，当1a ≥时，()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立，求满足条
件的b 最小的整数值． 18．设全集为2,{|
0},{|28}4
x x
R A x B x x -=≥=≥-.
（Ⅰ）求A ⋃（R C B ）；
（Ⅱ）若{|24},C x a x a A C A =-≤≤+⋂=，求实数a 的取值范围. 19．（6分）已知函数2
1()ln ()2
f x x a x a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若存在实数0[1,]x e ∈，使得()00f x <，求正实数a 的取值范围.
20．（6分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA=AD=2，点E 、F 、G 分别为线段PA 、PD 和CD 的中点.
（1）求异面直线EG 与BD 所成角的大小；
（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离恰为4
5
？若存在，求出线段CQ 的长；若不存在，请说明理由.
21．（6分）已知()()33sin 2f x x x πωπω⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭
()2
cos 0x ωω->的最小正周期为T π=．
(1)求43f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值； (2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是为a ，b ，c ，若()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小以及()f A 的取值范围．
22．（8分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．
（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数； （2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人． ①记X 表示选取4人的成绩的平均数，求()87P X ≥；
②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
根据能被2整除，可知为偶数.最高位不能为0，可分类讨论末位数字，即可得总个数. 【详解】
由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论： 当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有5
5A 种；
当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有114244C C A ， 综上可知，共有5114524454321244321120192312A C C A +=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+=个.
故选：C. 【点睛】
本题考查了排列组合的简单应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】 【详解】
构造新函数()()f x g x x
=
,()()()2
'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()
f x
g x x
=
单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()
0f x g x x
=
>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造
()()f x g x x
=
.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x
g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x
f x
g x e
=
，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x
g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()
2x
f x
g x e
=
，等便于给出导数时联想构造函数. 3．A
【解析】
试题分析：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方
程2
2
40x y x +-=，直线l 的直角坐标方程y x =．由2240
{x y x y x +-==，解得0{0x y ==或22x y =⎧⎨=⎩
，所以
()()0022A B ，，，，从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()2
2
112x y -+-=，即
2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为：()2
2cos sin 0ρρθθ-+=，即
()
2cos sin 4πρθθθ⎛⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
故选A ． 考点：简单曲线的极坐标方程． 4．C 【解析】 f′(x)＝
2
1lnx
x -，则f′(1)＝1， 故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. 故选C 5．D 【解析】
由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]
2,4x ∈时，()()2
24,232,34{
x x x x x
f x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，由
()()22f x f x +=，可得()()()11
2424
f x f x f x =
+=+，当[]2,0x ∈-时，[]42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[]21,1g x a a ∈-++，则有3
214918
{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时，
()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[]1,21g x a a ∈+-+，则有314
9218
{
a a +≤
-+≥
，解得1
4
a -≤．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11
,,48⎛⎫-∞-
⋃+∞ ⎪⎝
⎭
．故本题答案选D ． 点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏． 6．D 【解析】
分析：先求()f x '
，再求函数的单调增区间.
详解：由题得2242242(2)
()22x x x x f x x x x x
----=--==
' 令2
20,2 1.x x x x -->∴><-或因为x>0，所以x>2.故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 用导数求函数的单调区间：求函数的定义域D →求导'
()f x →解不等式'
()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数
的单调递增（减）区间. 7．D 【解析】 【分析】
采用特殊值法，结合已知条件，逐项判断，即可求得答案. 【详解】
A ．取10a =､3b =､12c =､0.1d =， 则它们满足a b c d +>+且|||a b c d -<-，
但是：2222103109a b +=+=，2222120.11440.01144.01c d +=+=+=，
109144.01<，
故此时有2222a b c d +<+，选项A 错误；
B ．取10a =､9b =､=17c ､1d =， 则它们满足a b c d +>+且|||a b c d -<-， 但是：2222109|10081|19a b -=-=-=，22
22171|2891|288c d -=-=-=，
故此时有2
2
2
2
a b c d -<-，选项B 错误； C ．取20a =､19b =､5c =､3d =，
=<，
20>>，
>，
>
C 错误．
综上所述，只有D 符合题意 故选：D ． 【点睛】
本题解题关键是掌握不等式的基础知识和灵活使用特殊值法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】
将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】
在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得2
4sin ρρθ=，化为普通方程得2
2
4x y y +=，
即()2
224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，
同理可知，曲线2C 的普通方程为(2
212x y -+=，
则曲线2C 是以点()
2C 为圆心，以2r =为半径的圆，
两圆圆心距为4d =
=，1222r r -=-=，
122r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.
【点睛】
本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以
()()g x g x -=-，应选答案D ．
10．D 【解析】
分析：令ln z y =，对函数bx
y ae =进行二次拟合得出a ，b 的值，代入计算即可. 详解：令ln ln ln bx
z y ae
a bx ===+
∴
ln 10.6
a b ==-，解得3,5
a e
b ==-
， ∴2
2
339510100y x x e x e ⎛⎫=-+=-+- ⎪
⎝⎭，开口向上， ∴235y x x e =-+的单调递增区间为3,10⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
故选D.
点睛：本题考查了非线性相关的二次拟合问题，选择对数变换是关键. 11．B 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】
∵复数（1+ai ）（1﹣i ）＝1+a+（1a ﹣1）i 是纯虚数，∴20
210
a a +=⎧⎨-≠⎩，解得a ＝﹣1．
故选B ． 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题． 12．C 【解析】 【分析】 【详解】
注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．
“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+>
二、填空题：本题共4小题 13．
34
. 【解析】
分析：先计算出2a b +，再利用向量平行的坐标表示求λ的值. 详解：由题得2(2,1)(2,4)(4,3)a b +=+-=-，
因为||+2c a b （），所以（-1）×（-3）-4λ=0,所以λ=3
4
. 故答案为
34
. 点睛：（1）本题主要考查向量的运算和平行向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 设
a =11(,)x y ,
b =22(,)x y ，则a ||b 12210x y x y ⇔-=.
14．150 【解析】 【分析】
分析矩形的组成：两个长，两个宽，然后利用分步乘法计数原理与排列组合思想计算可围成的矩形数. 【详解】
因为矩形由两个长，两个宽构成，
第一步选长：从6条直线中选2条，共有2
6C =15种方法， 第二步选宽：从5条直线中选2条，共有25C =10种方法， 所以可围成的矩形数为：2
2
65C C =150⋅. 故答案为：150. 【点睛】
本题考查分步乘法计数原理和排列组合的综合应用，难度一般.对于计数问题，第一步可考虑是属于分类还是分步问题，第二步可考虑选用排列或组合的思想解决问题. 15．
4
π
【解析】 【分析】
化简已知等式可得sinC ＝12
22c b
-，又a ＝b ，由余弦定理可得：cosC ＝sinC ，利用两角差的正弦函数公式
（C 4π-
）＝0，结合范围C 4π-∈（4π-，34
π），可求C 的值．。