上海市静安区实验中学九年级下学期沪教版五四制第一轮复习直角三角形(教师版)

上海市静安区实验中学九年级下学期沪教版五四制第一轮复习直
角三角形
一.选择题
1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( )
A. 90°
B. 180°
C. 270°
D. 135°
【答案】C
【解析】
【分析】
利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解．
【详解】∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-90°=270°．
故选：C．
【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于根据四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解．
2.如果三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形是（）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 图形不能确定
【答案】D
【解析】
【分析】
设△ABC中，∠A=30°，因为题意表述有一边是另一边的2倍，没有具体指出哪两条边，所以需要讨论：①a=2b，利用大边对大角的知识可得出∠B＜∠A，利用不等式可表示出C的角度范围；②b=2c，利用大边对大角的知识可得出∠C＜∠A，利用不等式可表示出B的角度范围；③c=2a，利用直角三角中，30°角所对的边等于斜边的一半，可判断∠C为90°．综合三种情况再结合选项即可做出选择．
【详解】设△ABC中，∠A=30°，
①若a=2b，则∠B＜∠A（大边对大角），
∴∠C=180°-∠A-∠B＞180°-2∠A=120°，即∠C为钝角，
∴△ABC 是钝角三角形．
②若b=2c ，a 2=b 2+c 2-2bccosA=5c 2-22223523a c c =-，＞1，可得a ＞c ， ∴∠C ＜∠A （大边对大角），
∴∠B=180°-∠A-∠C ＞180°-2∠A=120°，即∠B 为钝角，
∴△ABC 是钝角三角形；
③c=2a ，在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，可得∠C=90°，即△ABC 是直角三角形．
综上可得△ABC 可为直角三角形、钝角三角形，不能为锐角三角形．
故选：D ．
【点睛】此题考查三角形的边角关系，解题需要掌握在三角形中“大边对应大角”，及直角三角形的性质：在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，难度较大，注意分类讨论．
3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，那么下列结论错误的是（ ）
A. ∠A+∠DCB=90°
B. ∠ADC= 2∠B
C. AB=2CD
D. BC=CD
【答案】D
【解析】
【分析】 根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AD=BD ，根据等边对等角得出∠DCB=∠B ，再逐个判断即可．
【详解】A 、∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，
∴CD=AD=BD=12
AB ， ∴∠DCB=∠B ，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠DCB=90°，故本选项正确，不合题意；
B 、∵∠DCB=∠B ，∠ADC=∠B+∠DCB ，
∴∠ADC=2∠B ，故本选项正确，不合题意； C 、∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，
∴AB=2CD ，故本选项正确，不合题意；
D、根据已知不能推出BC=CD，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质的应用，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
二.填空题
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中线，若∠A=30°，CD=5cm，则BC＝____cm．
【答案】5
【解析】
【分析】
直角三角形的性质知（斜边上的中线等于斜边的一半）AB=2CD=10cm；然后利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求得BC=5cm．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是边AB上的中线，CD=5cm，
∴AB=2CD=10cm（斜边上的中线等于斜边的一半）；
又，∠A=30°（已知），
∴AB=2BC=10，
∴BC=5cm．
故答案是：5．
【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线、含30°角的直角三角形．解题关键在于掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上高，若CA＝10，AD＝5，则∠B=____°．
【答案】30
【解析】
【分析】
利用三角函数值得出∠ACD=30°，再根据三角形内角和定理即可解答.
【详解】∵CD是AB上的高,
∴CD垂直AB,∠ADC为直角
Rt△ADC中,sin∠ACD=
1
=
2
AD
AC
,所以∠ACD=30°
∠DCB=90°-∠ACD=60°
Rt△BCD中,∠B=90°-∠DCB=30°
故答案为：30.
【点睛】此题考查三角函数值，三角形内角和定理，解题关键在于掌握运算法则.
6.有一个顶角为30°的等腰三角形,若腰长为4，则腰上的高是________
【答案】2
【解析】
【分析】
根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图，∵AC=AB=4，∠A=30°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB=90°，
∴BD=1
2
AB=2，
故答案为2．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7.等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则顶角=_______°
【答案】30,150
【解析】
【分析】
分三角形是锐角三角形和钝角三角形，两种情况，即可求解．
【详解】①如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB且CD=1
2 AB，
∵△ABC中，CD⊥AB且CD=1
2
AB，AB=AC，
∴CD=1
2 AC，
∴∠A=30°．
②如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥BA的延长线于点D，且CD=1
2 AB，
∵∠CDA=90°，CD=1
2
AB，AB=AC，
∴CD=1
2 AC，
∴∠DAC=30°，
∴∠A=150°．
故答案为：30°或150°．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质及含30度的直角三角形的性质的综合运用，解题关键在于注意分类讨论思想的运用．
8.直角三角形的斜边比一直角边长4cm，另一直角边长为8cm，则它的斜边长是_____cm．
【答案】10
【解析】
【分析】
设斜边长为x，则一直角边长为x-4，再根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】设斜边长为x，则一直角边长为x-4，
根据勾股定理得，82+（x-4）2=x2，
解得x=10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
9.如图所示，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形D，C，A，B的面积分别为1，2，3，4，则正方形G的面积为________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据勾股定理可知正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，同法可求正方形F、G的面积．
【详解】记正方形的面积分别为A、B、C、D、E、F、G．
根据勾股定理可知：E=A+B=7，F=C+D=3，G=E+F=10，
故答案为10．
【点睛】此题考查勾股定理、正方形的面积，解题的关键是记住直角三角形的三边上的正方形的面积之间的关系，属于中考常考题型．
10.在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝8cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕EF，则EF=________cm．
【答案】5
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出DE和CF，再利用勾股定理即可求出EF．
【详解】∵AD=4cm，AB=8cm，
∴DE2=AE2+AD2，
由折叠性得DE=BE，CF=C′F，
∴DE 2=（8-DE ）2+42，解得DE=5，
∵DF 2=DC′2+C′F 2，即（8-CF ）2=CF 2+42
解得CF=3，
∴EF== ．
故答案为：
【点睛】此题考查翻折变换，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三.解答题
11.已知：三角形三边的长分别为a =1，b c =
=．求它最长边上的高．
【答案】
3 【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式可知．
【详解】∵一个三角形的三边的长分别是a =1，b c =
=，
又∵12+）2=）2，
∴该三角形为直角三角形．
∴这个三角形最长边上的高×1
2×3
．
． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用．根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形是解题的关键．
12.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上的一点，且在BD 的垂直平分线EG 上，DE 交AC 于点F ，求证：点E 在AF 的垂直平分线上．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到BE=DE，根据等腰三角形的性质得到∠BEG=∠DEG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，等量代换得到∠EAF=∠AFE，根据得到结论．
【详解】∵EG垂直平分BC，
∴BE=DE，
∴∠BEG=∠DEG，
∵∠ACB=90°，
∴EG∥AC，
∴∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，
∴∠EAF=∠AFE，
∴AE=EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13.已知一直角三角形的两边长是3和4，求它的第三边长的中线．
【答案】2.5或2
【解析】
【分析】
分为两种情况，当3和4是直角边时，当4是斜边，3是直角边时，求出斜边，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】当3和422
，
34
斜边上中线为2.5；
当4是斜边，3是直角边时，
斜边上的中线为2；
故答案为：2.5或2．
【点睛】此题考查直角三角形斜边上中线性质和勾股定理的应用，能求出符合的所有情况是解题的关键．14.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．求旗杆的高度．
【答案】12米
【解析】
【分析】
设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，
根据题意得：（x+1）2=x2+52，即2x-24=0，
解得：x=12．
答：旗杆的高度是12米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解一元一次方程，根据勾股定理列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
15.如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°
【详解】
证明：连接AC.
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理,得AC2=202+152=625
又CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2
∴∠D=90°，
∴∠A+∠C=360°−180°=180°
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多边形内角与外角，借助辅助线方法是解决本题的关键
16.已知：如图，AB∥CD，E
是AD中点，CF⊥AB于F 求证:CE=EF．【答案】证明见解析【解析】【分析】取CF的中点为G，连接EG，利用已知条件易证EG是梯形AFCD的中位线，所以EG∥AB，因为CF⊥AB，
所以CF⊥EG，又因为G是CF的中点，所以EG是CF的垂直平分线，由垂直平分线的性质即可得到CE=CF．【详解】取CF的中点为G，连接EG，
∵AB∥CD，E是AD的中点
∴EG是梯形AFCD的中位线，
∴EG∥AB，
∵CF⊥AB，
∴CF⊥EG，
又∵G是CF的中点，
∴EG是CF的垂直平分线，
∴CE=EF．
【点睛】此题考查梯形的性质以及梯形中位线定理的性质、平行线的性质和线段垂直平分线的性质运用，解题的关键是正确添加辅助线，得到EG和CF的位置关系．。