安徽省六校教育研究会2023年高三年级入学素质测试数学试题含解析

安徽省六校教育研究会2023年高三年级入学素质测试
数学试题卷
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上） 1．设复数ππcos isin 33z =+，则在复平面内1
z z
+对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合(){},1A x y xy ==，(){},Z,Z B x y x y =∈∈，则A B ⋂有（ ）个真子集.
A ．3
B ．16
C ．15
D ．4
3．已知0a >且1a ≠，“函数()x f x a =为增函数”是“函数()1
a g x x -=在()0,∞+上单调递增”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km ．若此时远火点距离约为11945km ，火星半径约为3395km ，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（ ） A ．11680km B ．5840km C ．19000km D ．9500km
5．如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为
3
19cm 3
，则该容器模型的表面积为（ ） A
．()
2
9cm
B ．219cm
C
．()2
9cm
D
．()
2
9cm
6．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，13
24
AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．外心
C ．重心
D ．内心
7．已知向量,a b 的夹角为60°的单位向量，若对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，1221
12
11x nx x nx a b x x ->--，则m 的
取值范围是（ ）
A ．)2
e ,⎡+∞⎣ B ．[)e,+∞ C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
D ．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 8．已知直线l 与曲线x e y =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点．若OAB ∆的面积为
e
1
，则点P 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.请把正确答案涂在答题卡上） 9．以下四个命题中，真命题的有（ ）
A ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好；
B ．回归模型中残差是实际值i y 与估计值ˆy
的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高； C ．对分类变量x 与y 的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.
D ．已知随机变量X 服从二项分布1B ,3n ⎛⎫
⎪⎝⎭
，若()316E X +=，则6n =.
10．2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一
股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数)sin()(ϕω+=x A x f
)3
,,(π
ϕω<
∈*N A 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当
2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）
A ．2ω=
B ．π3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．π4f x ⎛⎫'+ ⎪⎝⎭的图像关于原点对称
D ．()f x '在区间π,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调
11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则（ ）
A ．异面直线1DD 与1
B F
B ．点P 为正方形1111D
C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP
C ．过点1,,
D
E
F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为D ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为6π
12．对于正整数n ，)(n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数)(n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为ϕ函数，例如(10)4ϕ=，（10与1，3，7，9均互质）则（ ） A ．(12)(29)32ϕϕ+= B ．数列{}(2)n ϕ不是单调递增数列
C ．若p 为质数，则数列{}()n
p ϕ为等比数列 D ．数列(3)n n ϕ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前4项和等于5827 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在n
x
⎛ ⎝
的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含3
x 项的系数为______．
14．曲线()()()ln f x x m x m =+∈R 在点()()1,1f 处的切线平分圆22(2)(1)5x y -+-=，则函数()y f x =的零点为____.
15．已知函数π()3sin (04,0π)6f x x ωϕωϕ⎛⎫
=-+<<<< ⎪⎝⎭
，若
π32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()f x f x =，则π6f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
_________.
16．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l 与x 轴的交点为N ，过抛物线上一点P 作l 的垂线，垂足为Q ，若()3
,0M ，
PF 与MQ 相交于点T ，且TN TP MT +=，则点T 的纵坐标为______．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）等差数列{}n a (n ∈N*)中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数都不在下表的同一列.
（1）请选择一个可能的{1a ，2a ，3a }组合，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）记（1）中您选择的{}n a 的前n 项和为n S ，判断是否存在正整数k ，使得1a ，k a ，2+k S 成等比数列．若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分12分）某游乐园内有一个池塘，其形状为直角ABC ∆，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏．
（1）若在ABC ∆内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且
2π
3
CPB ∠=
，求连廊AP PC +的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF ∆连廊供游客观赏，如图②，使得DEF ∆为正三角形，求DEF ∆连廊长的最小值．
19．（本题满分12分）2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到
社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测
结果成阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
（1）假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案： 方案一：将55位居民分成11组，每组5人； 方案二：将55位居民分成5组，每组11人； 试分析哪一个方案的工作量更少？
（参考数据：50.980.904=，110.980.801=）
20．（本题满分12分）图1是直角梯形ABCD ，CD AB //，∠D ＝90°，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且∠BCE ＝60°，以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且61=AC ．
（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ．
（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC EP 与平面1ABC 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分12分）已知双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为)
F
，渐近线与抛物线
2
2:2(0)C y px p =>交于点⎛ ⎝⎭
.
（1）求12,C C 的方程；
（2）设A 是1C 与2C 在第一象限的公共点，作直线l 与1C 的两支分别交于点,M N ，便得AM AN ⊥. （i ）求证：直线MN 过定点；
（ii ）过A 作AD MN ⊥于D .是否存在定点P ，使得DP 为定值？如果有，请求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由.
22．（本题满分12分）已知函数()21
x f ax x e -=-．
（1）当1
2
a =
时，证明：()f x 在R 上为减函数．
π⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦时，()cos
f x a x
≤，求实数a的取值范围．
（2）当0,
2
x
安徽省六校教育研究会2023年高三年级入学素质测试数学
参考答案
1．【答案】D
【解析】12z =
，1i
11322111i 222222z z z -+=+=++-⎝⎭⎝⎭
，则其在复平面对应的点为3,22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，即在第四象限，故选：D 2．【答案】A 【解析】(){},1A x y xy =
=，(){},Z,Z B x y x y =∈∈，则()(){}1,1,1,1A B =-- ，
真子集个数为2213-=，故选：A 3．
【答案】C 【解析】函数()x
f x a =为增函数,则1a >,此时10a ->,故函数()1a
g x x -=在()0,∞+上单调递增;当()1a g x x -=在
()0,∞+上单调递增时,,10a ->,所以1a >,故()x f x a =为增函数，故选:C
4．【答案】A
【解析】设椭圆的方程为22
221x y a b
+=（0>>b a ），由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为a c -，最
大值为a c +，根据题意可得近火点满足33952653660a c -=+=①，远火点满足33951194515340a c +=+=②，由②-①得211680c =，故选：A 5．
【答案】C 【解析】由题意得该容器模型为正四棱台，上、下底面的边长分别为2cm ，3cm.
设该棱台的高为h
，则由棱台体积公式(13
V h S S =+下上，得：191
(496)33h =⨯⨯++得1cm h =，
所以侧面等腰梯形的高)cm h '=，所以(
)()
2232499cm 2
表+=⨯+=S 故选：C 6．【答案】D
【解析】因为3,2AB AB AC AC ==== ,∴133242
AB AC ==
，
设0013,24AB AB AC AC ==
,则00AB AC = ，
又001324
AD AB AC AB AC =+=+ ，∴AD 在BAC ∠的角平分线上，
由于三角形中AB AC ≠,故三角形的BC 边上的中线，高线，中垂线都不与BAC ∠的角平分线重合，
故AD 经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，故选D.
7．
【答案】A 【解析】已知向量,a b 的夹角为60°的单位向量，则11cos 601122
a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=
所以
1
a b -= 所以对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，1221
12
1n 1n 1x x x x x x ->-，则122112
1n 1n x x x x x x -<-所以
2121211n 1n 11x x x x x x -<-，即21211n 1ln 1x x x x --<，设()ln 1
x f x x
-=，即()f x 在(),m +∞上单调递减又()0,x ∈+∞时，()2
2ln 0x
f x x
'-=
=，解得2e x =，所以()
20,e x ∈，0)(>'x f ，()f x 在()
20,e x ∈上单调递增；()
2e ,x ∞∈+，()0f x '<，()f x 在()
2e ,x ∞∈+上单调递减，所以2e m ≥，故选：A.
8．
【答案】C 【解析】设直线l 与曲线x e y =相切于00(,)P x y ，又e x y '=，所以直线l 的斜率为0e x k =，方程为000e e ()x x y x x -=-，
令0x =，0
0(1)e x y x =-；令0y =，01x x =-,即0(1,0)A x -，00(0,(1)e )x B x -.
所以002000111
1(1)e (1)e 222
x x OAB S OA OB x x x =⨯⨯=⨯-⨯-=-△.设21()(1)e 2x f x x =
-，则[]211()2(1)(1)e (1)(1)e 22
x
x f x x x x x '⎡⎤=--+-=+-⎣⎦.由()0f x '>，解得1x <-或1x >；由()0f x '<，解得11x -<<.所以()f x 在()1-∞-，
，()1+∞，上单调递增，在()11-，上单调递减.21(1)e e f -=>，43252511(4)2e 2e e e f -==⨯<，(1)0f =，2
e 1
(2)2e
f =>，且恒有()0f x ≥成立，
如图，函数()f x 与直线1
e
y =有3个交点.所以点P 的个数为3，故选：C.
9．
【答案】AB 【解析】对于A ，由相关指数的定义知：2R 越大，模型的拟合效果越好，A 正确；
对于B ，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B 正确；对于C ，由独立性检验的思想知：2χ值越大，“x 与y 有关系”的把握程度越大，C 错误.对于D ，()()31316E X E X +=+= ，()53E X ∴=
，又1B ,3X n ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()5
33
n E X ∴=
=，解得：5n =，D 错误.故选：AB.10．
【答案】BC 【解析】()()sin f x A x =+ωϕ，则()()cos f x A x ωωϕ'=+，由题意得()(2ππ)2f f '=，即sin cos A A ϕωϕ=，故tan ϕω=，因为π3
ϕ<
，所以tan ϕω=<*N ω∈则，1=ω，4
π
ϕ=，故选项A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4-，所以()f x '的最小值为4-，即4A ω-=-，得4A =，所以()π4sin 4f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则
πππππππ14sin 4sin cos cos sin 433434342222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选项B 正确；因为()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以π4sin 4f x x ⎛
⎫'+=- ⎪⎝⎭为奇函数，则选项C 正确；
()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝
⎭，由π03x -<<，得πππ1244x -<+<，因为函数4cos y x =在π,012⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增，
在π0,4⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
上不单调，则选项D 错误，故选：BC
11．
【答案】BCD 【解析】对于A 项，∵11
//DD BB ∴在Rt △BB 1F 中∠BB 1F 即为异面直线DD 1与B 1F 所成的角，
∴111cos 5BB BB F B F ∠=
==，∴异面直线DD 1与B 1F
所成的角的余弦值为
5
.故A 项错误；对于B 项，取A 1D 1的中点M ，D 1C 1的中点N ，连接MN ，DM ，DN ，则DM ∥B 1F ，DN ∥B 1E ，
又∵DM ⊄面B1EF ，1B F ⊂面B1EF ，DN ⊄面B 1EF ，1B E ⊂面B 1EF ，∴DM ∥面B 1EF ，DN ∥面B 1EF ，
又∵DM DN D = ，DM DN ⊂、面DMN ，∴面DMN ∥面B 1EF ，又∵DP ∥面B 1EF ，P ∈面A 1B 1C 1D 1∴P 轨迹为线段MN ，∴在△DMN 中，过D 作DP ⊥MN ，此时DP 取得最小值，在Rt △DD 1M 中，D 1M=1，D 1D=2
，∴DM =在Rt △DD 1N 中，D 1N=1，D 1D=2
，∴DN =在Rt △MD 1N 中，D 1N=1，D 1M=1
，∴MN =∴如图，在Rt △DPN
中，2
DP ===
.故B 项正确；对于C 项，过点D 1、E 、F 的平面截正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1所得的截面图形为五边形D 1MEFN
则D 1M ∥NF ，D 1N ∥ME ，如图，以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D—xyz ，设AM=m ，CN=n ，则(2,0,)M m ，(0,2,)N n ，(2,1,0)E ，(1,2,0)F ，1(0,0,2)D ，
∴11(0,1,),(0,2,2),(2,0,2),(1,0,)ME m D N n D M m NF n =-=-=-=-
，
∵D 1M ∥NF ，D 1N ∥ME ，
∴2223
222
3m m n n m n ⎧=
⎪-=-⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎪⎩
∴22,33AM CN ==∴1144,33A M C N ==
∴在Rt △D 1A 1M 中，D 1A 1=2，143A M =
，∴1D M =
1D N =，在Rt △MAE 中，23AM =
，AE=1
，∴3ME =
，同理：3
FN =在Rt △EBF 中，BE=BF=1
，∴EF =，
∴112223
3
D M D N M
E FN E
F ++++=⨯
+⨯+即：过点D 1、E 、F 的平面截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1
所得的截面周长为故C 项正确；对于D 项，如图所示，取EF 的中点O 1，则O 1E=O 1F=O 1B ，过O 1作OO 1∥BB 1，且使得111
12
OO BB =
=，则O 为三棱锥B 1—BEF 的外接球的球心，所以OE 为外接球的半径，
∵在Rt △EBF
中，EF =
∴2222213(
122
EF R OE OO ==+=+=∴2
46O S R ππ==球.故D 项正确，故选：BCD.
12．
【答案】ABC 【解析】根据题意可知，12与1，5，7，11互质，29与12328⋅⋅⋅⋅⋅⋅、
、、共28个数都互质，即(12)(29)42832ϕϕ+=+=，所以A 正确；
由题意知(2)1,(4)2,(6)2ϕϕϕ===，可知数列{}(2)n ϕ不是单调递增的，B 正确；
若p 为质数，则小于等于n p 的正整数中与n p 互质的数为1,,1,1,,21,,21,1n
p p p p p ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，
即每p 个数当中就有一个与n
p 不互质，所以互质的数的数目为1n
n
n n p p p p
p --=-个，故1
()(1)n
n p p p
ϕ-=-，所以1
12
()(1)()(1)n n n n p p p p p p p
ϕϕ----==-为常数，即数列{}()n p ϕ为等比数列，故C 正确；根据选项C 即可知1(3)23n n ϕ-= ，数列(3)n
n ϕ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前4项和为123458
26185454+++=，故D 错误，故选：ABC 13．
【答案】15【解析】由题知6n =
，则()3662
16
61r
r
r r
r
r r T C x C x
-
-+⎛=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎝
，
令3632
r
-
=，得2r =，所以展开式中3x 的系数为226(1)15C -=.故答案为：15.
14．
【答案】1【解析】因为()()()ln f x x m x m =+∈R ，所以()()
1ln ln 1m
f x x x m x x x
'=++=++，曲线在点()()1,1f 处的切线斜率()1ln111k f m m ==++=+'，又()()11ln10f m =+=，则切线方程为：()()11y m x =+-，即()110m x y m +---=，
若该切线平分圆22(2)(1)5x y -+-=，则切线过圆心()2,1，则()21110m m +---=，解得0m =，所以()ln f x x x =，()0,x ∈+∞，即ln 0x =，所以1x =，则()y f x =有一个零点1x =，故答案为：115．【答案】
3
2
【解析】因为()()f x f x =，所以()f x 为偶函数，所以πππ+,Z 62k k ϕ-+=∈，所以2π
π+,Z 3
k k ϕ=∈，又因为0πϕ<<，所以2π0,3k ϕ==
，所以π2π()3sin 3cos 63f x x x ωω⎛
⎫=-+= ⎪⎝
⎭，
又因为π32f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，所以π3cos 32ω=-，所以π(21)π,Z 2k k ω=+∈，所以2(21)42,Z k k k ω=+=+∈，
又因为04ω<<，所以0,2k ω==，所以()3cos 2f x x =，所以ππ33cos 632f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
.
故答案为：
3
2
16．【解析】作图如下，
由TN TP MT += 得，0,TN TP MT +-= 即TM TN TP +=- ，
又因为(1,0)F 为()3,0M ，()1,0N -的中点，所以2TM TN TF += ,所以2TF TP =-
，
所以T 为PF 的三等分点，且2TP TF =，又因为//PQ MF ，所以TMF TQP △△，且1
2
MF TF QP TP ==,所以24QP MF ==，不妨设),(00y x P ，且在第一象限，00142
p
QP x x =+=+=，所以03x =，
因为点),(00y x P 在抛物线上，所以0y =，
所以根据相似关系可得013T y y ==
17．【答案】（1）n a ＝4n ＋4或n a ＝2n ；（2）见解析．
【解析】（1）由题意可知，有两种组合满足条件：①81=a ，122=a ，163=a ，此时等差数列{}n a 中，81=a ，d ＝4，所以其通项公式为n a ＝8＋(n －1)×4＝4n ＋4；②21=a ，42=a ，63=a ，此时等差数列{}n a 中，21=a ，d
＝2，所以其通项公式为n a ＝2n .…………………………………5分
（2）若选择①，n n n n S n 622
)
448(2+=++=
，则20142)2(6)2(2222++=+++=+k k k k S k .若1a ，k a ，2
+k S 成等比数列，则212
+⋅=k k S a a ，即()20142(8)44(22++=+k k k ，整理得5k ＝－9，此方程无正整数解，故不存在正整数k ，使1a ，k a ，2+k S 成等比数列．
若选择②，n n n n S n +=+=
22
)
22(，则65)2()2(222++=+++=+k k k k S k ，若1a ，k a ，2+k S 成等比数列，则212
+⋅=k k S a a ，即)65(2)2(22++=k k k ，整理得0652=--k k －5k －6＝0，因为k 为正整数，所以k ＝6.故存在正整数k ＝6，使1a ，k a ，2+k S 成等比数列．…………………………………10分18．
【答案】（1
3百米；（2
）7
百米．【解析】（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π
3
CPB ∠=，又1BC =，所以π6PCB ∠=
，PC =π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=，则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：
222π72cos
33AP AC PC AC PC =+-⋅=
，解得3
AP =，
所以连廊3
AP PC +=
百米；……………………………………5分（2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<，则sin CF a α=
，sin AF a α=-，且EDB α∠=，所以2π
3
ADF α∠=-，在三角形ADF 中，由正弦定理可得：
sin sin DF AF A ADF
=∠∠
，即πsin sin 63a α=
- ⎪⎝⎭…………………………………8分
即sin 12πsin 23a a α
α=⎛⎫- ⎪⎝⎭
，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫
-+=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
所以
7a =
≥
（其中θ
为锐角，且tan 2
θ=），
即边长的最小值为
7
百米，所以三角形DEF
连廊长的最小值为
7
百米．……………………………………12分19．【答案】（1）14.7%（2）见解析
【解析】（1）设事件A 为“核酸检测呈阳性”，事件B 为“患疾病”由题意可得()0.02,()0.003P A P B ==，()0.98
P A B =
由条件概率公式()
(|)()
P AB P A B P B =得：()0.980.003P AB =⨯即()0.980.003
(|)0.147()0.02
P AB P B A P A ⨯=
==故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为14.7%…………………………………6分（2）设方案一中每组的检测次数为X ，则X 的取值为1,655(1)(10.02)0.980.904P X ==-==，5(6)10.980.096
P X ==-=所以X 的分布列为
X
1
6
P
0.904
0.096
所以()10.90460.096 1.48
E X =⨯+⨯=即方案一检测的总次数的期望为11 1.4816.28⨯=设方案二中每组的检测次数为Y ，则Y 的取值为1,12
11(1)(10.2)0.801P Y ==-=；()1210.8010.199
P Y ==-=所以Y 的分布列为
Y
1
12
P
0.801
0.199
所以()10.801120.199 3.189
E Y =⨯+⨯=即方案二检测的总次数的期望为3.189515.945
⨯=由16.2815.945>，则方案二的工作量更少……………………………………12分
20．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
5
【解析】（1）如图所示：
在图1中，连接AC ，交BE 于O ，因为四边形ABCE 是边长为2的菱形，
并且60BCE ∠=︒，所以AC BE ⊥，且OA OC ==在图2中，相交直线OA ，1OC 均与BE 垂直，
所以1AOC ∠是二面角1A BE C --的平面角，因为1AC =所以2
1212AC OC OA =+，1OA OC ⊥，所以平面1BG E ⊥平面ABED ；…………………………………5分
（2）由（1）知，分别以OA ，OB ，1OC 为x ，y ，z 轴建立如图2所示的空间直角坐标系，
则3
,02D ⎫
-⎪⎪⎝⎭
，
(1C
，)
A
，()0,1,0B ，()0,1,0E -
，13
2DC ⎛= ⎝
，3,02AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，()
AB =
，(
1AC =
，()
1,0AE =- ，设1DP DC λ=
，[]0,1λ∈，
则133
,22AP AD DP AD DC λλλ⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪=⎝⎭ .………………………………8分设平面1ABC 的法向量为
(),,n x y z = ，则1
0AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，
即0
y ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩，
取()
n =r ，因为点P 到平面1ABC
的距离为
AP n d n
⋅==
解得12
λ=，
则34AP ⎛=- ⎝⎭ ，
所以14EP AP AE =-=⎝⎭
，设直线EP 与平面1ABC 所成的角为θ，所以直线EP 与平面1ABC
所成角的正弦值为sin cos ,EP n EP n EP n
θ⋅===⋅
……………………………………12分
21．【答案】(1)221:12
x C y -=，2
21:2C y x =；(2)（i ）答案见解析；（ii ）答案见解析.
【解析】（1
）因为)
F
，渐近线经过点⎛ ⎝⎭
，
所以222
2c b a c a b ⎧=⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得：1c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
2
21:1
2x C y -=抛物线22:2C y px =
经过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以2
1222p ⎛== ⎝⎭
，所以221:2C y x =……………………………4分（2）（i ）因为,M N 在不同支,所以直线MN 的斜率存在,设方程为y kx m =+.
令()()1122,,M x y N x y ,联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，()222
124220k x kmx m ----=，则2121222
422,1212km m x x x x k k --+==--.联立12,C C 可得22212
12
y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：()2,1A ，因为0AM AN ⋅= ,所以1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，
代入直线方程及韦达结构整理可得：22128230k km m m +++-=，整理化简得：(63)(21)0k m k m +++-=.因为()2,1A 不在直线MN 上,所以210,630k m k m +-≠++=.
直线MN 的方程为()6363y kx k k x =--=--,过定点()6,3B -.………………………8分（ⅱ）因为,A B 为定点,且ADB ∠为直角，
所以D 在以AB 为直径的圆上,AB 的中点()4,1P -即为圆心,半径DP 为定值.故存在点()4,1P -,使得DP 为定值.……………………………………12分
22．【答案】（1）证明见解析；（2）12
214,e
e π
π-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
．【解析】（1）当12a =时，()2112
x f x x e -=-，则()1
x f x x e -'=-，令()1
x g x x e
-=-，则()1
1x g x e -'=-，当(),1x ∈-∞时，0)(>'x g ，()g x 单调递增，
当()1,∈+∞x 时，0)(<'x g ，()g x 单调递减，∴()()10g x g ≤=，当1x =时()01f '=，当1x ≠时0)(<'x f ，∴()f x 是R 上的减函数．·……………………………………4分（2）由题意，()1
2cos x a x x e
-≥-对于0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立．
设()2
cos h x x x =-，则()2sin h x x x '=+，易知()h x '在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦
上为增函数，
∴()()00h x h ''≥=，故()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上为增函数，又()010h =-<，2024
h ππ⎛
⎫=
> ⎪⎝⎭，∴存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00h x =：当[)00,x x ∈时，()2
cos 0h x x x =-<，此时，由()
12cos x a x x
e -≥-得12
cos x a x x e -≥
-，令()1
2cos x x x e
x
ϕ-=-，则()()
()
122
2
cos 2sin 0cos x x x x x x e x
x ϕ----'=
-，
∴()ϕx 在[)00,x 上为减函数，则()()max 10x e
ϕϕ==-，故1
a e ≥-．………………………………7分
当0x x =时，()2
000cos 0h x x x =-=，对于a ∀∈R ，()
12cos x a x x e -≥-恒成立．
当0,2x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2
cos 0h x x x =->，由()
12cos x a x x e -≥-得12cos x a x x
e -≤-，由上知()()
()
122
2
cos 2sin cos x x x x x x
x e x ϕ----'=
-，…………………………………9分
令()2
cos 2sin m x x x x x =---，则()2sin 2cos m x x x x '=+--，易知()m x '在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦
上为增函数，
∵()00002sin 2cos m x x x x '=+--，而()2
000cos 0h x x x =-=，00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
∴()()2
2
00000002sin 21sin 11sin 0m x x x x x x x '=+--=-+--<-+<，又102m ππ⎛⎫
'=->
⎪⎝⎭
，
∴存在唯一10,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，使得()10m x '=：当()01,x x x ∈时，()0m x '<，()m x 递减；当1,2x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，
()0m x '>，()m x 递增；∵()20000000cos 2sin 2sin 0m x x x x x x x =---=--<，2
1024
m ππ
π⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，∴()0m x <，即()0ϕ'<x ，∴()ϕx 在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦为减函数，
()12
2min 42e x π
πϕϕπ-⎛⎫== ⎪⎝⎭
，故1
2
2
4e a π
π-≤．综上可知，实数a 的取值范围为12
214,e
e π
π-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
．……………………………………12分。