古典概型等可能性判断的启示

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古典概型题的教学启示

古典概型题的教学启示数学探究是高中新课程中引入的一种新的学习方式，基于“授人以鱼不如授人以渔”的出发点．提倡在教学中培养学生自主发现问题，并通过实验、调查、相互交流等形式最后解决问题，从而获得自身的提升．对于这一观点，笔者虽然早有耳闻，但在实践中却感受不深．直到在一次古典概型例题教学的课堂中、基于学生提出的一个问题、进而和学生共同探究、直至最终解决问题后，才深刻的体会到新课程这一提法的内涵，体会到探究学习对学生了解数学概念、结论产生过程的重要性，体会到探究学习对学生内化所学知识的意义．“古典概型中，若抽样是不放回的，是否考虑顺序，基本事件的发生都是等可能的，因此计算出的概率均不变；若抽样是有放回的（骰子问题可理解成有放回），则必须考虑顺序，否则基本事件的发生就不满足等可能的条件了。

”整个问题根源就在于对古典概型下基本事件的发生必须“等可能”的理解．学生之前的理解应是表层的和浅显的，通过系列探究后，才可谓是真正的理解透彻，进而最终得到“古典概型题目求解，是否需要考虑顺序的关键在于抽样是否放回”这一认识也是水到渠成的事情了．教师要充分挖掘教材使用教材是教师教学活动中重要的组成部分，也是教师备课的一个重要环节．而新课程下的教材具有多样性、思想性、问题性、时代性与应用性等特点，传统的“教教材”已很难适应新课程的需要．这就要求教师要深入研究教材，准确理解教学内容，把握教学要求，把握教材的整体框架．备课时，既要立足教材，细致分析一节课的重、难点和关键，把教材完全化成自己的东西，再深入浅出地讲解给学生；还要不拘泥于教材，对教材进行创造性的再加工，及时的挖掘教材背后的主题和内涵．概率教学中常发现学生具有较多的错误观念，因为学生过去接触主要是确定性事件，对不确定事物的认识非常有限．所以教师要对概率的概念教学中特别注意，尽量领会教材编写意图，洞察可能问题所在．像本节课教材在两个例题的安排上给学生理解可能造成的混乱，教师在备课时要有足够的警觉，而这种“警觉”则一定来自教师对教材深入的研究和挖掘．课堂要重视概念教学前苏联数学教育家斯托利亚尔说过：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学．”所以只有当学生自主参与数学活动，探究结果形成过程，在探究中不断经历正确与错误交替出现的体验，形成正反两面的活动经验以提高感悟数的水平．让学生不断经历从“假无疑”到“真无疑”的过程，这样才能纠正错误观念，形成正确的认识．对于古典概型问题下基本事件发生的等可能性，教材用定义的形式直接给出，若教师只是简单的用“一定义二要点三注意”的形式讲解，不让学生通过亲身体验，何谓“等可能”、何谓“不等可能”，学生可能也只是停留在一知半解的层面上．因此教师在教学设计上，就必须重视概念教学，在课堂上安排适当的探究活动，引导学生在探究中交流，在交流中充分暴露思维的过程，让学生在失误的过程中建立起正确的知识结构．教师要具有探究意识、探究精神和探究技能数学探究提倡学生主动获取、应用知识并解决问题．因此，在课堂实践中，有按照教师事先的设计进行的探究，也有教师预设之外的、“突发”的探究（就如前面的案例）．这就要求教师，一是要有敏锐的探究意识，对学生提出的“质疑”、“异类”等信息进行准确的捕捉，并以此为契机引导学生进行探究；二是要尊重教学的“开放性”、“自主性”，要改变“按照教学计划来完成教学目标”的传统教学观念，改变一味的追求“严谨”、“有序”、“完整”教学过程，从而把教学过程真正视为一个“动态的”、“开放的”系统，这样学生才能真正成为教学活动的主体，探究才得以真正实施．像本节课中，若教师对学生质疑置之不理或是轻描淡写的跳过，可能会完成事先设定的教学任务，这个课堂只是老师的课堂，而没能真正成为学生的课堂．也正因为课堂的开放性，探究教学往往需要大量的时间，而教学效果确可能是隐性和长期的，再加上现有评价体系的缺陷，所以，探究教学更需要教师具有超前意识和探究精神，相信在探究活动中学生的素质和能力也一定会大大提升，长期的积累也一定会考出优异的成绩．当然，真正的探究课堂也还需要教师进行大量的探究理论和探究技能的学习，让探究真正成为培养学生思维能力、反思意识等的手段，让探究过程成为真正提升学生数学思维的过程．【参考文献】[1]吴明华．“问题引领，重心前移”之课堂诠释[J]，中小学数学（高中版），2008，1[2]宁连华．数学探究教学中的“滑过现象”及其预防策略[J]，中国教育学刊，2006，9[3]王世伟．论教师使用教科书的原则：基于教学关系的思考[J]，课程·教材·教法，2008，5[4]陈剑飞．论高中新课程改革下如何把握数学教材[J],长春师范学院学报(自然科学版)，2008，5。

例说古典概型中的“等可能”

例说古典概型中的“等可能”作者：郑金华来源：《初中生世界·九年级》2019年第11期古典概型在概率研究史上最先被研究，发展较为成熟，它具有以下两个特征：（1）试验的所有可能出现的结果为有限个;（2）每一个试验结果出现的可能性相同。

要运用古典概型计算事件A发生的概率，可以借助公式P（A）=[mn]，其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示所有等可能出现的结果数。

例1 （1）抛掷一枚质地均匀的硬币1次，结果是正面朝上的概率为？（2）同时抛掷两枚质地均匀的硬币1次，结果两枚硬币都是正面朝上的概率是多少？【分析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币1次，有两种等可能的结果，正面或反面朝上。

（2）在抛掷两枚质地均匀的硬币1次的试验中，同学们很容易误认为出现这三种等可能的结果：两个正面，一个正面一个反面，两个反面。

事实上这三种结果的可能性不一样，无论是两个正面还是两个反面，必须满足两枚硬币同时掷出相同的一面，而一个正面一个反面事实上包含两种情况，那就是一正一反和一反一正，在表述上，我们把一正一反和一反一正都统称为一个正面一个反面，由此，一个正面一个反面的可能性大。

在这里，对于一正一反和一反一正的区别，我们借取一元和五角两枚质地均匀的硬币来说明。

很显然，一元硬币正面朝上、五角硬币反面朝上和一元硬币反面朝上、五角硬币正面朝上是两种截然不同又等可能的试验结果，所以区分两枚硬币很重要。

那么，我们还有其他类似于一元和五角那样区分这两枚质地均匀的硬币的方法吗？同学们自然会想到“起名字”“简称”“缩写”“编码”等，比如用“红1”“红2”标记两个除颜色外都相同的红球，用“Y”“K”标记衣服和裤子……这些方法既起到区分作用又简单易于书写。

所以在此题中，我们不妨记这两枚硬币为Y1和Y2，然后画树状图或表格罗列所有的试验结果，并要注意，每一个实验结果必须是等可能的。

【解答】（1）[12];（2）分别记这两枚硬币为Y1、Y2，树状图如下：[所有可能出现的结果]<E：＼初中生＼9年级语文＼郑金华-1.tif>[Y1][Y2]列表如下：[ 正反正（正，正）（正，反）反（反，正）（反，反） ][结果][Y1][Y2]共有4种等可能的结果，其中，两枚硬币都是正面朝上（记为事件A）的只有1种可能（正，正），所以P（A）=[14]。

概率论文---古典概型浅析

浅析古典概型1018202班于春旭1101800214经过一学期的概率论与数理统计的学习，从最开始的随机事件与概率到多维随机变量，再到数理统计，参数估计。

对于概率的一些基本知识已经有所掌握。

那么回过头来，让我们去分析一下概率论中最为基础的也是最为贴近平时生活的一种概型，古典概型。

所谓古典概型是一种概率模型。

古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。

若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）=m/n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。

历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。

计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。

例如：掷一次硬币的实验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。

是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。

相较于其他概型，古典概型有以下特点：1、实验的样本空间只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同。

求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。

古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。

《古典概型的概率计算公式》典型例题剖析

《古典概型的概率计算公式》典型例题剖析题型1 古典概型的判断例1 （1）“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型是古典概型吗？（2）若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？解析（1）不是古典概型，因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型.（2）不一定是古典概型.还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型.答案（1）不是古典概型（2）不一定是古典概型方法技巧判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征—有限性和等可能性，二者缺一不可.变式训练1 下列试验是古典概型的为_________（填序号）.①求从5个数学学习小组中选出甲、乙两个小组代表学校参加数学竞赛的概率；②掷一枚均匀的硬币3次，求有2次正面向上的概率；③播下10粒种子，求有5粒发芽的概率；④一周中7人每天值班1天，求甲、乙相邻的概率.答案①②④.点拨①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，每一粒种子发芽的概率一般是不相等的.题型2 古典概型概率的计算例2 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为,x y.奖励规则如下：①若3xy，则奖励玩具一个；②若8xy，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解析写出试验的样本空间，计算随机事件的样本点个数，应用古典概型的概率计算公式计算概率.答案用数对(,)x y表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集{(,),,14,14}S x y x y x y=∈∈N N∣一一对应.因为S中元素的个数是4416⨯=，所以样本点总数16n=.（1）记“3xy”为事件A，则事件A包含的样本点有5个，即{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}A=.所以5()16P A=，即小亮获得玩具的概率为516.（2）记“8xy”为事件B，“38xy<<”为事件C，则事件B包含的样本点有6个，即{(2,4),(3, 3) ,(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}B=，所以63 ()168 P B==.事件C包含的样本点有5个，即{(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1)}C=，所以5()16P C=.因为35816>，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.规律方法解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特征和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：（1）试验必须具有古典概型的两个特征一有限性和等可能性；（2）计算样本点的个数时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.变式训练2 一个口袋内装有形状、大小相同，编号为123,,a a a 的3个白球和1个黑球b .（1）从中一次性摸出2个球，求摸出2个白球的概率；（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两个球中恰好有1个黑球的概率.答案（1）一次性摸出2个球，此试验的样本空间为()()()()()(){}121323123,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b Ω=.Ω由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用A 表示“摸出2个白球”这一事件，则({)()()}121323,,,,,A a a a a a a =. 事件A 由3个样本点组成，因而31()62P A ==. 有放回地连续取两次，此试验的样本空间为()()()()(){()()()()1112131212223231,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a a a a a a a b a a Ω=()()()()()()}32333123,,,,,,,,,,,,(,)a a a a a b b a b a b a b b .其中小括号左边的字母表示第1次取出的球，右边的字母表示第2次取出的球，Ω由16个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用B 表示“连续取出的两球恰好有1个黑球”这一事件，则()()()()(){)}123123,,,,,,,,,,(,B a b a b a b b a b a b a =，事件B 由6个样本点组成，则63()168P B ==. 规律方法总结1.古典概型是一种最基本的概率模型.判断试验是否为古典概型要紧紧抓住其两个特征：样本点的有限性和等可能性.2.求随机事件A 包含的样本点个数和样本点总数常用的方法是列举法（画树状图和列表），注意要做到不重不漏.3.在应用公式()A m P A n==Ω包含的样本点个数包含的样本点总数时，关键是正确理解样本点与事件A 的关系，从而正确求出m 和n .4.注意“有放回取样”与“不放回取样”对样本点的影响.核心素养园地例某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表.（1）求正整数,,a b N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层随机抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人年龄在第3组的概率.解析（1）根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数据可以求得,,a b N 的值.（2）先求出这三组的总人数，再根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数.（3）利用列举法列出所有的样本点，共有15个，其中满足条件的样本点有8个，利用古典概型的概率计算公式计算得出结果.答案（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =.且0.08251000.02b =⨯=.总人数252500.025N ==⨯. （2）因为第1，2，3组共有2525100150++=（人），所以利用分层随机抽样的方法在150名员工中抽取6人，第1组被抽取的人数为2561150⨯=，第2组被抽取的人数为2561150⨯=，第3组被抽取的人数为10064150⨯=. 所以年龄在第1，2，3组的人数分别是1，1，4.（3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中随机抽取人的所有可能结果为()()1,,,,A B A C ())()()()()()()()()2341234121314,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C A C A C B C B C B C B C C C C C C C ()()()232434,,,,,C C C C C C ，共有15个样本点.其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为()()()()()()()()12341234,,,,,,,,,,,,,,,A C A C A C A C B C B C B C B C ，共有8个样本点.所以恰有1人年龄在第3组的概率为815. 讲评概率问题常常与统计问题结合在一起考查.在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.第（3）题是古典概型问题.解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解.如果能正确理解题意，分析求解第（1）题与第（2）题，那么可以认为达到数学运算、直观想象、数学建模核心素养水平一的要求；如果能正确求解第（3）题，那么可以认为达到数学建模核心素养水平二与数学运算核心素养水平一的要求.。

古典概型与几何概型的区别

古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。

几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师,理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念,下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍.一、古典概型和几何概型的意义（一）。

几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。

1。

几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．．．．。

（2)每个基本事件出现的可能性相等．．．．．。

2。

几何概型求事件A的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二) 古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点:（1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．．．。

（2）每个基本事件出现的可能性相等．．．．．.2。

古典概型求事件A的概率公式：P（A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。

三。

利用不同概率模型，培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球,这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球,小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明:第一组题是古典概型,（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；(2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。

古典概型教学设计--【教学参考】

古典概型教学设计教学目标：1、知识与技能目标⑴理解等可能事件的概念及概率计算公式；⑵能够准确计算等可能事件的概率。

2、过程与方法根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到等可能性事件的概念及其概率公式，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。

3、情感态度与价值观概率问题与实际生活联系紧密，学生通过概率知识的学习，可以更好的理解随机现象的本质，掌握随机现象的规律，科学地分析、解释生活中的一些现象，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。

教学重点等可能事件的概念及等可能事件概率公式的简单应用。

教学难点判断一个试验是否为等可能事件。

教学方法探究式和启发式教学方法。

教具：多媒体课件和自制教具。

教学过程一、温故知新，提出问题上节课我们学习了随机事件及其概率，现在请大家思考下面两个问题：1、什么是随机事件？2、什么是随机事件/的概率？强调：对于概率的定义，我们可以从以下三方面来理解：1、概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它可以做为我们决策的理论依据。

问大家两个问题：①福利彩券一等奖的资金是多少？②中一等奖的概率是多少？有没有人算过？（因此，买彩券只能做为我们生活中的一种娱乐，而不可以做为主题投资）2、概率与频率的区别：一定条件下，事件的概率是一个确定的值，而频率则是随机变化的,在概率附近摆动。

3、概率的定义，实际上也是求一个事件概率的基本方法：即进行大量重复试验，用事件发生的频率近似做为事件的概率。

我们知道“大量重复试验”在实践中操作起来是很困难的。

有人要问了：是不是随机事件的概率只有通过大量重复试验才能求得？有没有一些或一类随机事件，不进行大量重复试验也能求出其概率呢？这也是今天我们要研究的问题。

二、设置情境，引出新课：现在，我们进行一个免费的抽奖活动：1、规则说明口袋中装有大小相同的红球、黄球、白球各一个，一个人一次只能从口袋中摸出一个球。

关于古典概型的三个典型例题及其在解题中的应用

关于古典概型的三个典型例题及其在解题中的应用古典概型是概率论的基础，又有着很高的实用价值，已成为义务教育阶段数学课程的一项重要内容.结合初中数学活动课的教学实践，通过古典概型应用的若干实例，阐述了问题求解的策略、多种方法以及不同方法的具体适用场合，对古典概型的解题规律做了有益的探究.关键词：古典概型；等概基本事件组；有利场合数；应用实例；求解策略；计算方法古典概型是概率论发展史上最早被人们认识、研究并加以应用的概率模型，是一种特殊的数学模型.古典概型在概率论中具有相当重要的地位，不仅其优越性明显，应用广泛，而且是进一步学习概率不可或缺的内容.一、学习古典概型的重要性1.有利于理解概率的意义.对于古典概型，频率的稳定性比较容易验证，也与同学们已有的生活经验和数学活动经验相吻合，从而概率的存在性和确定性易于领会、理解和接受.2.可帮助我们直接计算随机事件发生的概率，化解大量重复试验带来的耗时费力的矛盾，避免破坏性试验造成的损失.也就是说，不需要做任何试验，只要分析事件的本质，确认是古典概型，就可以直接计算得到概率的精确值，而且是理论值，它与用统计方法得到的结论相一致.3.能够有效地解决生产、生活和科研中的某一类问题.如抽签、摸球、摇号、掷骰子、中奖率、次品率、密码解锁、公平规则设计等.二、古典概型的概念1.等概基本事件组设A1，A2，…，An是一个事件组，如果它具有下列三条性质：（1）A1，A2，…，An发生的机会相同（等可能性）；（2）在任一次试验中，A1，A2，…，An至少有一个发生.也就是除此以外，不可能有别的结果（完全性）；（3）在任一次试验中，A1，A2，…，An至多有一个发生.也就是说这n个事件是互相排斥的（互不相容性）.则称A1，A2，…，An为一个等可能基本事件组，也称为一个等概基本事件组，其中任一事件Ai（i=1，2，…，n）称为基本事件.2.概率的古典定义如果试验的所有可能的结果可以表述为一个等概基本事件组A1，A2，…，An.其中有且仅有m个基本事件包含于随机事件J（即当且仅当这m个事件中任一事件发生时，事件J发生），则比值m/n就称为事件J的概率，记作P（J）=m/n.其中，n是基本事件的总数，m是事件J所包含的基本事件数，通常叫做事件J的有利场合数，或有利结果数.3.古典概型及其计算公式可以根据概率的古典定义来计算随机事件的概率，这样的概率模型称为古典概型.P（J）=m/n是概率古典定义的核心内容，它给出了古典概型中随机事件的概率计算公式.三、求解方法与策略1.古典概型的确认.对所要解决的问题，首先要确定是不是属于古典概型？这主要根据古典概型的两个基本特征，即试验结果是否具有有限性和等可能性.2.判定等可能性的常用依据.（1）客观对称性（如抛掷硬币、掷骰子等试验）；（2）某种均衡性（如摸球、抽签等试验）. 3.考察等概基本事件组.等概基本事件组是与古典概型相互印证的，也是概率计算的第一步.对某些问题，等概基本事件组不是唯一的，可供选择.一般情况下，其基本事件的总数越少，求解越为简便.4.按照古典概型中随机事件的概率计算公式，先求分母和分子，再求比值，即得所求概率.分母是等概基本事件组中基本事件的总数，分子是相应事件所包含的基本事件数，即该事件的有利场合数.5.运用多种方法实施计算.（1）直接列举法；（2）表格法；（3）树状图法；（4）根据乘法原理；（5）根据排列与组合的基本知识，或兼用乘法原理；（6）根据概率的运算性质.6.不同计算方法的适用场合.（1）计算简单随机事件的概率，可运用列举法（包括列表、画树状图）.当试验结果显然或试验步骤只有1个时，可直接列举出所有等可能的结果；当试验步骤只有2个且试验结果较少时，表格法和树状图法都是行之有效的；当试验步骤只有2个但试验结果较多时，宜选用列表的方法，显得整体清晰，类别分明，解题便捷.（2）當试验分为3步（或以上），通常选用树状图法；如果要采用列表法，则需2张（或更多）表格，即分步列表.（3）义务教育阶段，宜使用列举法，帮助计算.（4）初中后阶段，可介绍乘法原理，并实施计算.乘法原理通俗易懂，其思想方法与树状图法是一致的.遵循认知规律，所花时间不多，初中学生很快就能接受并较好地掌握，既可以帮助快捷计算，也可以作为对列举法的一种验算或印证，确保列举的所有等可能结果既不遗漏，也不重复.（5）当试验出现的结果较多时，往往需要运用乘法原理或排列与组合的基本知识加以计算.（6）随着概率知识的进一步学习和加深，运用概率的运算性质进行计算，常常会收到更好的效果.7.转化（化归）策略举例.（1）编号.例如，在摸球试验中，通常将彩色球编号，目的是创设等可能性.（2）等分.例如，在转盘问题上，通常将转盘作等分、涂色处理，就是把无限转化为有限，从而归结为古典概型来求解.8.对比策略举例.（1）放回与不放回，或称有放回与无放回.例如，在摸球试验中常有这两种不同的情形，注意到这二者之间的联系与区别，对比在使用表格时各自呈现的特点，从而掌握其规律.抽签方法指的是不放回的情形.（2）有序与无序，也就是考虑顺序与不考虑顺序.对某些问题，必须考虑顺序；而对有些问题，两种方法都能使用.注意这二者之间的联系与区别.（3）比照.这里是指通过对问题实质的分析，能否与一些常见的实用类型等同看待.例如，某些实际问题可以比照为摸球问题，某些实际问题可比照为抽签问题，等等.问题的实质相同，解决问题的思想方法也相同.四、应用实例与一题多解文中解题过程，在使用排列数或组合数符号计算的等号后面，紧接着写出了详细数字，是为了看清楚，让初中学生在还没有学习排列与组合知识的情况下，能运用乘法原理有效实施计算.为书写简洁起见，同一题中的同一随机事件除首次出现外，均用J表示.例1.经典分金币问题.传说，17世纪中叶，法国贵族公子梅雷参加赌博，和赌友各押赌注32枚金币.双方约定：抛掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上，梅雷得1分；反面朝上，赌友得1分，先积满10分者赢全部赌注.赌博进行了一段时间，梅雷已得8分，赌友得7分.这时，梅雷接到通知，要他马上陪国王接见外宾，赌局只好中止.于是，产生了一个问题，应该怎样分配这64枚金币才算公平合理？这就是历史上著名的“分赌注”问题.解：假设赌局继续，那么最多再抛掷硬币4次，就可以分出输赢.不妨用m表示梅雷积1分，用d表示赌友积1分，运用树状图法可得所有等可能的结果共有16种，其中，梅雷先积满10分的有利场合数为11，赌友先积满10分的有利场合数为5.所以P（梅雷赢）=；P（赌友赢）=.于是梅雷应分得64×=44（枚）金币，赌友应分得64×=20（枚）金币.。

高考数学冲刺古典概型考点全面解析

高考数学冲刺古典概型考点全面解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。

而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。

在数学的众多考点中，古典概型是一个不容忽视的重要部分。

在高考冲刺阶段，对古典概型进行全面且深入的复习，对于提高数学成绩具有重要意义。

一、古典概型的基本概念古典概型是一种概率模型，具有两个重要特征：有限性和等可能性。

有限性指的是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性则表示每个基本事件出现的可能性相等。

例如，掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数就是一个古典概型问题。

因为骰子的点数只有 1、2、3、4、5、6 这六种可能，且每种点数出现的可能性相同。

二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数／试验中所有可能的基本事件个数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出一个球，求取出红球的概率。

这里试验中所有可能的基本事件个数为 5（3 个红球和2 个白球），取出红球的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为3/5。

三、古典概型的常见题型1、摸球问题这是古典概型中常见的一类问题。

例如，一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出 2 个球，求摸出一红一白的概率。

解决这类问题时，首先要确定总的基本事件个数，即从 8 个球中选2 个的组合数。

然后计算摸出一红一白的基本事件个数，可以分两步考虑，先选一个红球，再选一个白球，两者相乘即为摸出一红一白的基本事件个数。

2、掷骰子问题掷骰子问题常常会与其他条件相结合。

比如，同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和大于 8 的概率。

对于这种问题，需要列出所有可能的基本事件，然后找出点数之和大于 8 的基本事件个数，最后计算概率。

3、抽样问题抽样问题可以分为有放回抽样和无放回抽样。

例如，从 10 件产品中抽取 3 件，有放回抽样和无放回抽样时，抽到特定产品的概率是不同的。

一道古典概型题的启示

一道古典概型题的启示作者：韦克琳来源：《中学教学参考·理科版》2013年第12期一道题目两种解答结果，而且似乎都很合理，但答案并不唯一，究竟问题出现在哪？一、分析与讨论这是一道古典概型题，笔者认为可从下面几个方面来分析讨论.首先从定义上分析，新教材中对古典概型定义的描述具有两个特点：（1）试验中所有能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.因此，古典概型首先要弄清样本空间，它必要满足这两个特点.这道题第一个特点显然满足，问题就出现在第二个特点上.解法一认为样本空间只有3种基本事件，但这3种是等可能的吗？比如（1，2，3）这种情况，虽然3段长度就是1，2，3一种，可截成这3段长度却有6种可能；而截成（2，2，2）这种情况只有一种可能，显然认为基本事件是3种就不满足可能性相等这个特点.而解法二就把截成3段的各种情况都列举出来，所以样本空间有10种基本事件是满足等可能性这个特点，因此答案只能是P=110.其次从排列组合的角度分析，若此题用排列组合方法来解答，就不难理解了：铁丝长为6，就相当于一条6个单位长度的线段，除两个端点外中间有5个点，要截成3段，就要选取其中2个点为截断点，共有C25.解题产生的错误原因就是表面上看是对样本空间的错误认识，但产生这种错误认识的深层原因是混淆了有序与无序的区别，即这道题的基本事件要讲顺序，如（1，2，3）与（1，3，2）是不同的基本事件，而非一样.再深究其错误的本质原因是没有理解透古典概型的定义，尤其是定义的第二个特点.二、教学启示1.课堂上要充分利用好教材在概率教学中常发现学生具有较多的错误观念.因为学生过去接触的主要是确定性事件，而对不确定事件的认识非常有限，学生的头脑中有关概率事件的认识大都来自个体的一些直觉的、不成熟的经验，使学生很难用已获得的解决确定性数学问题的思维方式去求不确定性的概率问题.所以在概率教学中，要精选案例，恰当地运用，如对比辨析、反例纠错、错误尝试、合作交流等教学方法和策略.实际上，关于辨析概念的问题，教材也给出了一个案例：同时掷两个骰子，计算向上点数之和是5的概率是多少？教材上的解答就是把两个骰子标上记号1和2以便区分，从而得出共有36种结果，而点数和为5的有4种结果，于是得P=436=19.随后还安排了一个思考题：为什么要标上记号？如果不标上会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？接着还给予解释，让学生彻底区分有序与无序的解题结果，从而加深了对定义的第二个特点的认识.2.课堂上要重视概念教学，适当进行数学活动概念教学是数学教学的重要内容，在概念教学中怎样才能让学生深刻理解和掌握概念的内容，以致能正确地运用，是概念教学的最终目的.因此一节概念课一定要认真设计，讲明讲透，不能简单地用“一定义、二要点、三注意”的形式讲完就好了，然后就讲例题或做练习，这是典型的“重结果轻过程”.而就古典概型而言，笔者认为在课堂上要适当进行数学活动.教材中关于古典概型的教学内容是这样安排的：给出试验，分析实验结果.再给引例加深扩大对实验结果的认识，最后给出定义.这样的安排顺序，目的就是遵循学生的认识规律，即由感性认识逐渐上升到理性认识的认识规律.因此教师在教学时要精心设计教学过程，通过充分引导学生感悟和有效思考实验及引例内容，来达到对其内涵的本质认识，然后再让学生互相交流讨论，找出共性，最后归纳定义.通过这样的数学活动，就可让学生建立正确的认知结构，从而达到对定义内容的深刻理解.如果没有给学生充分的思考时间，只靠教师的分析讲解来代替学生的思考和感悟，会造成教师反复强调学生仍然印象不深的状况.一句话：教师要充分地利用好教材教，而不是简单地教教材.前苏联数学教育家斯托利亚尔说过：“数学教学是数学（思维活动）活动的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学.”所以只有当学生自觉参与数学活动，并且在活动中不断经历正确与错误的交替体验，形成正反两方面的活动经验，这样才能提高学生感悟数学的水平3.对错误答案的认识俗话说“失败是成功之母”，对数学而言亦是如此.历史上数学中的许多重要结论和结果都是在纠正错误的结果中得到的.就古典概型而言，数学史上就有许多数学家犯了将有序视作无序的错误.在概率论诞生之前，有一个流行于14世纪意大利的古代机会游戏：一个人掷3个骰子，另一个人猜点数和（史称“投掷问题”）.当时的数学家由于没有意识到顺序，他们认为9，10，11，12都有6种组合（如10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4）.但在玩这个机会游戏的过程中，得到10和11的次数总要超过9和12，到底是何种原因使理论计算与实验不相符合呢？这个令数学家困惑的疑团经历了3个世纪以后才由伽利略发现了原因：指出了有序与无序之别，从而得到点数和为10和11的情形各有27种，而9和12的情形各有25种，这样才能使计算与实验相吻合.另外教材中例3关于掷骰子的问题，实际上就是由数学史上概率论诞生前的“投掷问题”改编而成.当时的数学家也是通过玩游戏进行实验才出现了困惑，这也说明做实验是发现错误认识的很好途径.因此教师在教学上要结合教材的实际，让学生多做实验，多交流，多体验，这样就能让学生有更多的机会暴露他们学习中的问题.而教师则通过不断地解决学生的问题来厘清教学内容的本质内涵，达到提高学生的认识能力和理解能力的教学目的.对新教材中列举的如抛硬币、掷骰子等例子，教师在教学时要充分利用，通过引导学生进行多媒体的模拟演练或实际操作试验，让学生加深直观感受，从而达到仅用口头说教也难以改变学生错误的目的，因为学生只有经历失误的过程，才能很好地形成和建立正确的新的知识结构.参考文献[1]沈金兴.概率论前史中“投掷问题”的历史相似性研究[J].数学教学，2008（5）.[2]杨涛.概率教学中的“错误观念”转变的实践研究[J].中学数学教学参考，2008（8）.（责任编辑金铃）。

《古典概型》说课稿（附教学设计）

《古典概型》说课稿一、教材的本质、地位、作用分析本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第 3.2.1节古典概型。

它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前，学生还未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，能解释生活中的一些问题。

因此本节课的教学重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

二、教学目标及重难点分析根据本节课在本章中的地位和课程标准的要求以及学生实际,本节课的教学目标制定如下:1．知识与技能（1）理解基本事件的特点；（这是为了给古典概型下定义的语言表达而铺垫）（2）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；(由于课标要求计算不是本节课的重点，故结合实例理解并能判断古典概型是关键)（3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（由于还没有学习排列组合，故初中学习的列举法（树状图等）是计算的关键手段）2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

3．情感态度与价值观概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。

适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。

使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

《古典概型》这一节分为两课时，本节课是第一课时。

主要内容为古典概型的概念、概率计算公式及三个例题。

关于古典概型问题的几点思考

总之，在古典概型中，同一问题从不同的角度考虑会得到不同的样本空间和不同的解法，而样本空间的适当选取和对立事件、加法公式的合理运用会简化古典概率的计算，可以避免复杂的排列组合的计算而易于理解，同时可以提高学生的学习兴趣和课堂教学效率。
参考文献［"］ ! 盛骤，谢式千，潘承毅编1 概率论与数理统计（第三版） 1 高等教育出版社， *$$*1 )1
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第! 期
吐尔洪江：关于古典概型问题的几点思考
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数来确定，也就是说样本空间 ! 怎么选取，则随机事件 " 包含的基本事件随它而变，所以样本空间的选取不适当，就会问题复杂化，计算量过大，容易造成学生觉得难做。下面看几个例子。例 #： ! 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求其中甲、乙两人坐在一起（座位相邻）的概率。解：我们很自然地会把这个问题看作圆周排列的一个简单应用，但是在这里我们不用这种办法。设甲已先坐好，考虑乙怎么坐法。显然乙总共有（! " # ）个位置可坐，这（ ! " # ）个位置都是等可能的，而乙坐在甲的边上有两种坐法，因此所求概率为 ! 。 ! "# 如果把上述解法作细致的分析，那就是我们取样本空间 ! # ｛"# ， …，， "! ， " ! "# ｝ " $ 表示乙坐在甲它满足有限与等可能的要求，我左边第 $ 个位置上，们要求概率的事件 % 表示为 ! 的子集｛"# ，。显 " ! "# ｝然，对例 # 这样选取的样本空间 ! （有限并等可能） “ 装”不进去，或是最小的了，在要小的话，事件 % 就者就无法保证等可能性了。用其它办法做这道题目选取的样本空间只会更大，比上述解法复杂。值得指出的是在我们的解法中用不到排列组合。例 !：袋中有 & 只白球， ’ 只红球。 ( 个人依次在袋中取一只球（不放回）。求第（ $ $ # #， !， …， (）人取。到白球的概率（ ( % & ) ’）

关于古典概型的几点思考

关于古典概型的几点思考古典概型是概率论中的一种基本概念，也是最早被研究和应用的概率模型之一。

其核心思想是在样本空间中，所有基本事件具有相同的概率。

该概念不仅在数学领域得到广泛应用，还十分适用于各种实际情况中的概率问题。

本文将就古典概型进行一些思考和探讨。

概率与古典概型在古典概型中，样本空间每个基本事件出现的概率都相等，即$P(event_i)=\\frac{1}{n}$，其中n为样本空间元素总数。

古典概型的随机性质使得其应用非常灵活，因为在不了解某些信息的情况下，我们可以根据古典概型去计算概率。

比如，在投掷骰子的游戏中，假设使骰子朝上的每一个面具有等概率出现的机会，则每面的概率都为 $\\frac{1}{6}$。

这是最简单的古典概型之一，也可以解释为一个大小为6的样本空间中每个基本事件的概率是相等的。

因此，投掷掷子的概率可以通过古典概型来计算。

在实际应用中，古典概型虽然难以模拟真实环境下的复杂问题，但是受制于其分析简单、计算方便的特点而广泛应用于现实生活中的各种场景中，例如考试问题、投票问题、依赖性问题等等。

古典概型的限制尽管古典概型计算方便，但它的应用范围也存在一定的限制。

主要体现在以下方面：•适用于离散型变量：古典概型主要应用于离散型变量的概率计算，而连续型变量的概率计算则需要使用其他的方法，比如概率密度函数；•只适用于互不影响状态：古典概型只适用于各状态之间互不影响的情况。

当一个事件的概率依赖于其他事件的发生情况时，古典概型就不再适用，需要考虑其他的概率模型。

古典概型的应用对于古典概型的应用，在不同领域具有不同的特点。

本文将重点介绍几项实际应用中常见的例子，分别是：1. 投掷一枚硬币投掷一枚硬币是古典概型应用的经典例子。

在投掷硬币的过程中，样本空间只有两个元素，即正面或反面，出现的概率均为$\\frac{1}{2}$。

这一问题通常用来介绍古典概型的基本概念，以及把握事件的基本概率。

2. 投掷多枚硬币投掷多枚硬币是一个求复合概率的问题。

等可能性事件与古典概型

等可能性事件与古典概型概率论是研究随机现象的一个数学分支，在纷繁的随机现象中，等可能性事件是一类相对比较简单的现象，因而在概率论发展初期就成为人们关注和研究的重点，许多最初的概率论结果也是根据它作出的，所以一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型，也叫等可能概型。

为叙述方便，先介绍两个基本概念：(1)基本事件：随机试验中每一个可能出现的结果；(2)样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合，即所有基本事件之和。

等可能概型具有以下两个特点：(1)该试验的样本空间只包含有限个元素，即试验的所有可能结果只有有限个；(2)每个可能结果（即基本事件）出现的可能性相等（等可能性），都为1/n。

若一个事件A包含有k个基本事件，则事件A发生的可能性就是这k个基本事件与所有可能结果的比值k/n，也可以理解为这k个基本事件发生的可能性之和，即。

例如，一个袋子里装有10个球，分别标上了数字1～10，现从中任意摸出一球，问摸到单号球的可能性是多大。

这就是一个典型的等可能性事件。

因为摸出一个球的所有可能结果只有有限个(10种可能性)，且摸到任意一球的可能性相等(都为1/10)，所以摸到单号球的可能性就是单数的个数与总共10个数的比值5/10，也可以用5个单数被摸出的可能性之和来计算，即1/10+1/10+1/10+1/10+1/10=5/10。

古典概型在概率论中占有相当重要的地位：一方面，由于它简单，对它的讨论有助于直观地理解概率论的许多基本概念；另一方面，古典概型概率值的计算在产品质量抽样检查等实际问题以及理论物理的研究中都有重要应用。

综合应用：铺一铺（第109～110页）教材说明密铺，也称为镶嵌，是生活中非常普遍的现象，它给我们带来了丰富的变化和美的享受。

教材在四年级下册就安排了密铺的内容，通过让学生观察用长方形、正方形、三角形密铺起来的图案，了解什么是密铺。

本册教材中，通过实践活动继续让学生认识一些可以密铺的平面图形，会用这些平面图形在方格纸上进行密铺，从而进一步理解密铺的特点，培养学生的空间观念。

《古典概型的应用》课标解读

《古典概型的应用》课标解读教材分析古典概型在概率论的发展中占有重要的地位，在实际中有着广泛的应用.本节主要学习古典概型的应用，学生在上一节已经学习了古典概型的概念及古典概型的概率计算公式，并会用古典概型（试验具有两个特征：有限性和等可能性）的定义分析问题，并能用列举法或列表法列举样本空间，为这一节学习古典概型的应用奠定了知识与方法的基础，在此基础上，启发学生从不同的角度思考问题，完善用古典概型解决实际问题的三个环节：判断模型、列举计数、计算概率.在前面随机事件的运算中学习了互斥事件和对立事件，在此基础上研究互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率减法公式.教材的例2、例3主要是体会古典概型在实际中的应用.教材对例3给出了4种不同的解法，说明对于一个问题，由于切入的角度不同，可以选择不同的古典概型来解决问题，体现了思维的灵活性.此外，例3表面上是一个摸球问题，实际上它也是许多其他实际问題的一个模型，如抽签、排序占位等问题.推广之后是概率中的一个经典问题，即“抽签有先后，是否公平”.互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率减法公式，表面上只是公式，一般来讲会用则行，但教材在第199页给出公式前安排了“思考交流”，分别给出3个试验来探索概率之间的关系，其意图是理解公式的意义和提升学生的分析能力.学生探索结论（公式）的过程就是探索新的领域里新运算规律的过程，有助于数学运算能力的提升.高考中主要考查根据实际情境构建古典概率模型求解概率、利用互斥事件及对立事件的概率公式求随机事件的概率.本节内容涉及的数学核心素养有数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模等.学情分析学生在前面几节已经学习了随机事件、不可能事件、必然事件的定义以及随机事件的运算、互斥事件和对立事件，而在上一节又学习了一种经典的概率模型—古典概型，可以说对概率的相关问题已经有了大体上的认识.根据高中学生记忆力好、探究欲强的特点，对他们来说，现在就可以结合前面学习概率的有关知识来继续学习古典概型的应用、互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率减法公式，为进一步研究概率的问题打下良好的基础.教学建议在本节中，古典概型的应用体现在两个方面：一是在解决实际问题方面的应用；二是作为素材，在理解互斥事件的概率加法公式中的应用.在解决实际问题的教学中要让学生体会运用古典概型求随机事件的概率的三个重要环节：（1）判断模型；（2）列举计数；（3）计算概率.在判断模型环节，其中的等可能性往往隐藏在问題的叙述中，例如，在例2中有如下描述“共六本，从中任取两本”，“任取”就意味着六本书中哪一本被取出、哪一本不被取出的可能性都是相等的，不存在某一本取出的可能性比别的更大或更小的情形，这就体现了“等可能性”.因此，教学中要让学生学会在题意中读出这种等可能性.在列举计数环节，还是要让学生体验列举计数的全过程，不能随意使用加法原理和乘法原理.在教学例3时重在启发学生从不同的角度思考解决问題，一方面，对学生的不同解法都要给予充分的肯定，而不是根据其繁简程度确定优劣；另一方面，对于每一种解法，都要让学生说出完整的三个环节，而不是简单地一语带过.在此基础上，再让学生体会不同方法的异同和优劣，体会为什么同一个问题可以构造不同的概率模型加以解决，在教学中根据学生的实际情况决定是否做进一步的推广.在理解互斥事件的概率加法公式的教学中，要充分利用教材第199页“思考交流”中的三个古典概型实例，让学生主动探究()P A P B的关系，并且通过列表的方式进⋃与(),()P A B行对比分析，找出共性，进而抽象概括出一般性的结论，让学生充分感受到从特殊到一般，从感性到理性的认识过程，公式()()()⋃=+成立的条件是P A B P A P B事件A，B互斥，因此在使用公式前需要先判断是否满足条件，在A，B不互斥的情形下则不能使用.在例4的教学中首先要让学生理解题意，从表格中准确提取信息，再利用互斥事件的概率加法公式解决问题.在例5的教学中重在让学生体会正难则反的思维策略.在例6的教学中重在让学生体会不放回和有放回两种不同的抽签，（摸球）模型，其应用的情境不同，同时计数的方法和结果也有区别.学科核心素养目标与素养1.根据实际问题选择适当的古典概型并利用基本计算方法计算古典概型中事件的概率，达到数学运算核心素养水平二的要求；体会数学模型的构建过程，会应用数学模型解决实际问题，达到数学建模核心素养水平二的要求.2.结合古典概型，掌握互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率减法公式，并能利用运算法则解决简单的概率问题，达到数学运算核心素养水平一和逻辑推理核心素养水平二的要求.情境与问题案例一通过回顾古典概型的特征及概率的计算公式、互斥事件和对立事件的定义等内容引入本节课的教学，体现了知识的发展过程，衔接自然.案例二通过设计两个问题：“1.求古典概型问题的一般思路是什么？2.对于同一问题，样本空间是否一定是确定的？”并举出了一个简单的抛掷硬币的例子，让学生体会在概率计算的问题中，同一个问题可以构建不同的概率模型加以解决，从而引入新课的教学，衔接自然.内容与节点古典概型的应用是在学生学习了古典概型的定义及古典概型的概率计算公式的基础上，应用古典概型来分析解决实际问题，启发学生从不同的角度思考问题，并用古典概型分析得出互斥事件的概率加法公式，也是后续学习有关概率其他内容（概率分布、期望、方差等）的基础，因此起着承上启下的作用.过程与方法1.经历根据实际问题选择适当的古典概型并利用基本计算方法计算古典概型中事件的概率的过程，发展数学运算核心素养；通过数学模型的构建过程，体会应用数学模型解决实际问题，发展数学建模核心素养.2.经历运用思考探究、讨论交流的方式抽象概括出互斥事件的概率加法公式的过程，提升逻辑推理、数学抽象核心素养.教学重点难点重点利用古典概型解决实际问题，掌握互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率减法公式.难点根据实际问题选择适当的古典概型，互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率减法公式的理解与应用.。

从一道“争鸣”问题谈古典概型的“等可能性”特征

2．分析
我们看高中教材中如何阐述古典概率的定义的：如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 A 件包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P（A）=
1 ．如果某个事 n
m ．这里明确提出“所有结果出现的 n
可能性都相等” ，这种“等可能性”是运用古典概率定义计算概率时必备的前提．不具备这个前提，是不能用公式 P（A）= 这个必备的大前提： A B B 0 先给出引理：设（ Ω, f , P ）为一概率空间，A ∈ ƒ，B ∈ ƒ，且 P（B）＞0，在“已知
解法 1 是错误的．至此，问题似乎完满解决了．其实不然！一次试验的 15 种可能结果出现的可能性相等是在“假设在一次试验中每粒小球被倒出的可能性都是
1 ，且相互独立”的前提下得到的，而原题中并未说明这个前提．倘若我们 2
假设在一次试验中每粒小球被倒出的可能性都为 p（0＜p＜1），且相互独立，此时解法 2 还恰当吗？这同样需要检验新情况下的每种结果的出现是否具备“等可能性” ．易知，当 i=1,2,3,4 时， P （ A |至少 1 粒） =
=
p 3 ⋅ (1 − p ) p4 1 ； i=15 时，（A i |至少 1 粒）当 P = ．显然，在一般情况下（p≠ ）， 4 4 2 1 − (1 − p ) 1 − (1 − p )
15 种结果出现的可能性并不完全相等，所以此时不能够采用古典概型的公式计算所求事件的概率，解法 2 不再适用．那么此时又该如何求解？结合 15 种结果，很容易得出结论： P（倒出奇数粒|至少 1 粒）= P（倒出 1 粒|至少 1 粒）+ P（倒出 3 粒|至少 1 粒）

古典概型教学反思1

结果和感受，并提出问题 , 归纳出基本事件及其计算公式。三．反思优点与不足
本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。在学生小组讨论时指导得不够到位，应该赋予学生更多的时间，给他们更多的自主权。
随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。二．教学过程反思
通过两个试验：（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成 40 次，最后由科代表汇总；(2) 抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“１点”、 “２点”、“３点”、“４点”、“５点”和“６点”的次数，要求每个数学小组至少完成 30 次，最后由科代表汇总。学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，教师最后汇总方法、
《古典概型》的教学反思
《古典概型》是高中数学必修 3 第三章概率的第二节内容，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时中的一些问题。一．教学设计反思
谈话结束后，张先生起身离开了这个地方。当他外出时，他并没有忘记关门。房间又一次变得安静了，北河甚至可以听到他的呼吸声。与此同时，他又陷入了陷阱。他仍然很悲伤。他仍然不相信。主人和弟弟被箭射死了。 “嘿.”它没过多久，我听到敲门声。北河宇光瞥了一眼门。在方向上，我听到了“哦”，房间的门被打开了。一位穿着中国服装的老人双手扶着走进去。这个人是山的主人。领主，平日经常挂在脸上的笑容，被庄严的气氛所取代。跟着这个人，有个女人扎着马尾辫，又冷又冷。他们进入这个地方之后，他们很冷。门关上了，蒋木媛已经来到北河边，所以他低头看着他。 “你的主人。 “我只听江慕源问道。北河的呼吸明显很重，下面是：”死了。“”声音刚刚落下，蒋木媛浑浊的瞳孔没有缩小，眼睛微微眯起，脸上的敬畏变得有点凶悍。 “这到底是怎么回事。”贝赫深吸了一口气，然后他最后一次和陆厚出去了。他将去南丘山，忘记杀人之路。他前往卢侯被凤国七国围困，并在箭中死亡。接下来就是走到一起。在这个过程中，他的语气很平静，好像他在讲一个与自己无关的故事。听完他的话后，江慕源的脸很平静，其他理解它的人会感到惊讶。因为在这位和蔼可亲的领主面前，这种表达从未出现过。这个房间里的沉默比北海的沉默更加激烈。气氛变得极为尊严。 “哦.”又敲门，后门被推开了。脸上带着酒窝的小蟑螂进来了，手里拿着一个竹篓和饭菜。根据张先生的说法，她为北河赚了一大笔钱。

2020届二轮复习古典概型 (2)

率掷一颗均匀的骰子，它的每一种结果出现的可能性都是 . 1 6
初
步
古典概型
概 1、古典概型我们会发现，以上三个试验有两个共同特征：
率 (1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有
限个，即只有有限个不同的基本事件；
初 (2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
步我们称这样的随机试验为古典概型。
概率初步
3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算： (1)两枚硬币都出现正面的概率是 0.25 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.5
4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案
中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出
其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是 0.25
例4 从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，任取4个组成四位数，求：
（1）这个四位数是偶数的概率；
（2）这个四位数能被5整除的概率．
例４一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式： • 放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。 • 不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：
5、做投掷二颗骰子试验，用(x,y)表示结果，其中x表示第一
颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，求：
5
(1)事件“出现点数之和大于8”的概率是 18
1
(2)事件“出现点数相等”的概率是
6
练习巩固
概 6、在掷一颗均匀骰子的实验中，则事
件Q={4，6}的概率是
1 3
率

古典概型与结合概型课程思政案例

古典概型与结合概型课程思政案例一、课程导入中的思政元素。

1. 故事引入古典概型。

“同学们，今天咱们要开启一段有趣的概率之旅。

我先给大家讲个故事。

在古代，有个王国举行射箭比赛，靶心被分成了几个不同的区域，射中不同区域能得到不同的奖励。

这就有点像咱们今天要学的古典概型。

你们看，每个区域被射中都有一定的可能性，而且这些可能性是可以计算的。

这就好比在我们的生活中，机会总是存在的，但是需要我们去把握规则，就像射箭要遵循比赛规则一样，我们做任何事都得在规则的框架内去争取最好的结果。

这也是一种公平公正的体现，就像古典概型中每个基本事件发生的可能性相等一样。

”2. 从生活实例引入几何概型。

“咱们再来说个好玩的事儿。

假设你是个小馋猫，去蛋糕店买蛋糕。

蛋糕师傅把一个圆形的蛋糕平均分成了几块，你闭着眼睛拿一块，这每一块被你拿到的可能性就类似于几何概型中的概率。

这个蛋糕就像一个几何区域，而每一块就是这个区域中的一部分。

从这个事儿咱们能想到啥呢？其实啊，这就像我们在社会这个大‘蛋糕’面前，每个人都有机会去获取属于自己的那一份。

但是我们不能贪心，得按照合理的方式去争取，这也是一种和谐社会的体现。

而且这个蛋糕的分配方式，也反映出一种均衡和美感，就像几何图形有着自己的规则和秩序一样。

”二、概念讲解中的思政融合。

1. 古典概型的公平性教育。

“咱们来详细说说古典概型。

古典概型要求每个基本事件发生的可能性相等。

这是一种非常公平的设定。

就好比在学校里，咱们考试的时候，每个同学面对的试卷是一样的，考试规则也是一样的，这就是一种公平的竞争环境。

大家在这样的环境下，凭借自己的努力去取得好成绩。

这就像古典概型中每个基本事件在等可能性的前提下，去计算某个事件发生的概率。

如果破坏了这种公平性，就像考试作弊一样，整个体系就乱套了。

所以我们要尊重公平，在生活中的各个方面倡导公平竞争的精神。

”2. 几何概型中的空间观念与包容意识。

“再看几何概型，它涉及到几何区域。

古典概型的几类基本问题（1）

古典概型中的几类基本问题1 引言]1[：一是明确分辨问题的性质，即是对于古典概型问题的求解，首先要做到这三方面的工作67不是古典概型问题；二是掌握古典概型的公式；三是根据公式要求，确定n（基本事件总数）和k（有利事件总数）的值17]2[，这是解题的关键一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式，但古典概型的种种解法大体上都是围绕n和k展开的．抛硬币、掷骰子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中有着十分重要的意义．一方面，这些模型是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型，它们的内容生动形象，结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律．另一方面，这种模式化的解决，常常归结为某种简单的模型．因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，不断提高解题能力．通过对相关资料的查询及老师的指导，本文主要讨论古典概率的三类基本问题：摸球问题、质点入盒问题、随机取数问题，给出它们的一般解法，指出其典型意义，并介绍其推广应用．2 摸球模型摸球模型是指从n个可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回、是否计序等）一个一个地m≤）个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算事件的概率．一从中取出m（n]3[：般说来，根据摸球的方式不同，可分为四种情况来讨论，得如下表一的四种不同的样本空间26表一其中mnm m n H C =-+1表示从n 个不同元素中取m 个元素进行元素的可重复的组合时其不同的组合个数，对各种情况先举例及推广应用：2.1 有放回且有计序摸球如果摸球是从n 个可分辨的球按有放回且计序的方式一个一个地从中取出m 个，这时样本空间的基本事件，总数应按相异元素允许重复的排列公式计算，因而有m n 个,此种情形是我们经常遇到的，下面来看个例子．例1 用1、2两个数字组成3个数，组成多少个数？思考方法在数字排序的问题中，百位、十位、个位这三个位置上必须找出一个数字，至于每个是否均有位置，则不作要求，所以这是个有放回且计序的摸球问题，从而在各个位置上可以是1、2的任一个．依乘法原理不同的组合数有823==m n 个．2.2 有放回且无计序摸球从n 个相异元素每次取出允许重复的m 个元素，不计次序并成一组，叫做从n 个相异元素允许重复的m 元组合，其所有组合的个数为m n m m n H C =-+1，通过下面的这个例子我们也可以看出它的典型性．例2 匣内装颜色分别为红、白、黑的三个球，有放回不按序选取，问匣内任取两个不同颜色的球的概率为多少？思考方法作为有放回不按序摸球问题，设A 表示从匣内有放回不计序选取两个不同颜色的球的事件．由题设可知，样本空间的基本事件总数为624212323===-+C C H ，事件A 所含的基本事件数为323=C ,故所求概率为21)(2323==H C A P ．2.3 无放回且计序摸球如果摸球是无放回且计序摸球，这时样本空间的基本事件总数等于从n 个不同元素中取出m 个元素的所有不同排列的个数为mn A ，或是n 个互异元素的全排列!n P n =，这种情形也是摸球模型的重要类型．例3 袋中有α个白球，β个黑球，从中陆续取出)3(3βα+≤个球，求这3个球依次为黑白黑的概率．思考方法每一个样本点对应着βα+个球中依次取出三个球的一种取法，需要考虑先后顺序，属于排列问题．用A 表示事件“取出3个球依次为黑白黑”，从βα+个球中依次任取三个，有3βα+P种取法，此即样本点总数．对于有利事件，第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得，有2βP 种取法；第二个白球可在α个白球中取得，有1αP 种取法．因此，A 所包含的样本点总数为12αβP P，于是312)(φααβ+=PP P A P ．2.4 无放回且不计序问题如果摸球是无放回且不计序，其样本空间的基本事件总数是从不同元素中取出若干个元素的所有不同的组合个数．例4 袋中有α个白球，β个黑球，问：从中不放回取出n m +（βα≤≤∈n m N n m ，，、）个球，试求所取出的球恰有m 个白球的概率．思考方法：这些同类球都不加区别，即不计序，又抽取后部返回，因而本例属无放回且不计序的摸球模型，其基本事件总数为nm C ++βα，此事件A 为“取出n m +个球中恰有m 个白球”，而事件A 所包含的样本点数，相当于从α个白球中取出m 个，从另外m -+βα个球中任取n 个取法种数共nm m C C -+βαα，所以nm nmm C C C A P ++-+=βαβαα)(．前面我们对摸球模型的各种类型进行了归纳，如果把白球、黑球换成产品中的正品、次品，或换成甲物、乙物，这样的人、那样的人……就可以得到形形色色的摸球问题．如果能灵活地将这些实际问题与前面的模型类型对号入座，我们就能解决有关的实际问题，为我们的生活带来方便和乐趣，例如灯泡厂检验合格率等这些产品抽样问题；还有可以把全班学生分成两组，求每组中男女生人数相对等的概率；从一副扑克牌中任取6张，求得3张红色的和3张黑色的概率；在安排值班的问题中，也可以按照无放回模型进行分析；在买彩票的过程中，可以把双色球、D 3、36选7等玩法的中奖概率求出，增加自己中奖机会．这样不仅把古典概率的知识应用在了生活中，给生活带来方便，同时也使数学给自己带来了乐趣，激发了对数学应用的动力．3 质点入盒模型该模型是指有n 个可分辨的盒子，m （n m <）个质点，按照质点是否可分辨，每盒可容纳质点的多少等不同情况，把m 个质点放入n 个可分辨的盒子，从而形成不同的样本空间，然后在各自样本空间计算事件的概率，与摸球模型类似，这里也可分四种情况讨论，清晰地可见这种模型的具体分类情况，如表二)37(]3[p ：表二3.1 每盒能容纳任意多个质点且质点可分辨质点需要分辨的问题就是排列问题，盒子能容纳任意多个质点的问题就是重复排列问题．例1 有5个不同的质点，每个都同样以101的概率落入10个盒子，事件A ={指定的一个盒子中恰有3个质点}的概率．思考方法：由题意知，盒子容纳质点的数目不限，又质点可分辨，故为重复排列问题，其基本事件总数为510=mn ．在指定的一个盒子中恰有3个质点，共有35C 种选法，余下的2个质点可任意放入余下的9个盒中，共有29种不同选法，因而事件A 所包含的基本事件总数为3529C ，故所求概率为008.010*******109)(5352===C A P ． 3.2 每盒可容纳任意多个质点且质点不需分辨m 个质点随机进入n 个盒中，质点不需分辨属组合问题，又每盒能容纳任意多个质点，该组合为元素允许重复的组合，样本空间中含有m n m m n H C =-+1个样本点，即其基本事件总数为mm n C 1-+．例2 将例1中“5个不同的质点”换为“5个相同的质点”．思考方法：质点不需分辨属组合问题，又每个盒子容纳的质点不限，故该组合为元素可重复的组合，其基本事件总数为200251451510510===-+C C H ，因3个质点有35C 种选法，其余两质点可能落入两个盒中，有29C 种选法；也可能落入一个盒中，有19C 种选法，故有224.0)()(514192935=+=C C C C A P ． 3.3 每盒最多可容纳一质点且质点需分辨这样的问题是属于元素不允许重复的排列问题．例3 将3个不同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法因质点互异，且每盒最多只容纳一质点，故属元素不允许重复的排列问题，因而其基本事件总数为6035=A ，事件A 所含的基本事件为2434=A ，故4.06024)(35434===A A A P ．3.4 每盒最多只容纳一质点且质点不需分辨例4 将将3个相同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法：质点不需分辨，属组合问题，又每盒最多只容纳一个质点，该组合为元素不允许重复的组合，因而其基本事件总数为1035=C ，事件A 所包含的基本事件总数为434=C ，故4.0104)(3534===C C A P ．质点入盒模型概括了很多的古典概型问题．如果把盒子看作365天，可研究n 个人的生日问题；如果把盒子看作每周的7天，又可研究值班的安排问题；如果把质点看作人，盒子看作房子，又可研究住房分配问题；如果把粒子看作质点，盒子看作空间的小区域，又可研究统计物理的Boltzmann Maxwell -统计模型；如果把信看作质点，盒子看作邮筒，又可研究投信问题；如果把骰子（硬币）看作质点，骰子（硬币）上的六点（正面和反面）看作)2(6个盒子，又可研究骰子（硬币）问题；如果将旅客视为质点，各个车站看作盒子，又可研究旅客下车问题等．不难看出质点入盒模型可以用来描述很多直观，背景完全不同但实质都完全一样的随机试验，应透过表面抓住本质，把相关问题与相应的模型联系起来，加以转化，这样问题就不难解决了．4 随机取数模型与前面的两种模型相比，此模型分类情况较简单些，分为有放回地随机取数和无放回地随机取数两种情况)44(]3[p ．4.1 有放回地随机取数取出的数字还原时，其样本空间的基本事件总数可按从n 个不同数字里取出m 个的重复排列计算问题．例1 从，，21…10这十个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：)1(1A :7个数全不相同；)2(2A :不含9和2；)3(3A :8至少出现三次；)4(4A :5至少出现两次；)5(6A :取到的最大数恰为6．思考方法本题所及的随机试验，就取样方法来说，属于返回取样．也就是说，把某数取出后还原，下次仍有同样的可能再取到这个数．注意到这一特点，运用上面介绍的思想方法，此题就不难得解．解依题设，样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列．所以，样本点总数为710．)1(事件1A ，要求所取的7个数是互不相同的，考虑到各个数取出时有先后顺序之分，所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列．因此，1A 所包含的样本点数为710P ．于是06048.010)(77101≈=P A P ．)2(事件2A ，先后取出的7个数中不含9和2，所以，这7个数只能从108765,3,41，，，，，这8个数中取得．注意到试验属于有返回取样，则2A 的有利场合，相当于8个互异元素允许重复的7元排列．于是2A 所包含的样本点数为78，有2097.0108)(772≈=A P ．)3(事件3A 中出现的三次8，可以是7次取数的任意三次，有37C 种选法；其余的4次，每次可以去剩下的9个数中的任一个，共有49种取法．因此0230.0109)(74373≈=C A P ． )4(事件4A 是六个两两互不相容事件“5恰好出现k 次”)65432(，，，，=k 的和，因此，1497.0109C )P(A 727774≈=∑=-k kk ．也可以考虑4A 的逆事件．这里4A 是事件“5恰好出现一次或一次也不出现”．显然8503.01099)(776174≈+=C A P 所以，1497.08503.01)(-1)P(A 44=-==A P)5(事件5A 的有利场合，就是6个相异元素)654321(，，，，，允许重复的最大数恰好为6的7元排列．这种排列可以分为6出现1次，1次，2次，3次，4次，5次，6次，7次等7类，显然，它们的排列数依次为6175C ,5275C ,4375C ,3475C ,2575C ,567C ,0775C ．于是0202.0105)(771775≈=∑=-k kk CA P事件5A 的有利场合的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列，有76种，它可以分为两类，一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复排列．注意到第二类重复排列有75种，则第一类重复排列有76-75种．于是0202.01056)(7775≈-=A P ．4.2 无放回地随机取数如取出的数字不还原，其样本空间的事件总数要根据取数是计序或不计序，按不重复的排列或组合计算．例2 从，，10…9这十个数中任取三个不同的数字，试求下列事件的概率：)1(1A :三个数字中不含0或5；)2(2A :三个数字中不含0和5．解所取三个数不计序，本例属元素不允许重复的组合问题，其基本事件总数为35C n =．)1(有利于1A 的基本事件总数为381C m =,于是所求概率为157)(310381==C C A P ．)2(在所给的十个数字中任取3个不含0的数字共有39C 个，同样任取3个不含5的数字共有39C 个．这些个数中均包含既不含0又不含5的3个数字的个数38C ．于是这样的3个不同数字被算了两次，即多算了一次，造成了重复．因而有利于事件2A 的基本事件数3839392C C C m -+=,故所求概率为1514)2()(31038392=-=C C C A P ．随机取数模型作为典型的古典概型，解题的思想方法对于同类问题具有指导意义．但绝不能把它作为现成的公式乱套，有些问题表面看机构相仿，实质上差别较大，须斟酌题意灵活运用．随机取数模型在日常生活也可应用在通讯公司计算电话号码，单位票据编号完全不同的概率等实际问题中．作为古典概型在事件生活中的应用，现例举一综合例子：我们在庙会，公园里都可以看到玩这种游戏的，袋中有3种颜色的相同玻璃球，各有3个球，大家可以免费参加摸球游戏，每次从袋中摸出3个球，奖罚规则如下：摸出的3个球若：(1)颜色只有一种奖励玩家5元；(2)有两种颜色的情况罚玩家1元；(3)有三种颜色的情况奖励玩家2元．面对这种情形，我们大多数人都会对其产生诱惑，会高兴地“免费”试试身手，但我们学习完古典概型的知识后，可以看到这种游戏背后的真相．对于(1)、 (2)、)3(其概率利用古典概型的知识可得为843)1(3913==C C P ,8454)2(3913231223==C C C C C P ,8427)3(39131313==C C C C P ．直观地说，就是在84次的摸球中，第一种情况有3次，老板赢得155*3=元，第二种情况有54次，玩家输去541*54=元，第三种情况有27次，老板赢得542*27=元，最终老板赢得15541554=-+元，这个看似比较公平的游戏还是被老板赚了，所以以后大家遇到这种情形就需要考虑了．总之，通过以上几种古典概型问题的分析过程可得，这类问题是一个既有法、有时又无定法的问题．求解这类问题通常有两条基本思路：一条是直接法，对有附加条件的特殊元素或排列中的特殊位置应先处理，直接求出满足题设条件的种数；另一条是间接法，先撇开附加条件求出一个总数，再扣除不合要求的种数．在这两个过程中，均以排列、组合等知识点作为出发点，考虑一切可能出现的结果，既不能将它们遗漏，也不要重复．综合知识间的内在联系，运用多种多样、灵活多变的解题技巧把抽象的内容知识延伸至实际问题中，提高解决实际问题的能力．因此，在解答概率题时没有一个固定的模式，需要扎实的基础知识和灵活的技能技巧，为解决实际问题服务，把古典概型的知识应用在日常生活中．参考文献：[1] 赵振威等．怎样解概率题[M]．北京师范大学出版社，1986 [2] 魏宗舒等．概率论与数理统计教程[M ]．高等教育出版社，1983[3] 毛纲源．概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M]．华中科技大学出版社，1999 [4] 汪仁宫．概率论引论[M]．北京大学出版社，2005 [5] 周惠新．概率方法的妙用[J]．高等数学研究，2005 [6] 文建新．如何分析计算古典概型习题[J]．武当学刊，1996 [7] 曹晓阳．关于古典概率的几种解法[J]．自然科学版，2005．09[8] A. Kolmogorov-Smirnov .Test for Classical Probability Models [J]．自然期刊，2010。

《古典概型的概率问题求解》专题精讲

《古典概型的概率问题求解》专题精讲1.求古典概型问题的常用方法等可能事件的概率问题是概率中最基础、最常见的问题,古典概型问题就是要判断样本空间中的样本点是否有限,且等可能,解题时要紧紧把握古典概型的两个特征:有限性和等可能性,然后按下列步骤计算:①算出基本事件的总个数n;②算出事件A中包含的基本事件的个数m;③算出事件A的概率,即()mP An.古典概型问题中常用“列举法”“图表法”“树状图法”来进行概率的求解,这是解决古典概型问题中的常用工具.(1)列举法将试验结果一一列举,得到所有的样本点的个数和待求概率的事件包含的样本点的个数,进而求概率.典例1有5根木棍,其长度分别为2,3,4,5,6,从这5根木棍中任取3根,首尾相接能构成三角形的概率是( )A.7 10B.3 5C.2 5D.3 10答案:A解析:本题以构造三角形为背景,利用列举法求解古典概型的概率,在计算概率的过程中需要将试验结果一一列举,得到所有的样本点的个数和待求概率的事件包含的样本点的个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解从2,3,4,5,6这5个数中任取3个不同的数的所有情况有(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共10种.其中能构成三角形的情况有(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7种.所以能构成三角形的概率为7 10.(2)图表法用图表的形式把某试验中所有样本点都呈现出来,并从图表中找出所求事件包含的样本点,从而利用古典概型的概率计算公式求解.典例2汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示的三个汉字可以看成轴对称图形小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏对谁有利？说明理由.解析:每次游戏时,所有可能出现的结果如下表所示:共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同.其中,能组成上下结构的汉字的结果有4种:(土,土)“圭”,(口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(ロ,木)“呆”或“杏”.所以小敏获胜的概率为49,小蔧获胜的概率为59,所以这个游戏对小慧有利.思路:本题以数学文化为背景,通过游戏的公平性,利用图表法来求解古典概型的概率,在概率的计算过程中,需要用图表的形式把某试验中所有样本点都呈现出来,图表法通常把对问题的思考分析归纳为“有序实数对”,以便更直接地找出基本事件数.(3)树状图法利用树状图将基本事件之间的关系列出来,适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点数的问题时直观、方便,但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝,避免造成遗漏或重复.典例3从标有数字1,2,3,4的4张卡片中任意抽取2张,则所抽取的2张卡片上的数字之积为奇数的概率是( )A.1 8B.1 6C.1 4D.1 2答案:B解析:本题通过树状图法来求解古典概型的概率,画树状图时,要注意按照一定的顺序确定分枝,避免造成遗漏或重复,然后在按照古典概型计算概率的求解步骤进行计算.设“所抽取的2张卡片上的数字之积为奇数”为事件A,可以利用树状图表示2张卡片上的数字之积,如图,由图可知,有4大类,每大类中有3种可能结果,共有4⨯312=(种)结果,其中抽取的2张卡片上的数字之积为奇数的结果有2种,所以21 ()126 P A==.2.有关抽取问题的概率古典概型的抽取问题有三种题型:依次不放回抽取、依次放回抽取与同时抽取.(1)对于不放回抽取,每次抽取时,总体数目比上一次抽取时要少,因此在第n 次抽取与第1n+次的抽取时,物品被抽中的概率可能会发生改变.(2)对于有放回抽取,总体数量没有改变,因此每次抽取同一种物品的概率相等.有放回抽取和无放回抽取的区别在于,同一件物品“有放回抽取”可能被抽到两次,而“无放回抽取”最多被抽到一次.这正是“有放回抽取”的样本空间包含的样本点数量比“无放回抽取”对应的样本空间包含的样本点数量多的原因.(3)同时抽取的实质是把不同性质的两(多)组元素混合在一起抽取,没有先后顺序,只考虑配对,厅以对应样本空间与所求事件包含的样本点数量都比“依次不放回抽取”对应的样本点数量少.典例4 一个袋子中装有四个形状和大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,记该球的编号为m ,将球放回袋中,再从袋中随机取一个球,记该球的编号为n ,求n ≥2m +的概率.解析:(1)从袋中随机取两个球,其样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点有(1,2),(1,3),共2个.因此所求事件的概率为2163=. (2)先从袋中随机取一个球,记其编号为m ,放回后,再从袋中随机取一个球,记其编号为n ,其一切可能的结果(m ,)n 组成的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.其中满足条件2n m ≥+的样本点有(1,3),(1,4),(2,4),共3个,所以2n m ≥+的概率为316. 思路:本题通过摸球的模型,考查了古典概型中的不放回和有放回抽取问题,在解决此类题需要注意,不放回抽取,物品被抽中的概率可能会发生改变,有放回抽取,总体数量没有改变,因此每次抽取同一种物品的概率相等.典例5 有红心1,2,3,4和黑桃5五张扑克牌,现从中随机抽取两张,则抽到的牌均为红心的概率是( )答案:35解析:本题考查了古典概型中的同时抽取问题,解决此类题要注意,元素没有先后顺序,只考虑配对.从五张扑克牌中随机抽取两张,有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个样本点,抽到的2张均为红心的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点,所以所求的概率为63105=.。