2013高三数学总复习同步练习：8-3直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系解析
高三数学一轮复习精讲精练：8.4直线与圆的位置关系
第4课 直线与圆的位置关系【考点导读】能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.【基础练习】1.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是-6＜a ＜42.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于23.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x +2y +1=0相切的直线的方程为 x =2或3x -4y -2=0 .【范例导析】例1.已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时，可以从垂径定理角度考虑，充分利用圆的几何性质.例2.已知圆O: 122=+y x ，圆C: 1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足|PA|=|PB|.求实数a 、b 间满足的等量关系.解：连结PO 、PC ，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a .例3.已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x =-. 求圆C 的方程.解：设圆C 半径为r，由已知得：a b r a ⎧⎪=⎪⎪=⎨ ∴11a b r ==⎧⎨=⎩，或11a b r ==-⎧⎨=⎩∴圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋.例4.如图，在平面直角坐标系x O y 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l 1被直线l ：y =33x 反射．反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1， l 2都相切. (1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．解：（1）直线1:2,l y =设12l l D D 交于点，则（）.l 的倾斜角为30，260l ∴的倾斜角为，2k ∴=∴反射光线2l 所在的直线方程为2y x -=-.40y --=.已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b)，圆心C 在过点D 且与l垂直的直线上，8b ∴=+ ，又圆心C 在过点A 且与1l 垂直的直线上，a ∴=81b ∴=+=-，圆C 的半径r=3， 故所求圆C的方程为22((1)9x y -++=.例2（2）设点()0,4B -关于l 的对称点00(,)B x y '，则00004224y x y x ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得(2)B '-，固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ +最小，故PB PQ +的最小值为33B C '-=-.此时由121y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩1)2P .【反馈练习】1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1，3)处的切线方程为20x -+=2.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k的取值范围是-（ 3.设m>0，则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=21m+，圆半径为m . ∵d-r=21m +-m =21(m-2m +1)=21(m -1)2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为35.点P 从(1，0)出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为)23,21(- 6.若圆04122=-++mx y x 与直线1-=y 相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为347.设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 1 .8.已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖． (1)试求圆C 的方程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥，求直线l 的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2，1)，所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=.(2)设直线l 的方程是:y x b =+. 因为CA CB ⊥，所以圆心C 到直线l ，解得:1b =-±.所以直线l 的方程是:1y x =-±.。
高三数学北师大版(理)一轮复习讲义第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：―――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎨⎧＞0⇔相交；＝0⇔相切；＜0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：[常用结论]1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．2．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2. () [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心，但与圆相交D．相离B[依题意知圆心为(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝12＋(－1)2＝0，所以直线过圆心．]3．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为() A．内切B．相交C．外切D．相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]4．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0D [因为点P (1，3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点， 故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0，故选D ．]5．(教材改编)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．22 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0,0)，半径r ＝2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2，所以公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.]直线与圆的位置关系►考法1 直线与圆位置关系的判定【例1】 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．]►考法2切线问题【例2】已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[解]由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．又k PC＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k＝－1k PC＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.►考法3 弦长问题【例3】 设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0B [当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，∴(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B ．]数m 的取值范围为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0(3)已知P 是直线l ：kx ＋4y －10＝0(k ＞0)上的动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，若四边形P ACB 面积的最小值为22，则k 的值为( )A ．3B ．2 C.13D ．152(1)D (2)C (3)A [(1)由题意可知，圆心为(1,1)，半径r ＝1，若直线与圆相交，则|1＋m －2－m |1＋m2＜1，即1＋m 2＞1，∴m ≠0，故选D ．(2)若|MN |＝23，则圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为|2k －3＋3|1＋k2＝22－(3)2＝1，解得k ＝±33.若|MN |≥23，则－33≤k ≤33. (3)圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，则圆心为C (1，－2)，半径为1，则直线与圆相离，如图，S 四边形P ACB ＝S △P AC ＋S △PBC ， 而S △P AC ＝12|P A |·|CA |＝12|P A |， S △PBC ＝12|PB |·|CB |＝12|PB |， 又|P A |＝|PB |＝|PC |2－1，所以当|PC |取最小值时，|P A |＝|PB |取最小值，即S △P AC ＝S △PBC 取最小值，此时，CP ⊥l ，四边形P ACB 面积的最小值为22，S △P AC ＝S △PBC ＝2，所以|P A |＝22，所以|CP |＝3，所以|k －8－10|k 2＋16＝3，因为k ＞0，所以k ＝3.]圆与圆的位置关系【例4】 已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解] (1)证明：圆C 1的圆心为C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心为C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程左、右两边分别相减，得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11(1)B (2)C [(1)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22，∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，∴M (0，a )，r 1＝a . ∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．(2)圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.]1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到 直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在R t △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.]2．(2014·全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．[－1,1] [如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22.而ON ＝1，∴OM ≤ 2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]．]3．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. [解] (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.。
高三数学(文)一轮复习讲解与练习8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(含答案解析)
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a＝2，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±2.因此p是q的充分不必要条件．4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0解析：选D 法一：圆心O (0,0)，C (3，－3)的中点P ⎝⎛⎭⎫32，－32在直线l 上，故可排除A 、B 、C.法二：两圆方程相减得，6x －6y －18＝0，即x －y －3＝0.5．(2012·重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 因为直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB |＝2.[例1] (1)(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．[自主解答] (1)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.[答案] (1)C (2)43——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________． 解析：将x 2＋y 2－2y －3＝0化为x 2＋(y －1)2＝4.由于直线l 过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l 与圆相交．答案：相交2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 设圆心C (x ，y )，则题意得(x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y －8.[例2] (1)(2012·北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． (2)(2013·济南模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.(2)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.[答案] (1)22 (2)x ＋y －3＝0 ———————————————————求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB ||x 1－x 2|＝3．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＝22， 所以a ＝0或a ＝4.4．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10[例3] 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)从圆C 外一点P ( x ，y )向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．[自主解答] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零， 设直线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.故直线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由于|PC |2＝|PM |2＋|CM |2＝|PM |2＋r 2， ∴|PM |2＝|PC |2－r 2.又∵|PM |＝|PO |，∴|PC |2－r 2＝|PO |2， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2.∴2x －4y ＋3＝0即为所求的方程．若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l 的方程． 解：将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得y ＝(2±6)x ；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上可知，直线l 的方程为 (2＋6)x －y ＝0或 (2－6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.——————————————————— 求过一点的圆的切线方程的方法(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x ＝x 0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．5．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点(1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.创新交汇——直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例](2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．[解](1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为32＋(t－1)2＝3.则圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数； (2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验． [变式训练]1．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2 C. 2D.2－1解析：选A 直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋(b －1)2＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2，∴当b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c |122＋(－5)2<1，解得－13<c <13.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0D ．y ＝0解析：选C 圆心为(1，－3)，半径为1，故x ＝0与圆相切．2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3D.56π 解析：选D 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝－33，故直线l 的倾斜角为56π.3．(2012·陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：选A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON(O为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14解析：选A 设OM ，ON的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，OM ·ON ＝3×3cos2θ＝－7.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案：(2，2)9．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程．解：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围； (2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b a＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ (m －4)2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．1．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析：选C 依题意，可设圆心坐标为(a ，a )，半径为r ，其中r ＝a >0，因此圆方程是(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，由圆过点(4,1)得(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C 1，C 2的横坐标，|C 1C 2|＝2×102－4×17＝8.2．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)解析：选D 由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.3．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 与⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝32. 答案：x ＝324．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，②联立①②消去y 得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③ ∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，即x 1 x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2，∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4.∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.。
高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解
高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解一、选择题1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1)[答案] A[解析] 圆的方程x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意知圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0距离大于a ，即|a －1|2>a ，解得－1－2<a <－1＋2，∵a >0，∴0<a <2－1.(理)(2010·宁德一中)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <1 [答案] C[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径．∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d ＝|1－0＋m |2<2，∴|m ＋1|<2，∴－3<m <1，故所求的m 的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C. 2．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．3．(文)(2010·青岛市质检)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线x －y －2＝0距离d ＝2，∴所求最大值为d ＋r ＝2＋1. (理)(2010·山东肥城联考)若圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a 等于( )A ．±1B ．±24C ．±2D ．±32[答案] B[解析] 圆(x －3)2＋(y －1)2＝4，半径为2， 由题意圆心(3,1)到直线的距离是1， ∴|3a |a 2＋1＝1，∴a ＝±24.4．(2010·深圳中学)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则( )A ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0B ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0D ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0 [答案] A[解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，圆心C (－1,2)，半径r ＝5，点在圆内，设l 斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，∵|AB |＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3， ∴|－k －2＋4k |k 2＋1＝3，∴k ＝－512，当斜率不存在时，直线x ＝－4也满足．故选A.5．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝⎛⎭⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.6．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条[答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.7．(2010·温州十校)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点，则|OM |－|MT |等于( )A ．b －aB ．a －b C.a ＋b2D ．a ＋b[答案] A[解析] 如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a .又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |)＝|FT |－a ＝b －a ，故选A.8．(文)(2010·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 [答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，故选A. (理)(2010·泰安质检)如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.14B.12 C ．1D ．2[答案] A[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆的两交点M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，∴圆心在直线x ＋y ＝0上，且两直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1－k 2＋⎝⎛⎭⎫－m 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，表示的平面区域如图，故其面积S ＝12|OA |·y B ＝14.9．(文)若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．(理)台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时[答案] B[解析] 以A 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系，则A (102t,102t )，B (40,0)．当满足下列条件时，B 城市处于危险区内，即(102t －40)2＋(102t )2≤302，解得2－12≤t ≤2＋12，故选B.10．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38 B.516 C.58D.316[答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b 2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝⎛⎭⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.二、填空题11．(2010·四川广元市质检)已知直线l ：x －2y －5＝0与圆O ：x 2＋y 2＝50相交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为______．[答案] 15[解析] 圆心(0,0)到直线l 距离d ＝5，圆半径R ＝52，∴弦长|AB |＝2(52)2－(5)2＝65，∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×65×5＝15.12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线OA 、OB ，A 、B 为切点，则线段AB 的长为________．[答案] 4[解析] 圆(x －3)2＋(y －4)2＝5的圆心C (3,4)，半径为r ＝5，|CO |＝5，∴切线长|OA |＝25，由12|OA |·|CA |＝12|OC |·d ，得d ＝2， ∴弦长|AB |＝2d ＝4.(理)(2010·甘肃质检)若直线2x －y ＋c ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则c 的值为________．[答案] 8或－2[解析] 设直线2x －y ＋c ＝0上点P (x 0，y 0)，按a 平移后移到点P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋1y ＝y 0－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －1y 0＝y ＋1代入直线2x －y ＋c ＝0中得2x －y －3＋c ＝0，此时直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴|－3＋c |5＝5，∴c ＝8或－2. 13．(2010·湖南文)若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．[答案] －1 x 2＋(y －1)2＝1[解析] 过P 、Q 两点的直线的斜率k PQ ＝b －(3－a )a －(3－b )＝a ＋b －3a ＋b －3＝1，∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，线段PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －b ＋32，b －a ＋32，∴PQ 的垂直平分线l 的方程为y －b －a ＋32＝－⎝⎛⎭⎫x －a －b ＋32，即y ＝－x ＋3，设圆心(2,3)关于直线l ：y ＝－x ＋3的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋32＝－a ＋22＋3b －3a －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．(2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d <1，∴|c |13<1，∴－13<c <13.三、解答题15．(2010·广东湛江)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．[解析] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得|－k －2|k 2＋1＝2，即k ＝2±6，从而切线方程为y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. ∴所求切线的方程为y ＝(2±6)x x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0(2)由|PO |＝|PM |得，x 12＋y 12＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0. 即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，|PM |取最小值时即 |OP |取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知长方形ABCD ，AB ＝22，BC ＝1，以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy .(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M 、N 两点，判断是否存在直线l ，使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点，并说明理由．[解析] (1)由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)． 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有2a ＝|AC |＋|BC |＝(－2－2)2＋(0－1)2＋(2－2)2＋(0－1)2＝4>22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2， 椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设满足条件的直线l 存在，由条件可知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4y ＝kx ＋2，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0∴x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝41＋2k 2若以弦MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0， ∴4(1＋k 2)1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0，即8－4k 21＋2k 2＝0， 解得k ＝±2检验知k 值满足判别式Δ>0∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2. (理)(2010·哈三中)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝16.(1)由动点P 引圆C 的两条切线P A 、PB ，若直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程；(2)另作直线l ：kx －y －k ＝0，若直线l 与圆C 交于Q 、R 两点，且直线l 与直线l 1：x ＋2y ＋4＝0的交点为M ，线段QR 的中点为N ，若A (1,0)，求证：|AM |·|AN |为定值．[解析] (1)由k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1得，(k 1＋1)(k 2＋1)＝0，∴k 1＝－1或k 2＝－1.设切线方程为x ＋y ＝m ，则由圆心到直线距离公式得：m ＝－7±42，∴P 点轨迹方程为：x ＋y －7±42＝0；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x ＋2y ＋4＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －42k ＋1，－5k 2k ＋1 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＝16y ＝k (x －1)消去y 得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋9＝0此方程两根即Q 、R 两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得x N ＝k 2＋4k ＋3k 2＋1，代入y ＝k (x－1)得y N ＝4k 2＋2kk 2＋1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1， 又A (1,0)则由两点间距离公式可得： |AM |·|AN |＝10为定值．17．(文)已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝－4n.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 124·y 224＝0.∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过存在M (4,0)点．(理)设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－32相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .(1)求曲线w 的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线l 1、l 2，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值．[解析] (1)由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，p 2＝32，即p ＝3，∴w ：x 2＝6y .(2)设AC ：y ＝kx ＋32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋32(k ≠0)x 2＝6y ⇒x 2－6kx －9＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，易求|AC |＝6(k 2＋1)， ∵l 1与l 2互相垂直，∴以－1k 换k 得|BD |＝6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1， S ABCD ＝12|AC ||BD |＝12×6(k 2＋1)×6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1 ＝18⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2≥18(2＋2)＝72， 当k ＝±1时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.。
高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解
高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解一、选择题1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1)[答案] A[解析] 圆的方程x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意知圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0距离大于a ，即|a －1|2>a ，解得－1－2<a <－1＋2，∵a >0，∴0<a <2－1.(理)(2010·宁德一中)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <1 [答案] C[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径．∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d ＝|1－0＋m |2<2，∴|m ＋1|<2，∴－3<m <1，故所求的m 的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C. 2．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．3．(文)(2010·青岛市质检)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线x －y －2＝0距离d ＝2，∴所求最大值为d ＋r ＝2＋1. (理)(2010·山东肥城联考)若圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a 等于( )A ．±1B ．±24C ．±2D ．±32[答案] B[解析] 圆(x －3)2＋(y －1)2＝4，半径为2， 由题意圆心(3,1)到直线的距离是1， ∴|3a |a 2＋1＝1，∴a ＝±24.4．(2010·深圳中学)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则( )A ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0B ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0D ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0 [答案] A[解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，圆心C (－1,2)，半径r ＝5，点在圆内，设l 斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，∵|AB |＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3， ∴|－k －2＋4k |k 2＋1＝3，∴k ＝－512，当斜率不存在时，直线x ＝－4也满足．故选A.5．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝⎛⎭⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.6．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条[答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.7．(2010·温州十校)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点，则|OM |－|MT |等于( )A ．b －aB ．a －b C.a ＋b2D ．a ＋b[答案] A[解析] 如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a .又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |)＝|FT |－a ＝b －a ，故选A.8．(文)(2010·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 [答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，故选A. (理)(2010·泰安质检)如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.14B.12 C ．1D ．2[答案] A[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆的两交点M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，∴圆心在直线x ＋y ＝0上，且两直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1－k 2＋⎝⎛⎭⎫－m 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，表示的平面区域如图，故其面积S ＝12|OA |·y B ＝14.9．(文)若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．(理)台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时[答案] B[解析] 以A 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系，则A (102t,102t )，B (40,0)．当满足下列条件时，B 城市处于危险区内，即(102t －40)2＋(102t )2≤302，解得2－12≤t ≤2＋12，故选B.10．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38 B.516 C.58D.316[答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b 2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝⎛⎭⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.二、填空题11．(2010·四川广元市质检)已知直线l ：x －2y －5＝0与圆O ：x 2＋y 2＝50相交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为______．[答案] 15[解析] 圆心(0,0)到直线l 距离d ＝5，圆半径R ＝52，∴弦长|AB |＝2(52)2－(5)2＝65，∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×65×5＝15.12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线OA 、OB ，A 、B 为切点，则线段AB 的长为________．[答案] 4[解析] 圆(x －3)2＋(y －4)2＝5的圆心C (3,4)，半径为r ＝5，|CO |＝5，∴切线长|OA |＝25，由12|OA |·|CA |＝12|OC |·d ，得d ＝2， ∴弦长|AB |＝2d ＝4.(理)(2010·甘肃质检)若直线2x －y ＋c ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则c 的值为________．[答案] 8或－2[解析] 设直线2x －y ＋c ＝0上点P (x 0，y 0)，按a 平移后移到点P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋1y ＝y 0－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －1y 0＝y ＋1代入直线2x －y ＋c ＝0中得2x －y －3＋c ＝0，此时直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴|－3＋c |5＝5，∴c ＝8或－2. 13．(2010·湖南文)若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．[答案] －1 x 2＋(y －1)2＝1[解析] 过P 、Q 两点的直线的斜率k PQ ＝b －(3－a )a －(3－b )＝a ＋b －3a ＋b －3＝1，∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，线段PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －b ＋32，b －a ＋32，∴PQ 的垂直平分线l 的方程为y －b －a ＋32＝－⎝⎛⎭⎫x －a －b ＋32，即y ＝－x ＋3，设圆心(2,3)关于直线l ：y ＝－x ＋3的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋32＝－a ＋22＋3b －3a －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．(2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d <1，∴|c |13<1，∴－13<c <13.三、解答题15．(2010·广东湛江)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．[解析] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得|－k －2|k 2＋1＝2，即k ＝2±6，从而切线方程为y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. ∴所求切线的方程为y ＝(2±6)x x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0(2)由|PO |＝|PM |得，x 12＋y 12＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0. 即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，|PM |取最小值时即 |OP |取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知长方形ABCD ，AB ＝22，BC ＝1，以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy .(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M 、N 两点，判断是否存在直线l ，使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点，并说明理由．[解析] (1)由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)． 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有2a ＝|AC |＋|BC |＝(－2－2)2＋(0－1)2＋(2－2)2＋(0－1)2＝4>22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2， 椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设满足条件的直线l 存在，由条件可知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4y ＝kx ＋2，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0∴x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝41＋2k 2若以弦MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0， ∴4(1＋k 2)1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0，即8－4k 21＋2k 2＝0， 解得k ＝±2检验知k 值满足判别式Δ>0∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2. (理)(2010·哈三中)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝16.(1)由动点P 引圆C 的两条切线P A 、PB ，若直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程；(2)另作直线l ：kx －y －k ＝0，若直线l 与圆C 交于Q 、R 两点，且直线l 与直线l 1：x ＋2y ＋4＝0的交点为M ，线段QR 的中点为N ，若A (1,0)，求证：|AM |·|AN |为定值．[解析] (1)由k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1得，(k 1＋1)(k 2＋1)＝0，∴k 1＝－1或k 2＝－1.设切线方程为x ＋y ＝m ，则由圆心到直线距离公式得：m ＝－7±42，∴P 点轨迹方程为：x ＋y －7±42＝0；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x ＋2y ＋4＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －42k ＋1，－5k 2k ＋1 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＝16y ＝k (x －1)消去y 得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋9＝0此方程两根即Q 、R 两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得x N ＝k 2＋4k ＋3k 2＋1，代入y ＝k (x－1)得y N ＝4k 2＋2kk 2＋1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1， 又A (1,0)则由两点间距离公式可得： |AM |·|AN |＝10为定值．17．(文)已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝－4n.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 124·y 224＝0.∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过存在M (4,0)点．(理)设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－32相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .(1)求曲线w 的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线l 1、l 2，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值．[解析] (1)由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，p 2＝32，即p ＝3，∴w ：x 2＝6y .(2)设AC ：y ＝kx ＋32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋32(k ≠0)x 2＝6y ⇒x 2－6kx －9＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，易求|AC |＝6(k 2＋1)， ∵l 1与l 2互相垂直，∴以－1k 换k 得|BD |＝6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1， S ABCD ＝12|AC ||BD |＝12×6(k 2＋1)×6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1 ＝18⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2≥18(2＋2)＝72， 当k ＝±1时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.。
高考数学一轮复习 7.4直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理-人教版高三全册数学试题
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系基础回顾一、点与圆的位置关系若圆(x －a)2＋(y －b) 2＝r 2，那么点(x 0，y 0)在圆上⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2；圆外⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＞r 2；圆内⇔(x 0－a)2＋(y 0－b)2＜r 2． 二、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交．有两种判断方法： 1．代数法(判别式法)．Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 2．几何法：圆心到直线的距离⎩⎪⎨⎪⎧d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离Ｗ.一般宜用几何法．三、圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含 设圆O 1与圆O 2的半径分别为r 1和r 2，于是有 1.||O 1O 2>r 1＋r 2⇔相离． 2.||O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切．3.||r 1－r 2<||O 1O 2<r 1＋r 2⇔相交．4.||O 1O 2＝||r 1－r 2⇔内切．5.||O 1O 2<||r 1－r 2⇔内含． 四、弦长求法一般采用几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2.基础自测Ｋ1．直线y ＝kx ＋2与圆：x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是(B )A ．k ∈(－2，2)B ．k ∈(－3，3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：由圆心到直线的距离公式可得d ＝|2|1＋k2>1，解得－3<k<3，故选B.2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(A )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 解析：点(1，2)关于y ＝x 对称的点为(2，1)．3．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为2x －y ＝0．解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1，2)，故所求直线方程为2x －y ＝0.4．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：()x －12＋()y －12＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为2．解析：如图，过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD 长即为所求．∵C ：()x －12＋()y －12＝2的圆心为C ()1，1，半径为2， 点C 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝||1－1＋42＝22，∴|AD|＝|CD|－|AC|＝22－2＝2，故C 上各点到l 的距离的最小值为 2.高考方向1.直线与圆的三种位置关系、弦长、最值等是近几年高考命题的热点.2.常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性、平面几何性质结合考查.3.题型主要以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现，属中低档题.品味高考1．(2014·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为2555．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555. 2．(2014·某某卷)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A(m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值X 围为[2，3]．解析：设Q(6，q)，由AP →＋AQ →＝0得P(2m －6，－q)，又点P 在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2m－6≤0，0≤4－（2m －6）2≤4，解得2≤m≤3.高考测验1．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线l 的距离最大值为(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：直线l ：2x ＋y ＝0是确定的，圆上的动点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径．圆的圆心为(1，－2)，半径为3，因为点(1，－2)在直线l ：2x ＋y ＝0上，所以，最大距离为圆的半径3.故选C.2．已知x 、y 满足x 2＋y 2＝4，则z ＝3x －4y ＋5的取值X 围是(A ) A ．[－5，15] B ．[－10，10] C ．[－2，2] D ．[0，3]解析：z ＝3x －4y ＋5 即直线 3x －4y ＋5－z ＝0，由题意可得直线和圆 x 2＋y 2＝4有交点，故有|0－0＋5－z|9＋16≤2，化简可得－10≤z－5≤10，解得－5≤z≤15，故选A.课时作业1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是(C ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心解析：圆心C(0，0)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝11＋k 2＜11＜2＝r ，且圆心C(0，0)不在该直线上. 故选C.2．直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为(D ) A.π3B.π6C.π2D.2π3 解析：弦心距为d ＝|0＋0＋2|12＋12＝1，r ＝2， ∴cos θ2＝12，∴θ＝2π3.故选D.3．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为(B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：将圆方程配方得(x －1)2＋(y －3)2＝10. 设圆心为G ，易知G(1，3)．最长弦AC 为过点E 的直径，则|AC|＝210.最短弦BD 为与GE 垂直的弦，如图所示．易知|BG|＝10，|EG|＝（0－1）2＋（1－3）2＝5，|BD|＝2|BE|＝2BG 2－EG 2＝2 5.所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD|＝10 2.故选B.4．(2013·某某四校联考)直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0上的点的最近距离是(C )A ．± 2 B.2－1 C ．22－1 D ．1解析：圆心坐标为(－2，1)，则圆心到直线y ＝x －1的距离d ＝|－2－1－1|2＝22，又圆的半径为1，则圆上的点到直线的最短距离为22－1.5．圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝8116与圆(x －sin θ)2＋(y －1)2＝116(θ为锐角)的位置关系是(D )A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交解析：两圆圆心之间的距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋（1＋1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4，因为θ为锐角，所以0<sin θ<1，12<sin θ＋12<32，174<⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4<254，所以172<d<52，又两圆的半径之和为52，两圆的半径之差的绝对值为2，所以两圆相交． 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值X 围是(D ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1，1＋22] D ．[1－22，3] 解析：曲线方程化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4＜(0≤y≤3)，即表示圆心为(2，3)半径为2的半圆，利用数形结合， 当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足 圆心(2，3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，∵是下半圆，故可得b ＝1＋22(舍去)，当直线过(0，3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a ＝1．解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件22－（3）2＝1a，即a ＝1.8．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋17＝0，过原点的直线l 被圆C 所截得的弦长最长，则直线l 的方程是x －y ＝0．解析：圆的最长弦为圆的直径，所以直线l 经过圆的圆心(3，3)，因为直线l 过原点，所以其方程为x －y ＝0.9．已知点A(－1，1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，从点A 发出的一束光线经过x 轴反射到圆C 的最短路程是9．解析：点A 关于x 轴的对称点为A′(－1，－1)，又圆心坐标为C(5，7)，圆的半径r ＝2，根据几何光学的性质，所求的最短路程为|A ′C|－r ＝（－1－5）2＋（－1－7）2－2＝8.10．已知圆C 1：x 2＋y 2＝2和圆C 2，直线l 与圆C 1相切于点A(1，1)，圆C 2的圆心在射线2x －y ＝0(x≥0)上，圆C 2过原点，且被直线l 截得的弦长为4 3.(1)求直线l 的方程； (2)求圆C 2的方程． 解析：(1)∵AO⊥l，∴k l ＝－1k OA＝－1.又∵切点为A(1，1)∴直线l 的方程是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设圆心C 2(a ，2a )(a≥0)，则r ＝5a ，∵C 2到直线l 的距离d ＝|3a －2|2，∴（3a －2）22＋12＝5a 2，化简得a 2＋12a －28＝0，解得a ＝2或a ＝－14(舍去)．∴C 2的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝20.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝1，由两圆外一点P(a ，b)引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，且满足|PA|＝|PB|.(1)某某数a 、b 间满足的关系式； (2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程，若不存在，说明理由．解析：(1)∵|PA|＝|PO|2－1，PB ＝|PC|2－1，∴a 2＋b 2＝(a －2)2＋(b －4)2，∴a ＋2b －5＝0为a ，b 满足的关系式．(2)|PA|2＝|PO|2－1＝(5－2b)2＋b 2－1＝5(b －2)2＋4， ∴当b ＝2时，|PA|min ＝2.(3)假设存在半径为r的圆P，满足题设，则|PO|＝r－1，|PC|＝r＋1，∴|PC|＝|PO|＋2，即（a－2）2＋（b－4）2＝a2＋b2＋2，化简得a2＋b2＝4－(a＋2b)，又∵a＋2b＝5.∴a2＋b2＝－1，不可能，∴不存在这样的圆P.。
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为 .【答案】4【解析】∵直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，∴，∴圆心O（0,0）到直线的距离，化为，∴，当且仅当取等号，∴的最小值为4.【考点】基本不等式.2.已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，所以直线必过圆的圆心(-1,3),从而有,故选D.【考点】1.圆的一般方程;2.圆的对称性.3.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.4.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 .【答案】2【解析】依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.【考点】直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．C．D．【答案】B【解析】可知点(3,5)在圆内,所以最长弦AC 为圆的直径.设AC 与BD 的交点为M(3,5) x 2+y 2-6x-8y=0(x-3)2+(y-4)2="25" AC=10,圆心O(3,4) ∵BD 为最短弦∴AC 与BD 相垂直,垂足为M,所以OM==1 ∴BD=2BM=2=4∵S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =×BD×MA+×BD×MC=×BD×(MA+MC) =×BD×AC ∴S 四边形ABCD =×4×10=20.6. 已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R)． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程．【答案】（1）当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． （2）x ＝1或4x －3y －10＝0.【解析】圆C 的方程：(x －m)2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1.(1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 设所求的直线方程为y ＋2＝k(x －1)， 即kx －y －k －2＝0， 由直线与圆相切，得＝1，k ＝，所以切线方程为y ＋2＝(x －1)，即4x －3y －10＝0，又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切， 所以所求的切线方程为x ＝1或4x －3y －10＝0.7. 设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－，1＋]B ．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)C ．[2－2，2＋2]D ．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)【答案】D【解析】圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为＝1，所以m ＋n ＋1＝mn≤(m ＋n)2， 所以m ＋n≥2＋2或m ＋n≤2－2.8. 在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数的值为 . 【答案】. 【解析】直线的一般式方程为，圆的圆心坐标为，半径长为，则有，解得或，由于切点在第一象限，则直线必过第一象限，则，因此.【考点】1.参数方程与普通方程间的转化；2.直线与圆的位置关系9.已知，则直线与圆：的位置关系是( )．A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【解析】方程组只有一解，即题设中直线与圆只有一个公共点，因此它们相切，选B.【考点】直线和圆的位置关系.10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6【解析】(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝. ∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.(2)(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.又直线CM与l1垂直，由得M.∴AM·AN＝·＝＝6为定值．故AM·AN是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.再由得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.∴x1＋x2＝，得M.以下同解法1. (解法3)用几何法连结CA并延长交l2于点B，kAC＝2，kl2＝－，∴CB⊥l.如图所示，△AMC∽△ABN，则，2可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值11.已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0（2）过定点(2，0)．【解析】(1)配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心C(t，t2)．依题意t－t2＋2＝0t＝－1或2.即x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0为所求方程．(2)整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，令故圆C过定点(2，0)．12.已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且＝6，求圆C的方程．【答案】x2＋(y＋1)2＝18.【解析】设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)，由题意得解得故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3.∵AB＝6，∴r2＝d2＋＝18，∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.13.已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．(1)求圆C的方程；(2)若·＝－2，求实数k的值．【答案】（1）x2＋y2＝4（2）k＝0.【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r.因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2＋y2＝4.(2)因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，又d＝，所以k＝0.14.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．【答案】－2【解析】点Q在直线x－2y－6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d＝＝，因此线段PQ长度的最小值为－2.15.如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.【答案】见解析【解析】证明连接OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP.又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA＝∠BTO.又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.16.已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：x cos θ＋y sin θ＝1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.【答案】4【解析】圆心O到直线l的距离d＝＝1，又圆O半径为，∴圆O上到l的距离等于1的点有4个．17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.（1）若圆关于直线对称，求的值；（2）若圆与直线相切，求的值.【答案】（1）2；（2）或【解析】（1）因为要求圆关于直线对称的圆，首先将直线的参数方程化为普通方程，同样的要将圆的极坐标方程化为普通方程，由于圆关于直线对称，所以直线经过圆的圆心.所以将圆心的坐标代入直线方程即可求出结论.（2）若圆与直线相切，则圆心到直线的距离为半径的长，由（1）可得的直线方程和圆的方程可得相应的量，从而可求出结论.试题解析：（1）直线;圆,圆心为,半径.由题设知,直线过圆心,所以,所以；（2）点到直线的距离为因此整理得,所以或【考点】1.直线的参数方程.2.圆的极坐标方程.3.直线与圆的位置关系.18.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是()．A．－B．－C．－D．－【答案】A【解析】因为圆C的方程可化为：(x－4)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(4,0)，半径为1.依题意知直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2.因为|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离.所以≤2，解得－≤k≤0，所以k的最小值为－.19.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）已知椭圆的离心率为即可得到与的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; （2）要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.试题解析：（1）由已知得到,所以,即.又椭圆经过点,故,解得,所以椭圆的方程是（2）因为直线且都过点①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦由得,所以所以.令,则,当,即时,等号成立,故面积的最大值为,此时直线的方程为②当斜率为0时,即,此时当的斜率不存在时,不合题意;综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.【考点】直线与圆的位置关系,弦长公式,换元法求函数最值.20.已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为． 4分设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求； 6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或． 8分(2) 直线的方程为，设，因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，所以即 10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以， 12分又，所以对]成立．而在[0，1]上的值域为[，10]，故且． 15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为． 16分【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.21.已知圆的方程为，直线l的方程为，若圆与直线相切，则实数m= .【答案】2或－8【解析】因为直线与圆相切，所以.【考点】直线与圆的位置关系.22.若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是 .【答案】.【解析】曲线（为参数，）表示的是以点为圆心，以为半径长的圆，令，即，即点既在直线上，也在圆上，则圆心到直线的距离，解得，即的取值范围是.【考点】1.圆的参数方程；2.直线与圆的位置关系23.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（）A．2x+y-3=0B．2x-y-3="0"C．4x-y-3=0D．4x+y-3=0【答案】A【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为，所以圆的一条切线方程为，切点之一为，显然B、D选项不过，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．【考点】圆的切线方程，直线的一般方程．24.直线与圆有两个不同交点,则满足（）．A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】直线与圆有两个不同交点，则圆心到直线距离小于半径，即，解得．【考点】直线与圆的位置关系．25.如图，已知半径为的⊙与轴交于、两点，为⊙的切线，切点为，且在第一象限，圆心的坐标为，二次函数的图象经过、两点.（1）求二次函数的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）切线的函数解析式为；（3）点的坐标为或.【解析】（1）先求出圆的方程，并求出圆与轴的交点和的坐标，然后将点和的坐标代入二次函数中解出和的值，从而确定二次函数的解析式；（2）由于切线过原点，可设切线的函数解析式为，利用直线与圆求出值，结合点的位置确定切线的函数解析式；（3）对或进行分类讨论，充分利用几何性质，从而确定点的坐标.试题解析：（1）由题意知，圆的方程为，令，解得或，故点的坐标为，点的坐标为，由于二次函数经过、两点，则有，解得，故二次函数的解析式为；（2）设直线所对应的函数解析式为，由于点在第一象限，则，由于直线与圆相切，则，解得，故切线的函数解析式为；（3）由图形知，在中，，，，在中，，由于，因为，则必有或，联立，解得，故点的坐标为，当时，直线的方程为，联立，于是点的坐标为；当时，，由于点为线段的中点，故点为线段的中点，此时点的坐标为.综上所述，当点的坐标为或时，.【考点】1.二次函数的解析式；2.直线与圆的位置关系；3.相似三角形26.设，，直线：，圆：．若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】圆：，圆心，圆与直线相交，则，；当圆过时，圆心，从该位置圆向左平移至与相切时，取负值，直线为：，相切时有：，即（），所以，则.所以.【考点】1.点到直线的距离公式；2.圆与直线的位置关系.27.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，圆的一条切线方程为，切点之一为，显然、选项直线不过，、不符合题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项不满足，满足．故选．【考点】直线与圆的位置关系28.若，则直线被圆所截得的弦长为 ( )A．B．1C．D．【答案】D【解析】因为，所以设弦长为，则，即.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.29.若直线经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知直线经过点，而点在圆上，所以直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于或等于半径：．【考点】点与圆、直线与圆的位置关系．30.在极坐标系中，直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】C【解析】直线方程为，圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离.【考点】极坐标方程、直线与圆的位置关系.31.直线y= x+1被圆x2-2x +y2-3 =0所截得的弦长为_____【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心，半径．圆心到直线的距离，所以弦长．【考点】直线与圆的位置关系．32.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为直线y=kx与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为-2，所以k=，并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=-4．故选A．【考点】直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力. 33.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则根据圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形可以得到，圆心到直线的距离等于1，若，则圆心到直线的距离小于等于1，根据点到直线的距离公式可知，解得k的取值范围是.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用.点评：遇到直线与圆相交的题目，常常用到圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形，进而用点到直线的距离公式或数形结合解决问题.34.直线R与圆的交点个数是( )A．0B．1C．2D．无数个【答案】C【解析】判断直线与圆的位置关系经常利用圆的几何性质来解决，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，故本题应先求圆心（2，0）到直线x+ay-1=0的距离，再证明此距离小于半径，即可判断交点个数。
2013高三数学总复习同步练习：8-8曲线与方程(理)
8-8曲线与方程(理) 基础巩固强化1.若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．已知平面上两定点A 、B 的距离是2，动点M 满足条件MA →·MB →＝1，则动点M 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 [答案] B[解析] 以线段AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设M (x ，y )，∵MA →·MB →＝1，∴(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝1， ∴x 2＋y 2＝2，故选B.3．(2012·浙江金华十校模拟)如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.52 B.54 C. 2 D ．2 [答案] A[解析] 设椭圆、双曲线的半焦距分别为c 、c ′，由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝32⇒c 2a 2＝34⇒a 2－b 2a 2＝34⇒b 2a 2＝14， 则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中：e 2＝c ′2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54.所以e ＝52.4．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x y 1＝2ax，消去x 得，y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.5．(2012·长沙一中月考)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0， ∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故选D.6．(2011·天津市宝坻区质量检测)若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．y 2－x 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.y 24－x 2＝1 [答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝c ′a ＝2，∴c ′＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.故选B. 7．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．8．(2011·聊城月考)过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 设l 1：y －1＝k (x －1)，k ≠0，则l 2：y －1＝－1k(x －1)，l 1与x 轴交于点A (1－1k ，0)，l 2与y 轴交于点B (0,1＋1k )，∴AB 的中点M (12－12k ，12＋12k)，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12k ，y ＝12＋12k ∴x ＋y ＝1.即AB 的中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.9．(2011·北京理，14)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点P 的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ②③[解析] 设P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2得，(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2(a >1)，将原点O (0,0)代入等式不成立，故①错；将(－x ，－y )代入方程中，方程不变，故曲线C 关于原点对称，故②正确；设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．10．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 是双曲线上任一点，Q 是P 关于x 轴的对称点，求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹E 的方程．[解析] 由条件知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则Q (x 1，－y 1)，|x 1|>3，∴直线A 1P ：y ＝y 1x 1＋3·(x ＋3)，A 2Q ：y ＝－y 1x 1－3·(x －3)，两式相乘得y 2x 2－9＝－y 21x 21－9， ∵点P 在双曲线上，∴x 219－y 2116＝1，∴－y 21x 21－9＝－169∴y 2x 2－9＝－169，整理得x 29＋y 216＝1(xy ≠0).能力拓展提升11.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] C[解析] 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则 a 2＋b 2＝9，①又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，则⎩⎨⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②把②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.故选C.12．(2012·天津模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 [答案] D[解析] M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.故选D.13．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点，∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2.代入①中得，⎩⎨⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .②又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x29＋y 2＝1.14．(2012·福州质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2161的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 的个数为________．[答案] 2[解析] 由题意知椭圆的焦点坐标为：F 1(－3,0)，F 2(3,0)．∵△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，∴△MF 1F 2的内切圆的半径r ＝32.又∵S △MF 2F 1＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋2c )·r ＝c |y M |，∴y M ＝±4.∴满足条件的点M只有两个，在短轴顶点处．15.如图所示，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B (1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN |＝|PB |，又|PA |＋|PN |＝|AN |，∴|PA |＋|PB |＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设PB 中点为C ，则|OC |＝12|AP |＝12(|AN |－|PN |)＝12(4－|PB |)＝2－12|PB |. ∴两圆内切．16．(2012·广东揭阳市模拟)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知点G (1,0)和G ′(－1,0)，点P 在轨迹M 上运动，现以P 为圆心，PG 为半径作圆P ，试探究是否存在一个以点G ′(－1,0)为圆心的定圆，总与圆P 内切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意知直线A 1N 1的方程为： y ＝m2x ＋2)，① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点， ①×②得y 2＝－mn 4(x 2－4)．将mn ＝3代入，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)由(1)知，点G (1,0)和G ′(－1,0)为椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点，由椭圆的定义得|PG ′|＋|PG |＝4， 即|PG ′|＝4－|PG |，∴以G ′为圆心，以4为半径的圆与圆P 内切， 即存在定圆G ′，该定圆与圆P 恒内切， 其方程为：(x ＋1)2＋y 2＝16.1．已知点A (2,0)，B 、C 在y 轴上，且|BC |＝4，△ABC 外心的轨迹S 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．x 2＋y 2＝4C ．y 2＝4xD ．x 2＝4y[答案] C[解析] 设△ABC 外心为G (x ，y )，B (0，a )，C (0，a ＋4)， 由G 点在BC 的垂直平分线上知y ＝a ＋2， ∵|GA |2＝|GB |2，∴(x －2)2＋y 2＝x 2＋(y －a )2， 整理得y 2＝4x ，即点G 的轨迹S 方程为y 2＝4x .2．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支[答案] A[解析]过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．3．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.4．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y 24b 2＝1 [解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q (x ，y )，P (x 1，y 1)，∴PF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，PF 2→＝(c －x 1，－y 1)，OQ →＝(x ，y )， 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x 1，y ＝－2y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中得，x 24a 2＋y 24b 2＝1. 5．(2012·石家庄质检)点P 为圆O ：x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于D 点，记线段PD 的中点M 的运动轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 经过定点(0,2)，且与曲线C 交于A 、B 两点，求△OAB 面积的最大值．[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则D (x 0,0)．由题意可得⎩⎨⎧ x ＝x 0，y ＝12y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝2y ，(*) 将(*)式代入x 2＋y 2＝4中，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，且方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋16kx ＋12＝0， Δ＝(16k )2－4(4k 2＋1)×12＝16(4k 2－3)，由Δ>0，得4k 2－3>0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1.② |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[(－16k 4k 2＋1)2－4·124k 2＋1].③ 原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.④由三角形的面积公式及③④得S △OAB ＝12×|AB |d ＝44k 2－3(1＋4k 2)2＝44k2－3(4k2－3)2＋8(4k2－3)＋16＝414k2－3＋8＋164k2－3≤4116＝1，当且仅当4k2－3＝164k2－3，即4k2－3＝4时，等号成立．此时S△OAB的最大值为1.。
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.2.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.3.已知数列，圆，圆，若圆C2平分圆C1的周长，则的所有项的和为.【答案】4024【解析】设圆与圆交于,，则直线的方程为：，化简得：又圆平分圆的周长，则直线过,代入的方程得：, ∴.【考点】圆与圆的位置关系、直线方程、数列求和.4.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4B．－1 C．6－2D．【答案】A【解析】设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C′1(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝＝5而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】由得2ay＝2，即y＝，则2＋2＝22，解得a＝1.6.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1< <5，所以两圆的位置关系为相交．7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．8.若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0(b∈R)外切，则a＋b的最大值为________．【答案】3.【解析】依题意知C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1，则|C1C2|＝＝2＋1＝3，∴a2＋b2＝9，∴ (θ为参数)，∴a＋b＝3(sin θ＋cos θ)＝3 sin≤3.9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．11.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线12.直线l1：y=x、l2:y=x+2与⊙C：的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1B．0或-1C．-1D．1【答案】B【解析】直线l1：y=x与l2:y=x+2之间的距离为，⊙C：的圆心为（m，m），半径r2=m2+m2，由题意可得解得 m=0或m=-1，故选B.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离.13.已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，-3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即故选A．【考点】圆与圆的位置关系点评：中档题，利用数形结合思想，将|PM|+|PN|的最小值转化成为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和。
高三数学复习教案：直线与圆及其位置关系直线与圆位置关系总结
直线、圆方程1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
5．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 。
特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+。
圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点)2,2(ED --，半径2422F E D r -+=，其中0422>-+F E D 。
二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①、2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②、没有xy 项，即B =0；③、0422>-+AF E D 。
直线与直线、直线与圆位置关系1．直线l 1与直线l 2的的平行与垂直 （1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2；②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1。
（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。
①l 1//l 2⇔212121C C B B A A ≠=； ②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交⇔2121B B A A ≠； ④l 1与l 2重合⇔212121C C B B A A ==； 2． 距离（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴，则=AB ||21x x -、y //AB 轴，则=AB ||21y y -。
高三数学课时作业：第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系
课时作业一、选择题1．设m＞0，则直线错误!(x＋y）＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为（)A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切C ［圆心到直线l的距离为d＝错误!，圆半径为错误!。
因为d－r＝错误!－错误!＝错误!(m－2错误!＋1）＝错误!（错误!－1）2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．］2．(2014·福建龙岩质检）直线x＋3y－2错误!＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则错误!·错误!＝( ) A．4 B．3C．2 D．－2C [由错误!消去y得:x2－错误!x＝0,解得x＝0或x＝错误!.设A（0，2），B(错误!，1）．∴错误!·错误!＝2,选C。
］3．(2012·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆（x－a)2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是（) A．［－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C ［欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径错误!即可，即错误!≤错误!,化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1。
]4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（) A。
2 B.错误!C．2 D．3C ［设圆上的点为（x0，y0)，其中x0>0，y0>0,则切线方程为x0x ＋y0y＝1。
分别令x＝0，y＝0得A错误!，B错误!，则｜AB|＝错误!＝错误!≥错误!＝2.当且仅当x0＝y0时，等号成立．]5．(2014·兰州模拟）若圆x2＋y2＝r2(r＞0）上仅有4个点到直线x －y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为（）A．（错误!＋1,＋∞）B．(错误!－1, 错误!＋1）C．（0，错误!－1) D．（0, 错误!＋1)A [计算得圆心到直线l的距离为错误!＝错误!＞1，如图．直线l:x －y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行,且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离错误!＋1。
2013年高考数学总复习 8-3 直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系课件 新人教B版
3 解析：如图，当弦长为 2 3时，k＝± ，故要使 3 3 3 |MN|≥2 3，应有－ ≤k≤ . 3 3
答案：B
(文)若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x－2)2＋y2＝1 有 公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为( A．[－ 3， 3] 3 3 C．[－ ， ] 3 3 B．(－ 3， 3) 3 3 D．(－ ， ) 3 3 )
2．代数方法判断两圆的位置关系
x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0 1 1 1 2 方程组 2 x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0
有两组不同的实数解⇔两圆相交； 有两组相同的实数解⇔两圆 相切； 无实数解⇔两圆外离或内含．
3．圆系方程※ 具有某一共同性质的所有圆的集合叫圆系， 它的方程 叫圆系方程． (1)同心圆系：设圆 C 的一般方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0，则与圆 C 同心的圆系方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ ＝0.
直线、圆与圆的直线与圆的位置关系，圆的切线方程和弦长 问题． 难点：圆的综合问题的解题思路．
知识归纳 一、直线与圆的位置关系 1．直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r>0)的位置关系： (1)几何方法：圆心(a，b)到直线 Ax＋By＋C＝0 的 |Aa＋Bb＋C| 距离 d＝ 2 2 ， A ＋B d<r⇔直线与圆相交；d＝r⇔直线与圆相切 ； d>r⇔直线与圆相离 .
二、圆与圆的位置关系 1．用几何方法判断圆与圆的位置关系 两圆(x－a1)2 ＋(y－b1)2 ＝r2 (r1>0)与(x－a2)2 ＋(y－ 1
2 b2)2＝r2(r2>0)的圆心距为 d，则
d>r1＋r2⇔两圆外离；d＝r1＋r2⇔两圆外切； |r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交 ； d＝|r1－r2|⇔两圆内切； 0≤d<|r1－r2|⇔两圆内含.
2013年高考数学一轮复习精品教学案8.4 直线、圆的位置关系(学生版) 新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案8.4 直线、圆的位置关系[考纲解读]1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．[考点预测]高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.[要点梳理]1.直线与圆的位置关系:直线l ,圆的方程为222()()x a y b r -+-=,d 为圆心到直线l 的距离,那么(1)直线l 与圆相离d r ⇔>;(2)直线l 与圆相切d r ⇔=;(注意圆心到切线的距离等于圆的半径) (3)直线l 与圆相交d r ⇔<.牢记Rt ∆:22r d -等于弦长一半的平方. 2.圆的切线求法:(1)点P 在圆上:过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=;(2)假设点P 在圆外,那么过点P 的圆的切线有两条.3.圆与圆的位置关系:设1O 的半径为1r ,2O 的半径为2r ,两圆的圆心距为d ,规律:通过两个圆心的距离与两个圆的半径(和或差)比较大小来判断.[例题精析]考点一 直线与圆的位置关系例1.(2012年高考陕西卷文科6)圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，那么〔 〕 A l 与C 相交 B l 与C 相切 C l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能[变式训练]1. (2012年高考广东卷文科8)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆x ²+y ²=4相交于A 、B 两点，那么弦AB 的长等于〔 〕A. B. D.1考点二 圆与圆的位置关系例2.(2012年高考山东卷文科9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为〔 〕(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离[变式训练]2.〔2011年高考全国卷文科11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点〔4，1〕，那么两圆心的距离12C C =〔 〕(A)4 (B) (C)8 (D)[易错专区]问题：综合应用例. 5.方程〔x －4〕2+〔y －4〕2=4与直线y=mx 的交点为P 、Q ，原点为O ，那么｜OP ｜·｜OQ ｜的值为___________.[课时作业]1. 圆x2+y2－2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是〔 〕A.相离B.外切C.内切D.相交2.(2012年高考重庆卷理科3)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是〔 〕相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心3. 〔2012年高考江苏卷12〕 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，假设直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，那么k 的最大值是 ．4．〔2010年高考陕西卷文科9〕抛物线y2＝2px 〔p>0〕的准线与圆〔x －3〕2＋y2＝16相切，那么p 的值为( )〔A 〕12 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕45. 〔2011年高考湖北卷文科14)过点(－1,－2)的直线l 被圆222210x y x y +--+=那么直线l 的斜率为 。
高考数学课后作业8-3直线与圆的位置关系及空间直角坐标系新人教A
2014高考数学人教A 版课后作业1.(2011·山东烟台调研)圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R)的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 [答案] C[解析] ∵直线2t (x －1)－(y ＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评] 直线方程中含参数t ，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t (x －1)－(y ＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－9<0，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．2．(2011·唐山二模)圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A. 5 B. 6 C ．2 5 D ．2 6[答案] C[解析] x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此，公共弦长为250－352＝25，选C.3．(2011·山东济宁一模)过点(－2,0)且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M 、N两点，则线段MN 的长为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．6[答案] C[解析] l 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝2，则弦长|MN |＝2r 2－d 2＝2 3.4．(文)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．4x －4y ＋1＝0B ．x －4＝0C ．x ＋y ＝0D ．x －y －2＝0[答案] D[解析] 两圆方程相减得4x －4y ＋1＝9， 即x －y －2＝0，选D.[点评] 直线l为两圆心连线段的中垂线．(理)已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a 、b ∈R)，那么两圆的位置关系是( )A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切 [答案] C[解析] 两圆半径分别为2,1，因为1<|O 1O 2|＝5<3，所以两圆相交． 5．直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 [答案] C[解析] 圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1<2， ∴直线与圆相交．6．(2011·江南十校联考)若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0 [答案] C[解析] 由题知圆心C 的坐标为(1,0)，因为CP ⊥AB ，k CP ＝－1，所以k AB ＝1，所以直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0，故选C.7．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 为原点，且OA →·OB →＝2，则实数a 的值等于________．[答案] ± 6[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．设OA →、OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝R 2·cos θ＝4cos θ＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，则弦AB 的长|AB →|＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：|0＋0－a |2＝3，解之得a ＝± 6. 8．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] ∵⊙A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18的圆心A (6,6)，半径r 1＝32， ∵A 到l 的距离52，∴所求圆B 的直径2r 2＝22，即r2＝ 2.设B (m ，n )，则由BA ⊥l 得n －6m －6＝1， 又∵B 到l 距离为2，∴|m ＋n －2|2＝2，解出m ＝2，n ＝2.1.(2011·东北三校二模)与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条[答案] C[解析] 由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．2．(2011·江西理，9)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A. (－33，33)B. (－33，0)∪(0, 33) C. [－33 ，33] D ．( －∞， －33 )∪( 33，＋∞) [答案] B[解析] 曲线C 1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C 2：y (y －mx －m )＝0表示直线y ＝0与y －mx －m ＝0，若有四个不同的交点，则直线y －mx －m ＝0与圆有两个不同的交点且不过点(0,0)，则由|2m |1＋m2<1得，－33<m <33，且m ≠0，故选B. 3．设A 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝25 B ．(x ＋1)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋1)2＝25 D ．(x －1)2＋y 2＝5 [答案] B[解析] 设P(x，y)，由题意可知|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝12＋22＝5，所以P点轨迹为圆，圆心为C (－1,0)，半径为 5.∴方程为(x ＋1)2＋y 2＝5，故选B.4．(文)(2011·海淀期末)已知直线l ：y ＝－1，定点F (0,1)，P 是直线x －y ＋2＝0上的动点，若经过点F 、P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为( )A.π2B ．πC ．3πD ．4π[答案] B[解析] 由于圆经过点F 、P 且与直线y ＝－1相切，所以圆心到点F 、P 与到直线y ＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C 在以点(0,1)为焦点的抛物线x 2＝4y 上，圆与直线x －y ＋2＝0的交点为点P .显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.(理)(2010·宁夏联考)若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1x 2＋y 2＝10有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a ，b )所对应的点的个数为( )A ．24B ．28C ．32D ．36 [答案] C[解析] x 2＋y 2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a ，b )，所以有序数对(a ，b )所对应的点的个数为32.5．(文)(2011·济南三模)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r＝________.[答案]3[解析] 由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y＝22x，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d ＝|322|62＝3，所以圆的半径为 3.(理)(2011·杭州二检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] 设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即x －12＋y ＋12＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.6．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为r ＝32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式△＝56－16a －4a 2＞0. 因此，x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以 2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2＝0. ② 由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.(理)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．[解析] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2，∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得，x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2 ＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．7．已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4my 1y 2＝－4n .∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 214·y 224＝0. ∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过M (4,0)点．1．(2010·广东执信中学)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为ax ＋by ＝r 2，则( )B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离[答案] A[解析] 由点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点得，a 2＋b 2<|r |，即a 2＋b 2<r 2，直线OP 的斜率为k 1＝b a，故直线m 的斜率k m ＝－1k 1＝－a b，其方程为ax ＋by ＝a 2＋b 2，又直线n ：ax ＋by ＝r 2，故m ∥n ；另一方面，圆心O 到直线n ：ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝|－r 2|a 2＋b 2>r 2|r |＝|r |，故直线n 与圆O 相离．2．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 [答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.3．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条 [答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.4．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 [答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|2sin α2＋2cos α2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．5．(2010·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 [答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，故选A. 6．若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．7．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38B.516C.58D.316 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b2<1，化简得3b－4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.8．(2011·苏州市调研)已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，则实数k ＝________.[答案] 0[解析] 画图分析可知(图略)，当A ，B ，M 均在圆上，平行四边形OAMB 的对角线OM ＝2，此时四边形OAMB 为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离为1.所以d ＝1k 2＋1＝1，解得k ＝0.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
2013版高三(理)一轮复习 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )(A)(x＋1)2＋y2＝2 (B)(x－1)2＋y2＝2(C)(x＋1)2＋y2＝4 (D)(x－1)2＋y2＝42.若直线y＝x－b与圆(x－2)2＋y2＝1有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为( )(A)(2－2，1)(B)[2－2，2＋2](C)(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)(D)(2－2，2＋2)3.(2012²梅州模拟)方程(x2＋y2)2－(1＋4x)(x2＋y2)＋4x＝0所确定的图形为( )(A)两个外切的圆(B)两个内切的圆(C)两个相交的圆 (D)两个相离的圆4.(2012²广州模拟)把直线x－2y＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为( )(A)3或13 (B)－3或13(C)3或－13 (D)－3或－135.(易错题)设直线kx－y＋1＝0被圆O：x2＋y2＝4所截弦的中点的轨迹为C，则曲线C与直线x＋y－1＝0的位置关系为( )(A)相离(B)相切(C)相交(D)不确定6.过点P(2,3)向圆x2＋y2＝1作两条切线PA、PB，则弦AB所在直线的方程为( )(A)2x－3y－1＝0 (B)2x＋3y－1＝0(C)3x＋2y－1＝0 (D)3x－2y－1＝0二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012²大连模拟)过点P(2,1)作圆C：x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0的切线有两条，则a 的取值范围是.8.与直线l：x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .9.已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －25＝0相交于A 、B 两点，且点C(m,0)在直线AB 的左上方，则m 的取值范围为 . 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012²如皋模拟)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点A 、B ； (2)求弦AB 中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？(3)若定点P(1,1)分弦AB 为PB ＝2AP，求直线l 的方程.11.(预测题)已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方. (1)求圆M 的方程；(2)设A(0，t)，B(0，t ＋6)(－5≤t≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值. 【探究创新】(16分)已知过点A(－1,0)的动直线l 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N.(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3)探索AM²A N 是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.直线x －y ＋1＝0，令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)，因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.2.【解析】选D.因为直线与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离小于半径，即|2－b|2<1，解得2－2<b<2＋ 2.3. 【解析】选C.由原方程可得(x 2＋y 2－1)(x 2＋y 2－4x)＝0. 而圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－4x ＝0相交于点(14，±154).故选C.4.【解析】选A.平移后的直线方程为x ＋1－2(y ＋2)＋λ＝0，即x －2y ＋λ－3＝0. 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.由直线与圆相切的几何性质，得|－1－4－3＋λ|5＝ 5.∴|λ－8|＝5，∴λ＝3或13.5. 【解析】选C.直线kx －y ＋1＝0恒过定点A(0,1)，设弦的中点为P ，则OP ⊥AP ，则轨迹C 是以线段OA 为直径的圆，其方程为x 2＋(y －12)2＝14，圆心(0，12)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|12－1|2＝24<12，∴直线x ＋y －1＝0与曲线C 相交.6.【解题指南】先求以PO 为直径的圆的方程，再求两圆的公共弦方程即得.【解析】选B.以PO 为直径的圆(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝134与圆x 2＋y 2＝1的公共弦即为所求，直线方程为2x ＋3y －1＝0，故选B. 7.【解析】依题意可知：点P 在圆C 外，而圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2ay ＋2a ＋1＝0的圆心坐标(a 2，－a)，半径r ＝125a 2－8a －4，则(2－a 2)2＋(1＋a)2>5a 2－8a －44>0，解上式得：－3<a<－25或a>2.答案：－3<a<－25或a>28.【解题指南】最小圆的圆心一定在过x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0的圆心到直线x ＋y －2＝0所作的垂线段上.【解析】∵圆A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18，∴A(6,6)，半径r 1＝32，且OA ⊥l ，A 到l 的距离为52，显然所求圆B 的直径2r 2＝22，即r 2＝2，又OB ＝OA －r 1－r 2＝22，由O A与x 轴正半轴成45°角，∴B(2,2)，∴方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －2)2＝29.【解析】因为圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －25＝0相交，所以其相交弦方程为：x 2＋y 2－6x －7－(x 2＋y 2－6y －25)＝0， 即x －y －3＝0，又因为点C(m,0)在直线AB 的左上方，所以m －0－3<0，解得m<3. 答案：m<3【方法技巧】求解相交弦问题的技巧把两个圆的方程进行相减得：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1－(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0即(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0 ① 我们把直线方程①称为两圆C 1、C 2的根轴，当两圆C 1、C 2相交时，方程①表示两圆公共弦所在的直线方程； 当两圆C 1、C 2相切时，方程①表示过圆C 1，C 2切点的公切线方程. 10.【解析】(1)圆心C(0,1)，半径r ＝5，则圆心到直线l 的距离d ＝|－m|1＋m2<1，∴d ＜r ，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点(或此直线恒过一个定点，且这个定点在圆内).(2)设中点M(x ，y)，因为l ：m(x －1)－(y －1)＝0恒过定点P(1,1)，∴CM ²M P＝0，∴(x ，y －1)²(1－x,1－y)＝0， 整理得：x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0，即：(x －12)2＋(y －1)2＝14，表示圆心坐标是(121)，半径是12的圆.(3)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0x 2＋(y －1)2＝5得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，∴x 1＋x 2＝2m 21＋m 2①又PB ＝2AP ，∴(x 2－1，y 2－1)＝2(1－x 1,1－y 1)，即：2x 1＋x 2＝3 ② 联立①②解得x 1＝3＋m 21＋m 2，则y 1＝(m ＋1)21＋m 2，即A(3＋m 21＋m 2，(m ＋1)21＋m 2).将A 点的坐标代入圆的方程得：m ＝±1， ∴直线l 的方程为x －y ＝0，x ＋y －2＝0.11.【解题指南】(1)因为已知圆的半径，求圆的方程，所以只需想办法求出圆心坐标即可；(2)由已知可求出|AB|的值，想办法再求出点C 到AB 的距离即可求出△ABC 的面积S 的解析式，进而求面积S 的最值.【解析】(1)设圆心M(a,0)，由已知得M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－(32)2＝12， ∴|8a －3|82＋(－6)2＝12，又∵M 在l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1. 故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由题设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t y ＝k 2x ＋t ＋6，得C 点的横坐标为x c ＝6k 1－k 2.∵|AB|＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12|6k 1－k 2|²6＝18k 1－k 2由于圆M 与AC 相切，所以1∴k 1＝1－t 22t；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6)，∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t， ∴S ＝6(t 2＋6t)t 2＋6t ＋1＝6(1－1t 2＋6t ＋1)，∵－5≤t ≤－2.∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6³(1＋14)＝152S min ＝6³(1＋18)＝274，∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.【变式备选】(2012²大庆模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝1，由两圆外一点P(a ，b)引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如图，满足|PA|＝|PB|.(1)求实数a 、b 间满足的等量关系； (2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)连接PO 、PC ，∵|PA|＝|PB|，|OA|＝|CB|＝1， ∴|PO|2＝|PC|2，从而a 2＋b 2＝(a －2)2＋(b －4)2， 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：a ＋2b －5＝0. (2)由a ＋2b －5＝0，得a ＝－2b ＋5，|PA|＝|PO|2－|OA|2＝a 2＋b 2－1 ＝(－2b ＋5)2＋b 2－1＝5b 2－20b ＋24＝5(b －2)2＋4. ∴当b ＝2时，|PA|min ＝2.(3)不存在.∵圆O 和圆C 的半径均为1，若存在半径为R 的圆P ，与圆O 相内切并且与圆C 相外切，则有|PO|＝R －1且|PC|＝R ＋1. 于是有：|PC|－|PO|＝2，即|PC|＝|PO|＋2， 从而得(a －2)2＋(b －4)2＝a 2＋b 2＋2， 两边平方，整理得a 2＋b 2＝4－(a ＋2b)， 将a ＋2b ＝5代入上式得：a 2＋b 2＝－1<0，故满足条件的实数a 、b 不存在，∴不存在符合题设条件的圆P. 【探究创新】【解析】(1)∵l 与m 垂直，且k m ＝－13，∴k l ＝3，故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y＋3＝0.∵圆心坐标(0,3)满足直线l 的方程， ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意.②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0， ∵PQ ＝23，∴CM ＝4－3＝1， 则由CM ＝|－3＋k|k 2＋1，得k ＝43， ∴直线l ：4x －3y ＋4＝0.故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0. (3)∵CM ⊥MN ，∴AM²A N ＝(AC ＋CM )²A N ＝AC ²A N ＋CM ²A N ＝AC ²A N .①当l 与x 轴垂直时，易得N(－1，－53)，则A N ＝(0，－53)，又AC ＝(1,3)，∴AM²A N ＝AC ²A N ＝－5.②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k(x ＋1)x ＋3y ＋6＝0，得N(－3k －61＋3k ，－5k1＋3k)，则A N ＝(－51＋3k ，－5k1＋3k )，∴AM ²A N ＝AC ²A N ＝－51＋3k ＋－15k1＋3k＝－5.综上所述，AM ²A N 与直线l 的倾斜角无关，且AM²A N ＝－5.。
2013高三数学总复习同步练习：8-3直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系解析
8-3直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系基础巩固强化1. (文)(2011山东烟台调研)圆X + y2- 2x+ 4y—4= 0与直线2tx—y—2—2t= 0(t € R)的位置关系为()A .相离B .相切C.相交 D .以上都有可能［答案］C［解析］T直线2t(x—1)—(y+ 2)= 0过圆心(1,—2),二直线与圆相交.［点评］直线方程中含参数t，故可由直线方程过定点来讨论，T 2t(x—1) —(y+ 2)= 0,二直线过定点(1,—2),代入圆方程中，12 + (—2)2—2X 1+ 4X (—2) —4= —9<0,二点(1,—2)在圆内，故直线与圆相交.(理)直线xsin 0+ ycos 0= 1 + cos0 与圆x2+ (y—1)2= 4 的位置关系是()A .相离B .相切C.相交 D .以上都有可能［答案］CICOS0 —1 —COS0［解析］圆心到直线的距离d= / . 2八= 1<2,Sin2 B+ coS20•••直线与圆相交.2. (2011 唐山二模)圆x2+ y2= 50 与圆x2+ y2—12x—6y+ 40= 0 的公共弦长为()A. 5B. 6C. 2 5D. 2 6 ［答案］C［解析］X2+ y2= 50 与x2+ y2—12x- 6y+ 40= 0 作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x + y—15 = 0,圆x2+ y = 50的圆心(0,0)到2x+ y—15= 0的距离d= 3 5,因此，公共弦长为2 :50—3「5 2= 2 5, 选C.3. (2012 山东文，9)圆(x+ 2)2+ y2= 4 与圆(x —2)2+ (y —1)2= 9 的位置关系为()A .内切B .相交C.外切 D .相离［答案］B［解析］本题考查圆与圆的位置关系.两圆圆心分别为A( —2,0), B(2,1),半径分别为r i = 2, r2= 3, |AB|= 17,v 3 —2< . 17<2 + 3,二两圆相交.4. (2011江南十校联考)若P(2,—1)为圆(x—1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A . 2x+ y—3= 0 B. x + y—1 = 0C. x—y—3= 0D. 2x—y —5= 0［答案］C［解析］由题知圆心C的坐标为(1,0),因为CP丄AB,心=—1, 所以k AB = 1,所以直线AB的方程为y+ 1 = x —2,即x —y—3= 0,故选C.5. (2012哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆C: x2+ y2=12,直线1: 4x+ 3y= 25,则圆C 上任意一点A到直线I的距离小于2的概率为() 5代61 BEJ f 2C.3D.3［答案］B［解析］O C上的点到直线I: 4x+ 3y= 25的距离等于2的点，在直线11: 4x+ 3y= 15上，圆心到h的距离d= 3,圆半径r = 2 3, •••O C截l i 的弦长为|AB|= 2 r2—d2= 2 3，二圆心角/ AOB=扌,~AB1的长为O C周长的6，故选B.6. （2012福建文，7）直线x+ 3y—2= 0与圆x2+ y2= 4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于（）A . 2 5 B. 2 3C. 3D. 1［答案］B［解析］本题考查了圆的弦长问题.如图可知，圆心（0,0）到直线x+ 3y—2= 0的距离.•AB| = 2|BC|= 2 22—12= 2 3.［点评］涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt△ OCB这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长I = 1 + k2|x2 —X i | =i + ：2“2—y i|.7. （2012北京东城区示范校练习）已知圆x2+ y2= 9与圆x2+ y2—4x+4y—1 = 0关于直线I对称，则直线I的方程为___________ .［答案］x—y—2= 0［解析］由题易知，直线I是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是（0,0）, （2,—2）,于是其中点坐标是（1, —1），又过两圆圆心的直线的斜率是—1,所以直线I的斜率是1,于是可得直线I 的方程为：y+ 1= x—1,即x—y— 2 = 0.［点评］两圆方程相减，即可得出对称直线方程.8. （2012皖南八校第三次联考）已知点P（1,—2）,以Q为圆心的圆Q: （x—4）2+ （y —2）2= 9,以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B 两点，连接FA、PB,则/ APB的余弦值为 ________ .［答案］25［解析］由题意可知QA丄PA, QB丄PB,故PA PB是圆Q的两4条切线，易知|PQ|= 5, PA= 4,二cos/APQ=5,(5)2—1= 25.cos/ APB= 2COS2/ APQ—1 =2X9. （2011苏州市调研）已知直线kx—y+ 1 = 0与圆C: x2+ y2= 4T T T相交于A, B两点，若点M在圆C上，且有OM = OA+ OB（O为坐标原点），则实数k= ________ .［答案］0［解析］画图分析可知（图略），当A, B, M均在圆上，平行四边形OAMB的对角线OM = 2,此时四边形OAMB为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx - y + 1= 0的距离为1.10. (文)已知圆 C : x 2 + y 2+ x — 6y+ m = 0 与直线 I : x + 2y -3 =0.(1)若直线I 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；⑵若直线I 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP 丄OQ , 求实数m 的值.［解析］(1)将圆的方程配方,37 — 4m 37 故有一4 0，解得mvR.将直线I 的方程与圆C 的方程组成方程组，得x + 2y — 3= 0, x 2+y 2 + x — 6y + 4m = 0,整理，得 5x 2+ 10x + 4m — 27= 0,①T 直线I 与圆C 没有公共点，二方程①无解,••• △= 102— 4X 5(4m — 27)<0，解得 m>8.37• m 的取值范围是(8,壬). (2)设 P(X 1, yd , Q(X 2, y», 由 OP 丄OQ , 得OP OQ = 0, 由 X 1X 2 + y 〔y 2= 0,②所以d = 1k 2+ 1 1,解得k = 0. 1得(x +2)2+ (y - 3)2=37-4m ~~4，消去 y , 得 x 2 + (宁)2 +由(1)及根与系数的关系得，c4m — 27 仆X i + X 2= —- 2, X i X 2= 5 ③又T P 、Q 在直线x + 2y — 3= 0上,=4[9 — 3(x i + X 2)+ X i X 2],m + 12将③代入上式，得y i y 2=—于，④ 将③④代入②得X i X 2 + y i y 2 =罟 + —+^= 0,解得—=3,5 5代入方程①检验得 △ >0成立，••• m = 3.［点评］求直线I 与。
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8-3直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系基础巩固强化1.(文)(2011·山东烟台调研)圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能[答案] C[解析] ∵直线2t (x －1)－(y ＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评] 直线方程中含参数t ，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t (x －1)－(y ＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－9<0，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．(理)直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 [答案] C[解析] 圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1<2， ∴直线与圆相交．2．(2011·唐山二模)圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( )A. 5B. 6 C ．2 5 D ．2 6 [答案] C[解析] x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此，公共弦长为250－(35)2＝25，选C.3．(2012·山东文，9)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[答案] B[解析] 本题考查圆与圆的位置关系． 两圆圆心分别为A (－2,0)，B (2,1)， 半径分别为r 1＝2，r 2＝3，|AB |＝17， ∵3－2<17<2＋3，∴两圆相交．4．(2011·江南十校联考)若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0 [答案] C[解析] 由题知圆心C 的坐标为(1,0)，因为CP ⊥AB ，k CP ＝－1，所以k AB ＝1，所以直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0，故选C.5．(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为( )A.56B.16C.13D.23[答案] B[解析] ⊙C 上的点到直线l ：4x ＋3y ＝25的距离等于2的点，在直线l 1：4x ＋3y ＝15上，圆心到l 1的距离d ＝3，圆半径r ＝23，∴⊙C 截l 1的弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝23，∴圆心角∠AOB ＝π3，AB 的长为⊙C 周长的16，故选B.6．(2012·福建文，7)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3 D ．1[答案] B[解析] 本题考查了圆的弦长问题．如图可知，圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离．d ＝|－2|1＋3＝1，∴|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3.[点评] 涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt △OCB 这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长l ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k 2|y 2－y 1|.7．(2012·北京东城区示范校练习)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．[答案] x －y －2＝0[解析] 由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.[点评] 两圆方程相减，即可得出对称直线方程．8．(2012·皖南八校第三次联考)已知点P (1，－2)，以Q 为圆心的圆Q ：(x －4)2＋(y －2)2＝9，以PQ 为直径作圆与圆Q 交于A 、B 两点，连接P A 、PB ，则∠APB 的余弦值为________．[答案] 725[解析] 由题意可知QA ⊥P A ，QB ⊥PB ，故P A 、PB 是圆Q 的两条切线，易知|PQ |＝5，P A ＝4，∴cos ∠APQ ＝45，∴cos ∠APB ＝2cos 2∠APQ －1＝2×(45)2－1＝725.9．(2011·苏州市调研)已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，则实数k ＝________.[答案] 0[解析] 画图分析可知(图略)，当A ，B ，M 均在圆上，平行四边形OAMB 的对角线OM ＝2，此时四边形OAMB 为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离为1.所以d ＝1k 2＋1＝1，解得k ＝0.10．(文)已知圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0.(1)若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；(2)若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．[解析] (1)将圆的方程配方， 得(x ＋12)2＋(y －3)2＝37－4m 4， 故有37－4m 4>0，解得m <374.将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋4m ＝0，消去y ，得x 2＋(3－x 2)2＋x －6×3－x2＋m ＝0，整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0，①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解， ∴Δ＝102－4×5(4m －27)<0，解得m >8. ∴m 的取值范围是(8，374)． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0， 由x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 由(1)及根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝4m －275③ 又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1·y 2＝3－x 12·3－x 22 ＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1·x 2]，将③代入上式，得y 1·y 2＝m ＋125，④ 将③④代入②得x 1·x 2＋y 1·y 2 ＝4m －275＋m ＋125＝0，解得m ＝3， 代入方程①检验得Δ>0成立，∴m ＝3.[点评] 求直线l 与⊙C 没有公共点时，用圆心到直线距离d >半径R 更简便．(理)已知圆C 的一条直径的端点分别是M (－2,0)，N (0,2)． (1)求圆C 的方程；(2)过点P (1，－1)作圆C 的两条切线，切点分别是A 、B ，求P A →·PB →的值．[解析] (1)依题意可知圆心C 的坐标为(－1,1)， 圆C 的半径为2，∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2. (2)PC ＝22＋22＝22＝2AC .∴在Rt △P AC 中，∠APC ＝30°，P A ＝6， 可知∠APB ＝2∠APC ＝60°，PB ＝6， ∴P A →·PB →＝6·6cos60°＝3.能力拓展提升11.(文)(2011·东北三校二模)与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条[答案] C[解析] 由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．(理)(2012·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b2＝1， ∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79， ∵OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.12．设A 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝25B ．(x ＋1)2＋y 2＝5C ．x 2＋(y ＋1)2＝25D ．(x －1)2＋y 2＝5[答案] B[解析] 设P (x ，y )，由题意可知|PC |2＝|P A |2＋|AC |2＝12＋22＝5，所以P 点轨迹为圆，圆心为C (－1,0)，半径为 5.∴方程为(x ＋1)2＋y 2＝5，故选B.13．(文)(2011·济南三模)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案]3[解析] 由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y ＝22x ，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d ＝|322|62＝3，所以圆的半径为 3.(理)(2011·杭州二检)已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] 设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.14．(2012·天津，12)设m 、n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．[答案] 3[解析] ∵l 与圆相交弦长为2，∴1m 2＋n2＝3， ∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16，l 与x 轴交点A (1m ，0)，与y 轴交点B (0，1n )，∴S △AOB ＝12|1m ||1n |＝12 1|mn |≥12×6＝3.15．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为r ＝32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式△＝56－16a －4a 2＞0. 因此，x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，从而 x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ① 由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2＝0. ②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.(理)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．[解析] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2， ∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|P A |、|PO |、|PB |成等比数列得， (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2 ＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．16．(文)已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切.(1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等，∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x .(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 214·y 224＝0.∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过M (4,0)点．(理)(2012·河南豫北六校精英联考)在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，已知直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若以AB 为直径的圆过原点O ，求k 的值；(3)若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |. [解析] (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故椭圆方程为y24＋x 2＝1.(2)由题意可知，以AB 为直径的圆过原点O ，即OA ⊥OB ，联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由韦达定理可知： x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1·x 2＝－34＋k 2， y 1·y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4－4k24＋k 2，所以，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34＋k 2＋4－4k 24＋k 2＝0，得k 2＝14，即k＝±12.(3)|OA |2－|OB |2＝x 21＋y 21－(x 22＋y 22)＝x 21－x 22＋y 21－y 22＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋k (x 1－x 2)[k (x 1＋x 2)＋2] ＝[2k ＋(1＋k 2)(x 1＋x 2)](x 1－x 2) ＝6k (x 1－x 2)4＋k 2.因为A 在第一象限，所以x 1>0，又因为x 1·x 2＝－34＋k 2，所以x 2<0，故x 1－x 2>0，又因为k >0，所以|OA |>|OB |.1．若关于x 、y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，x 2＋y 2＝10.有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a ，b )所对应的点的个数为( )A ．24B ．28C ．32D ．36 [答案] C[解析] x 2＋y 2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a ，b )，所以有序数对(a ，b )所对应的点的个数为32.2．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12，∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.3．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条[答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.4．已知直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 [答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．5．(2012·沈阳六校联考)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6B.112C ．8 D.212[答案] B[解析] 记圆心为C ，则由题意得|AB |＝5，直线AB ：x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C (0,1)到直线AB 的距离为165，点P 到直线AB 的距离h 的最小值是165－1＝115，△ABP 的面积等于12|AB |h ＝52h ≥52×115＝112，即△ABP 的面积的最小值是112，选B.6．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14[答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，故选A. 7．若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得|C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．8．若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38 B.516 C.58 D.316[答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎪⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.。