大同市九年级上册期中试卷检测题

大同市九年级上册期中试卷检测题
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A
在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和
ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．
（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；
（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得91
36
S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点
E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =
，理由见解析；（3）可能，3455
t ≤≤或45
33t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】
（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为91
36
S =
，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136
，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；
（3）由已知求得点D （2，1），
AC=
结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长． 【详解】
（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)， 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ， 将点A 、C 坐标代入，得：
402k b b +=⎧⎨
=⎩，解得：122
k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为1
22
y x =-
+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1）， 将点H 代入1
22
y x =-
+，得： 1
1(3)22
t =--+，解得：t=1；
（2）存在，143t =
，使得9136
S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为91
36
S =
，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ， 将点A 、B 坐标代入，得：
402m n n -+=⎧⎨
=⎩，解得：122
m n ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为1
22
y x =
+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入1
22
y x =
+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133
t =；
此时重叠的面积为2
21316
(3)(3)39
t -=-=， ∵
16
9﹤9136，∴133
﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,
将y=t-3代入122y x =+得：1
322
t x -=+， 解得：x=2t-10， ∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t 代入122y x =
+得：11
(3)2(7)22
y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2
t t --， ∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=
1
(7)2
t -， 211
(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21
(5)2
ASG
S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424
t t -+-， 由2
5
271334
24t t -+-=9136得：1143t =，29215
t =﹥5(舍去)， ∴143
t =
；
（3）可能，
3
5
≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4， ∴点D （2，1），AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动； 当0﹤t ﹤1
2
时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当
12﹤t ﹤1时， 12+1
2÷（1+4）=35
秒， ∴t =
35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=1
5
秒后，M 点不在正方行内部，则
3455
t ≤≤； 当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处； 当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=
43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=1
3秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），
45
33
t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，
当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界）， 综上，当3455t ≤≤或45
33
t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．
【点睛】
本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
2．如图，在平面直角坐标系中，()4,0A -，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形，
4,03D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在x 轴上一定点，P 为x 轴上一动点，且点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒
4
3
个单位长度运动，已知P 点运动时间为t ． (1)点C 坐标为________，P 点坐标为________；(直接写出结果，可用t 表示) (2)当t 为何值时，BDP ∆为等腰三角形；
(3)P 点在运动过程中，是否存在t ，使得ABD OBP ∠=∠，若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由！
【答案】（1）（4，4），（4
3
t ，0）；（2）1101-，4； （3）存在，310
9
t
【解析】 【分析】
（1）利用平行四边形的性质和根据P 点的运动速度，利用路程公式求解即可； （2）分三种情况：①当BD BP 时，②当BD DP =时，③当BP DP =时，分别讨论求
解，即可得出结果； （3）过D 点作DF BP 交BP 于点F ，设OP x =
，则可得2
24BP
x ，43
DP
x ，
4
53
DF
,利用1
1
22
BDP
S DP BO BP DF ，即可求出OP 的长，利用路程公式可求得t 的值。

【详解】
解：（1）∵()4,0-A ，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形， ∴点C 坐标为（4，4），
又∵P 为x 轴上一动点，点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒4
3
个单位长度运动，P 点运动时间为t ， ∴P 点坐标为（
4
3
t ，0）， （2）∵B ，D 的坐标分别为：()0,4B ，4,03D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， ∴4OB =,4
3
OD =
, 由勾股定理有：2
2
2
2
44
4
103
3
DB OB
OD
, 当BDP ∆为等腰三角形时， ①如图所示，当BD
BP 时，
OD OP
=,
∴P点坐标为（4
3
，0）,
∴1
t=
②如图所示，当BD DP
=时，
∵410
3
DB，OP DP OD ∴444
10101
333
OP,∴101
t
③如图所示，当BP DP
=时，
设P点坐标为：（x，0）
则有：2224
BP x，
2
2
4
3
DP x，
∴
2
22
4
4
3
x x，解之得：
16
3
x=
∴P 点坐标为（16
3
，0）, ∴4t =
综上所述，当t 为1，101-，4时，BDP ∆为等腰三角形；
（3）答：存在t ，使得ABD OBP ∠=∠。

证明：∵A ，B 两点坐标分别为：()4,0-A ，()0,4B ， ∴OA OB =,45ABO ∠=, 又∵ABD OBP ∠=∠
∴ABD OBD OBP OBD ∠+∠=∠+∠ 即有：45ABO
DBP
，
如图示，过D 点作DF
BP 交BP 于点F,
∵4
103DB ， ∴4
53
DF
, 设OP x =，根据勾股定理有：2
24BP x ，
并且43
DP x ，
则：1
1
2
2
BDP
S DP BO BP DF
∴
22
44
4453
3
x x ， 化简得：2610x x +-=， 解之得：3
10x （取正值），
即4310
3
t ∴3
310
310
94
t
．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程得解等知识点，在（2）中懂得分类讨论，在（3）中能做出垂线，利用面积求解是解题的关键．
3．阅读与应用：
阅读1：
a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而
a+b≥2(当a＝b时取等号)．
阅读2：
若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝
，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：
已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；
问题2：
汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，
1h的耗油量为yL．
(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；
(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．
【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.
【解析】
【分析】
（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；
（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．
【详解】
(1)∵x+≥2＝4，
∴当x＝时，2(x+)有最小值8．
即x＝2时，周长的最小值为8；
故答案是：2；8；
问题2：，
当且仅当，
即x＝90时，“＝”成立，
所以，当x＝90时，函数取得最小值9，
此时，百公里耗油量为，
所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L．
【点睛】
本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D，
（1）点C的坐标为；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.
【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；
（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；
c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；
②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；
当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．
【详解】
（1）∵点A（0，8），∴AO=8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），
故答案为（8，8）；
（2）①延长DC 交x 轴于点E ，∵点B （m ，0），∴OB=m ， ∵△AOB 绕点A 逆时针旋转90°得△ACD ，
∴DC=OB=m ，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°， ∴四边形OACE 是矩形，∴DE ⊥x 轴，OE=AC=8， 分三种情况：
a 、当点B 在线段OE 的延长线上时，如图1所示：
则BE=OB ﹣OE=m ﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m （m ﹣8），即S=0.5m 2﹣4m （m ＞8）； b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，如图2所示：
则BE=OE ﹣OB=8﹣m ，∴S=0.5DC•BE=0.5m （8﹣m ），即S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）； c 、当点B 与E 重合时，即m=8，△BCD 不存在；
综上所述，S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；
②当S=6，m ＞8时，0.5m 2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27； 当S=6，0＜m ＜8时，﹣0.5m 2+4m=6，解得：m=2或m=6， ∴点B 的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．
5．已知关于x 的二次函数22
(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.
（1）求k 的取值范围；
（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是3
2
-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-3
4
；（2）k=﹣1 【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；
（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.
试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．
∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．
解得k ＜-34
； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．
则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，
∵=== 32
-， 解得：k=-1或k= 13
-（舍去），
∴k=﹣1
二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
6．已知，抛物线y ＝-12
x 2 +bx+c 交y 轴于点C （0,2），经过点Q （2,2）.直线y ＝x+4分别交x 轴、y 轴于点B 、A ．
（1）直接填写抛物线的解析式________；
（2）如图1，点P 为抛物线上一动点（不与点C 重合），PO 交抛物线于M ，PC 交AB 于N ，连MN.
求证：MN∥y 轴；
（3）如图,2，过点A 的直线交抛物线于D 、E ，QD 、QE 分别交y 轴于G 、H.求证：CG •CH 为定值.
【答案】（1）2122
y x x =-
++；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】
【分析】 （1）把点C 、D 代入y ＝-12
x 2 +bx+c 求解即可； （2）分别设PM 、PC 的解析式，由于PM 、PC 与抛物线的交点分别为：M 、N.，分别求出M 、N 的代数式即可求解；
（3）先设G 、H 的坐标，列出QG 、GH 的解析式，得出与抛物线的交点D 、E 的横坐标，再列出直线AE 的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．
【详解】
详解：（1）∵y ＝-12
x 2 +bx+c 过点C （0,2），点Q （2,2）， ∴2122222b c c ⎧-⨯++⎪⎨⎪=⎩
＝, 解得：12b c =⎧⎨=⎩
. ∴y=-12
x 2+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩
得12
x 2+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-，
x p =22p x k =- 由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩
得12
x 2+(m-1)x-2=0， ∴124b x x a
⋅=-=- 即x p•x m =-4，
∴x m =4p x -=21
k -. 由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩
得x N =21
k -=x M ,
∴MN ∥y 轴.
（3）设G （0，m ）,H （0，n ）.
设直线QG 的解析式为y kx m =+，
将点()2,2Q 代入y kx m =+
得22k m =+
22
m k -∴= ∴直线QG 的解析式为22m y x m -=
+ 同理可求直线QH 的解析式为22
n y x n -=+； 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
得221=222
m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-
2D x m ∴=-
同理，2E x n =-
设直线AE 的解析式为：y=kx+4， 由24122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩
， 得12
x 2-(k-1)x+2=0 124b x x a
∴⋅=-
= 即x D x E =4， 即（m-2）•（n-2）=4
∴CG•CH=（2-m ）•（2-n ）=4.
7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交
于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求抛物线L 的对称轴．
（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．
（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为()
33,3+或()33,3--或()13,3-或()
13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．
（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题．
（3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)，
∴抛物线的对称轴x ＝﹣
42a a
-＝2． （2）如图1中，
对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，
∴A(4，0)，
∵四边形OMAM′是正方形，
∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，
∴M((2，﹣2)，M′(2，2)
把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，
可得﹣2＝4a﹣8a，
∴a＝1
2
，
∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1
2(x﹣2)2+2＝﹣
1
2
x2+2x．
（3）如图3中，由题意OD＝2．
当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1
2
m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣
1
2
(m﹣
2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1
2
(m+2)2+2(m+2)]，
∵PQ∥OD，
∴1
2m2﹣2m＝﹣
1
2
(m﹣2)2+2(m﹣2)或
1
2
m2﹣2m＝﹣
1
2
(m+2)2+2(m+2)，
解得m＝33，
∴P33或(333或(133和33，
当OD是平行四边形的对角线时，点P的横坐标为1，此时P(1，﹣3
2 )，
综上所述，满足条件的点P的坐标为33或(333或(133)和
33)或(1，﹣3
2 )．
【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质
等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
8．如图，抛物线()2
50y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．
【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3）5412或4或5412
【解析】
【分析】
（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为)2454d BP sin t =⋅︒=-，则12PBE S BE d =⨯⨯)()122244222
t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值； （3）先求出2454222AM AB sin =⋅︒=⨯
=N 作直线AM 的平行线交直线
BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ
是平行四边形，得到NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角
形，求得4NH ===；设()
2,65N m m m -+-，则(),0G m ， (),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可．
【详解】
解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -
∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，
∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩
所以抛物线的解析式为2
65y x x =-+-． ()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -
∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形，
∴45,ABC ∠=
由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤
点P 到BE
的距离()4542d BP sin t =⋅︒=
- 所以12
PBE S BE d =⨯⨯
)()1244222
t t t t =⨯⨯-=-； ∵二次函数(
)()4f t t =
-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422
t +==时， ∴()(
)(
)22422max
f t f ==⨯⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值
为
()3
由题意得454AM AB sin =⋅︒== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥
∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴NQ AM ==
过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H
∵:5BC l y x =-，
∴NQH 为等腰直角三角形，
∴4,NH ===
设()
2,65N m m m -+-，
则(),0G m ，(),5H m m -，
①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+--- ∴()
()26554m m m -+---=，即()()140,m m --= 解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；
②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+-
∴()()
25654m m m ---+-=，即2540,m m --=
解得552m -=<（舍）或52
m = ③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+-
∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得m =或m =（舍）
综上所述，54,2m m +==，52
m =符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，
点N 的横坐标为52-或4或52
+．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键
9．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ．
（1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；
（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；
（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ；
（4）设1112,
,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116
m >- 【解析】
【分析】
（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值；
（2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；
（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；
（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．
【详解】
解：（1）当1m =-时，()2
2613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得
22611a a ++=
解得0a =或3a =-
（2）当0m >时，,(3)F m m -
此时，0o y m =-<
当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =---
-- ∴239,22F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
此时，229911=()22918
m m m ---++ ∴0y 的最大值118
= 综上所述，0y 的最大值为118
（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0 当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△
解得：m=0（舍去）或29
m =- 由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32
m 且x ≥3m ∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136
x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
10．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '．
①写出点M '的坐标；
②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）2
1525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）①57,24M ⎛⎫' ⎪⎝⎭
；②45° 【解析】
【分析】
（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．
（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m ＝
52
，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．
【详解】 （1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3，
∴y ＝3，
∴B （0，3），
把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3，
∴二次函数解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3．
（2）令y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x+3，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝1
2
×m×3+
1
2
×1×（-m2+2m+3）-
1
2
×1×3
＝﹣1
2
（m﹣
5
2
）2+
25
8
，
∴当m＝5
2
时，S取得最大值
25
8
．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（5
2
，
7
4
）．
②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2＝BF，
此时只要求出BF 的最大值即可， ∵∠BFM′＝90︒， ∴点F 在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H ，
∵点C 在线段BM′上，
∴F 在优弧'BM H 上，
∴当F 与M′重合时，
BF 可取得最大值，
此时BM′⊥l 1，
∵A （1，0），B （0，3），M′（52，74
）， ∴由勾股定理可求得：AB ＝10，M′B ＝
55，M′A ＝85， 过点M′作M′G ⊥AB 于点G ，
设BG ＝x ，
∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2，
∴8516
﹣（10﹣x ）2＝12516﹣x 2， ∴x ＝
510， cos ∠M′BG ＝
'BG BM ＝22
，∠M′BG= 45︒ 此时图像如下所示，
∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1
∴∠B M′P=∠BCA ＝90︒，
又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒
∴∠BAC ＝45︒．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
三、初三数学旋转易错题压轴题（难）
11．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED．
（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．
（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．
（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．
【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】
【分析】
（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；
（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；
（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）结论：DE＝2DG．
理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，
∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴EF∥CM，
∴∠CMG＝∠FEG，
∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，
∴△CMG≌△FEG（AAS），
∴EF＝CM，GM＝GE，
∵AE＝EF，
∴AE＝CM，
∴△DCM≌△DAE（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∴∠EDM＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，
∴△EGD是等腰直角三角形，
∴DE＝2DG．
（2）如图2中，结论成立．
理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．
∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，
∴△CGM≌△FGE（SAS），
∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，
∴CM∥ER，
∴∠DCM＝∠ERC，
∵∠AER+∠ADR＝180°，
∴∠EAD+∠ERD＝180°，
∵∠ERD+∠ERC＝180°，
∴∠DCM＝∠EAD，
∵AE＝EF，
∴AE＝CM，
∴△DAE≌△DCM（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∴∠EDM＝∠ADC＝90°，
∵EG＝GM，
∴DG ＝EG ＝GM ， ∴△EDG 是等腰直角三角形，
∴DE ＝2DG ．
（3）①如图3﹣1中，当E ，F ，C 共线时，
在Rt △ADC 中，AC ＝22AD CD +＝2255+＝52，
在Rt △AEC 中，EC ＝22A AE C -＝22(52)1-＝7，
∴CF ＝CE ﹣EF ＝6，
∴CG ＝
12
CF ＝3， ∵∠DGC ＝90°， ∴DG ＝22CD CG -＝2253-＝4，
∴DE ＝2DG ＝42．
②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝32．
综上所述，DE 的长为2或2．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
12．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．
（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；
（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转()
090a α︒<<︒，其它条件不变，线段ED 与线段EB 的关系是否变化，写出你的结论并证明； （3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．
【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22=
最小值322=． 【解析】
【分析】
（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；
（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值．
【详解】
（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点
∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE
∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点
∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF
∴DE=EB
∵AB=BC ，
∴∠DAB=45°
∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°
∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)
=360°－2×135°=90°
∴DE ⊥EB
（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长
MF交CB于点H
∵ME=EB，点E是AF的中点
∴四边形MFBA是平行四边形
∴MF∥AB，MF=AB
∴∠MHB=180°－∠ABC=90°
∵∠DCA=∠FCB=a
∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a
∵∠DCF=45°，∠CDF=90°
∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形
∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a
∴∠DCB=∠DFM
∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形
∴DC=DF，BC=AB=MF
∴△DCB≌△DFM(SAS)
∴∠MDF=∠BDC，DB=DM
∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°
∴△DMB是等腰直角三角形
∵点E是MB的中点
∴DE=EB，DE⊥EB
（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：
∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=62∵CF=32，∴AF=32
∴CE=CF+FE=CF+1
2AF92
2
=
当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：
同理，CE=EF－CF
32
2 =
【点睛】
本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM是等腰直角三角形．
13．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B （0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．
（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．
①求证△ADB≌△AOB；
②求点H的坐标．
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（17
5
，3）；（3）
30334
-
≤S≤30334
+
．
【解析】
【分析】
（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；
（2）①根据HL证明即可；
②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；
（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（1）如图①中，
∵A（5，0），B（0，3），
∴OA=5，OB=3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
∴AD=AO=5，
在Rt△ADC中，CD22
AD AC
-，
∴BD=BC-CD=1，
∴D（1，3）．
（2）①如图②中，
由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，
∵点D在线段BE上，
∴∠ADB=90°，
由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，
∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．
②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，
∴∠CBA=∠OAB，
∴∠BAD=∠CBA，
∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，
在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，
∴m2=32+（5-m）2，
∴m=17
5
，
∴BH=17
5
，
∴H（17
5
，3）．
（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值
=1
2
•DE•DK=
1
2
×3×（5-
34）=30334
，
当点D 在BA 的延长线上时，△D ′E ′K 的面积最大，最大面积=
12×D ′E ′×KD ′=12×3×（5+34）=30334+． 综上所述，303344-≤S ≤30334
4
+． 【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
14．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B
顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为2
1.(2
a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE
()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺
时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．
()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针
旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．
【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为
2
12
a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为
2
14a ． 【解析】 【分析】
()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()
3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形
的性质可以得出1
BF BC 2
=
，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】
()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，
BED ACB 90∠∠∴==，
由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，
ABC DBE 90∠∠∴+=，
A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ABC ∴≌()BDE AAS BC DE a ∴==，
BCD 1
S BC DE 2=⋅，
2BCD 1
S a 2
∴=；
()2BCD 的面积为21a 2
，
理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，
BED ACB 90∠∠∴==，
线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，
AB BD
∴=，ABD90
∠=，
ABC DBE90
∠∠
∴+=，
A ABC90
∠∠
+=，
A DBE
∠∠
∴=，
在ABC和BDE中，
ACB BED
A DBE
AB BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
ABC
∴≌()
BDE AAS，
BC DE a
∴==，
BCD
1
S BC DE
2
=⋅，
2
BCD
1
S a
2
∴=；
()3如图3，过点A作AF BC
⊥与F，过点D作DE BC
⊥的延长线于点E，AFB E90
∠∠
∴==，
11
BF BC a
22
==，
FAB ABF90
∠∠
∴+=，
ABD90
∠=，
ABF DBE90
∠∠
∴+=，
FAB EBD
∠∠
∴=，
线段BD是由线段AB旋转得到的，
AB BD
∴=，
在AFB和BED中，
AFB E
FAB EBD
AB BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
AFB
∴≌()
BED AAS，
1
BF DE a
2
∴==，
2BCD
1111S
BC DE a a a 2224
=
⋅=⋅⋅=， BCD ∴的面积为21
a 4
．
【点睛】 本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
15．如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 的中点，连接CF ，DF ．
（1）如图1，当点D 在AB 上，点E 在AC 上时 ①证明：△BFC 是等腰三角形；
②请判断线段CF ，DF 的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF 且CF ⊥DF ．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析. 【解析】 【详解】
分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF ，根据∠CFD=2∠ABC ，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF 至G 使FG=DF ，连接BG ，CG ，DC ，首先证明△BFG 和△EFD 全等，然后再证明△BCG 和△ACD 全等，从而得出GC=DC ，∠BCG=∠ACD ，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．
详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB ，∴CF=BF=EF ，∴△BFC 是等腰三角形． ②解：结论：CF=DF 且CF ⊥DF ．理由如下：
∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F 是BE 的中点，∴CF=DF=1
2
BE=BF ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2， ∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC ，。