两角和与差的正弦、正切公式及其应用

— 21 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
公式逆用的注意点 (1)在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点， 其次注意角是否满足要求．在应用正切公式变形时应注意公式特点．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1， 23， 3等这些数值时，一定要考虑引入 特殊角，把“值变角”构造成适合公式的形式．
(3)符号特征：
— 7—
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
思考诊断 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)存在 α，β∈R，使得 sin(α－β)＝sinα－sinβ 成立．( √ ) (2)对于任意 α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 都不成立．( × ) (3)tanπ2＋π3可由公式 T(α＋β)计算．( × ) (4)tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ等价于 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．( √ )
＝
55×－31010－－2 5 5×
1100＝－
2 10 .
tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋－－12－12×－13－ 13＝－17.
— 返回 —
— 27 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
(2)解法一：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝－255×－31010－ 55× 1100＝ 22. 由 α 和 β 均为钝角，得 π<α＋β<2π，∴α＋β＝74π. 解法二：tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ ＝1－－－1212－×13－13＝－1， 因 α 和 β 均为钝角，得 π<α＋β<2π，∴α＋β＝74π.
(2) tan27°＋tan33°.
— 返回 —
[解] (1)原式＝11＋－ttaann7755°°＝1t＋an4ta5n°4－5°ttaann7755°°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝
－ 33.
(2)原式＝tan27°1＋33°＝tan160°＝
3 3.
— 25 —
— 返回 —
— 16 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
正用公式时的注意点 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系， 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
YUMINGSHIDUIHUA
与名师对话
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
第四章 三角恒等变换
§2 两角和与差的三角函数公式 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
课前自主预习 课堂互动探究 随堂巩固验收
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
新课程标准：1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式.2.能 够运用两角和与差的正弦、正切公式解决三角函数的化简、求值问题．
— 18 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
2．已知 tanα＝2，tanβ＝－13，其中 0<α<π2，π2<β<π.求： (1)tan(α－β)； (2)α＋β 的值．
[解] (1)因为 tanα＝2，tanβ＝－13， 所以 tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝21＋ －1323＝7.
— 5—
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
2.两角和与差的正切公式
名称
简记符号
两角和的 正切公式
T(α＋β)
两角差的 正切公式
T(α－β)
公式
tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ 1－tanαtanβ
tan(α－β)＝ tanα－tanβ 1＋tanαtanβ
— 返回 —
使用条件
α，β，α＋β，α－β≠kπ ＋π2(k∈Z)且 tanα·tanβ≠±1
— 17 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
[巩固训练]
1．若 cosα＝－45，α 是第三象限角，则 sinα＋π4＝( A )
A．－7102
72 B. 10
C．－ 102
2 D. 10
— 返回 —
[解析] 因为 cosα＝－45，α 是第三象限角，所以 sinα＝－35，由两角和的正弦公式可 得 sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35× 22＋－45× 22＝－7102.故选 A.
— 9—
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
3．tan15°的值为__2_－___3__． [解析] tan15°＝tan(60°－45°) ＝1t＋an6ta0n°6－0°ttaann4455°°＝1＋3－3×1 1＝2－ 3.
— 返回 —
— 10 —
— 返回 —
课堂互动探究
02
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
题型一 三角公式的直接应用 【典例 1】 已知 cosα＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12， 求：(1) 2sinα＋π4； (2)tanβ. [思路导引] 由已知可求得 sinα 的值，则可求得 tanα，对于(1)，直接代入公式即可； 对于(2)，因为 β＝α－(α－β)，所以 tanβ＝tan[α－(α－β)]，再利用两角差的正切公式求解．
— 29 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
[巩固训练] 5．已知 α，β∈(0，π)，tanα＝2，cosβ＝－7102，求 2α－β 的值．
[解] 解法一：因为 tanα＝2>0，α∈(0，π)，所以 α∈0，π2.同理可得 β∈π2，π，且 tanβ＝－17.
所以 α－β∈(－π，0)，tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝3>0，所以 α－β∈－π，－π2，所以 2α－β∈(－π，0)．
— 6—
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
[温馨提示](1)在两角和与差的正切公式中，角 α，β，α＋β，α－β 均不等于 kπ＋π2(k∈ Z)，这是由正切函数的定义域决定的．
(2)结构特征：公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tanα 与 tanβ 的和或差，分母 为 1 与 tanαtanβ 的差或和．
— 返回 —
— 19 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
(2)因为 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝21－ ＋1323＝1， 又因为 0<α<π2，π2<β<π， 所以π2<α＋β<32π，所以 α＋β＝54π.
— 返回 —
— 20 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
又 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝1t－anαta＋nαttaannαα－－ββ＝－1，所以 2α－β＝－π4.
— 15 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
(1) 2sinα－π4＝ 2sinαcosπ4－cosαsinπ4 ＝ 235× 22－45× 22＝－15. (2)tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝1t－anαta＋nαttaannαα－－ββ＝1－34＋34×12 12＝2.
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
3 (2)tanα＝csoinsαα＝54＝34.
5 ∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαa－nαt·atannαα－－ββ ＝1＋34－34×12 12＝121.
— 返回 —
— 14 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
— 8—
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
2．sin45°cos15°－cos45°sin15°的值为( C )
A．－
3 2
B．－12
1 C.2
3 D. 2
[解析] sin45°cos15°－cos45°sin15° ＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12，故选 C.
— 返回 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
题型三 给值求角(值)
【典例 3】 已知 sinα＝ 55，sinβ＝ 1100，且 α 和 β 均为钝角． 求：(1)sin(α－β)，tan(α－β)； (2)α＋β. [思路导引] 由角 α、β 的范围及角 α、β 的正弦，可求得角 α、β 的余弦从而得 α，β 的正切，对于(1)，直接代入公式即可；对于(2)，利用两角和的余弦公式或正切公式求角， 注意 α＋β 角的范围．
3·12cosα＋ 23sinα＝45 3，
— 返回 —
— 23 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
所以 sinα＋π6＝45. 所以 sinα＋76π＝－sinα＋π6＝－45.
— 返回 —
— 24 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
4．求值：(1)ccooss7755°°－ ＋ssiinn7755°°； 1－tan27°tan33°
— 22 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
[巩固训练] 3．已知 cosα－π6＋sinα＝45 3，则 sinα＋76π的值是__－__45____．
[解析] 因为 cosα－π6＋sinα＝45 3， cosα来自百度文库osπ6＋sinαsinπ6＋sinα＝4 5 3， 所以 23cosα＋32sinα＝45 3，
[变式] 若本例中的条件“cosα＝45，α∈(0，π)”换为“tanα＝34，α∈(0，π)”其他条 件不变，求 2sinα－π4及 tan(2α－β)．
[解] ∵tanα＝34，∴csoinsαα＝34，∴sinα＝34cosα， 又 sin2α＋cos2α＝1，∴196cos2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝1265，∵tanα>0 且 α∈(0，π)， ∴α∈0，π2，∴cosα＝45，∴sinα＝ 1－cos2α＝35.
— 26 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
[解] ∵α 和 β 均为钝角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－255，
cosβ＝－
1－sin2β＝－3
10 10 .
tanα＝csoinsαα＝－12，tanβ＝csoinsββ＝－13. (1)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
— 12 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
[解] ∵cosα＝45>0，α∈(0，π)，∴sinα>0.
∴sinα＝ 1－cos2α＝
1－452＝35，
(1) 2sinα＋π4＝ 2sinαcosπ4＋cosαsinπ4
＝ 235× 22＋45× 22＝75.
— 返回 —
— 13 —
— 返回 —
题型二 三角公式的逆用及变形用
【典例 2】 求值：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°； 3－tan15°
(2)1＋ 3tan15°. [思路导引] (1)逆用两角和的正弦公式；(2)将 3换成 tan60°，再逆用两角差的正切公 式．
[解] (1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°) ＝sin14°cos16°＋cos14°sin16° ＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12. (2)原式＝1t＋an6ta0n°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
— 返回 —
— 28 —
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
— 返回 —
(1)解答此类题目的步骤为： 第一步，求角的某一个三角函数值； 第二步，确定角所在的范围； 第三步，根据角的取值范围写出所求的角，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据 所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内． (2)选择求角的三角函数值的方法： 若角的取值范围是0，π2，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是－π2，π2， 则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．
— 3—
— 返回 —
课前自主预习
01
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
新知梳理 1．两角和与差的正弦公式
公式 sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ
简记 S(α＋β) S(α－β)
— 返回 —
适用范围 α，β 都是任意角