新北师大版七年级数学下册第一章《整式的乘除》单元练习题含答案解析 (26)

一、选择题（共10题） 1. 下列计算正确的是 ( ) A ． x 2+x 2=x 4 B ． (2x )3=6x 3
C ． (−2a −3)(2a −3)=9−4a 2
D ． (2a −b )2=4a 2−2ab +b 2
2. 若 3x =15，3y =5，则 3x−y 等于 ( ) A ． 5 B ． 3 C ． 15 D ． 10
3. 计算 (a −1)2 正确的是 ( ) A ．a 2−a +1 B ．a 2−2a +1 C ．a 2−2a −1 D ．a 2−1
4. 计算 (m −2)(m +2)(m 2+4)−(m 4−16) 的结果为 ( ) A ． 0 B ． 4m C ． −4m
D ． 2m 4
5. 已知 (m −53)(m −47)=24．则 (m −53)2+(m −47)2 的值为 ( ) A ． 84 B ． 60 C ． 42 D ． 12
6. 任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n =s ×t （s ，t 是正整数，且 s ≤t ），如果 p ×q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 p ×q 是 n 的最佳分解，并规定：F (n )=p
q ．例如 18 可以分解成 1×18，2×9，3×6 这三种，这时就有 F (18)=3
6=1
2，给出下列关于 F (n ) 的说法：① F (2)=1
2，② F (48)=1
3；③ F (n 2+n )=n
n+1；④若 n 是一个完全平方数，则 F (n )=1，其中正确说法的个数是 ( ) A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ． 1
7. 如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是 ( )
A ． a (a +b )=a 2+ab
B ． (a +b )(a −b )=a 2−b 2
C ． (a −b )2=a 2−2ab +b 2
D ． (a +b )2=a 2+2ab +b 2
8. 我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作《详解九章算法》给出了在 (a +b )n （n 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 a 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 (x +1)2019 展开式中含 x 2018 项的系数是 ( )(a +b )0=1,(a +b )1=a +b (a +b )2=a 2+2ab +b
2
(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b
3(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4 1
1 1 1
2 1 1
3 3 1 1
4 6 4 1⋯⋯⋯⋯ A ． 2016 B ． 2017 C ． 2018 D ． 2019
9. 已知 a =2019x +2020，b =2019x +2021，c =2019x +2022，则多项式 a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca 的值为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
10. 如图，大正方形的边长为 m ，小正方形的边长为 n ，若用 x ，y 表示四个长方形的两边长（x >
y ），观察图案及以下关系式：① x −y =n ；② xy =
m 2−n 2
2
；③ x 2−y 2=mn ；④ x 2+y 2=
m 2+n 2
2
．其中正确的关系式有 ( )
A ．①②
B ．①③
C ．①③④
D ．①②③④
二、填空题（共7题）
11. 如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形，拼第 2 个正方
形需要 9 个小正方形 ⋯，按这样的方法拼成的第 (n +1) 个正方形比第 n 个正方形多 个小正方形．
12. 若 a =20180，b =2017×2019−20182，c =(−45)
2017
×(54)
2018
，则 a ，b ，c 的大小关系用
“<”连接为 ．
13.观察探索：
(x−1)(x+1)=x2−1，
(x−1)(x2+x+1)=x3−1，
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1，
(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1．
根据规律填空：(x−1)(x n+x n−1+⋯+x+1)=．（n为正整数）
14.已知a2b2+a2+b2=10ab−16，则a+b的值为．
15.计算下列各式然后回答问题：
(x+3)(x+4)=；
(x+3)(x−4)=；
(x−3)(x+4)=；
(x−3)(x−4)=．
（1）根据以上的计算总结出规律：(x+m)(x+n)=；
（2）运用（1）中的规律，直接写出下列各式的结果：
① (a+2)(a+3)=；
② (m+5)(m−2)=；
③ (m+3)(m−3)=；
④ (m−3)(m−3)=．
16.计算：(a−1)2(a+1)2=．
17.计算：(a5−a3)÷a2=．
三、解答题（共8题）
18.已知长方形的面积为6a2b−4a2+2a，宽为2a，求长方形的周长．
19.贾宪三角（如图1）最初于11世纪被发现，原图记载于我国北宋时期数学家贾宪的《黄帝九章
算法细草》一书中，原名“开方作法本源图”，用来作开方运算，在数学史上占有领先地位．我国南宋时期数学家杨辉对此有着记载之功，他于1261年写下的《详解九章算法》一书中记载着这一图表．因此，后人把这个图表称作贾宪三角或杨辉三角．
施蒂费尔的二项式乘方后展开式的系数规律如图2所示．在贾宪三角中，第三行的三个数恰好对应着两数和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2展开式的系数．再如，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式的系数，第五行的五个数恰好对应着两数和的四次方公式(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式的系数，等等．由此
可见，贾宪三角可以看成是对我们现在学习的两数和的平方公式的推广而得到的，根据以上材料解决下列问题：
(1) (a+b)n展开式中项数共有项；
(2) 写出(a+b)7的展开式：(a+b)7=；
(3) 计算：25−5×24+10×23−10×22+5×2−1
(4) 若(2x−1)2019=a1x2019+a2x2018+⋯+a2018x2+a2019x+a2020，求a1+a2+a3+⋯+
a2018+a2019的值.
20.对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，
例如图1可以得到完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，请利用这一方法解决下列问题：
(1) 观察图2，写出所表示的数学等式：；
(2) 观察图3，写出所表示的数学等式：；
(3) 已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若a=7x−5，b=−4x+2，c=−3x+4，
且 a 2+b 2+c 2=37，请利用（2）中的结论求 ab +bc +ac 的值．
21. 先化简，再求值：(−x 2+2x )(−x 2−2x )，其中 x =−1．
22. 计算下列各题：
(1) 3x 2y ×5xy −14x 4y 5÷2xy 3． (2) (2π−6)0+(−1)2019+2−3．
23. 计算（结果用科学记数法表示）：
(1) (3×10−3)×(5×10−4)； (2) (6×10−3)2÷(2×10−1)2．
24. 计算：(x +y −1)(x +y +1)．
25. 计算：
(1) a 3⋅a 5+(a 2)4−3a 8． (2) ∣−2∣−(23)
−2
+(π−3)0−(−1)2021．
(3) (x −2y +4)(x +2y −4)． (4) (3x +1)2(3x −1)2．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
【解析】（A）原式=2x2，故A错误．
（B）原式=6x3，故B错误．
（D）原式=4a2−4ab+b2，故D错误．
【知识点】平方差公式
2. 【答案】B
【知识点】同底数幂的除法
3. 【答案】B
【知识点】完全平方公式
4. 【答案】A
【解析】
(m−2)(m+2)(m2+4)−(m4−16) =(m2−4)(m2+4)−(m4−16)
=(m4−16)−(m4−16)
=0.
【知识点】平方差公式
5. 【答案】A
【解析】设a=m−53，b=m−47，则ab=24，a−b=−6，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab=(−6)2+48=84，
∴(m−53)2+(m−47)2=84．
【知识点】完全平方公式
6. 【答案】B
【解析】∵2=1×2，
∴1×2是2的最佳分解，
∴F(2)=1
2
，即①正确；
∵48=1×48，48=2×24，48=3×16，48=4×12，48=6×8，∴6×8是48的最佳分解，
∴F(48)=6
8=2
3
，即②错误；
∵n2+n=n(n+1)，
∴F(n2+n)=n
n+1
，即③正确；
若n是一个完全平方数，则设n=a×a（a是正整数），
∴F(n)=a
a
=1，即④正确；
综上所述，①③④正确，共三个．
【知识点】单项式乘多项式
7. 【答案】C
【解析】图中左下角的正方形面积可以表示为：(a−b)2，
也可以表示为a2−2ab+b2，
∴(a−b)2=a2−2ab+b2．
【知识点】完全平方公式
8. 【答案】D
【解析】由题意，(x+1)2019=x2019+2019x2018+⋯+12019，
可知，展开式中第二项为2019x2018，
所以(x+1)2019展开式中含x2018项的系数是2019．
【知识点】其他公式
9. 【答案】D
【解析】∵a=2019x+2020，b=2019x+2021，c=2019x+2022，∴a−b=−1，b−c=−1，a−c=−2，
∴ a2+b2+c2−ab−bc−ca
=2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca
2
=(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2
2
=(−1)2+(−1)2+(−2)2
2
=1+1+4
2
= 3.
【知识点】完全平方公式
10. 【答案】C
【解析】有图形可知，m=x+y，n=x−y，因此①正确；
于是有：mn=(x+y)(x−y)=x2−y2，因此③正确；
m2−n2
2=(m+n)(m−n)
2
=2x⋅2y
2
=2xy，因此②不正确；
m2+n2
2=(m+n)2−2mn
2
=(2x)2−2(x2−y2)
2
=x2+y2，因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④．【知识点】平方差公式、完全平方公式
二、填空题（共7题）
11. 【答案】 2n +3
【解析】 ∵ 第 1 个正方形需要 4 个小正方形，4=22， 第 2 个正方形需要 9 个小正方形，9=32， 第 3 个正方形需要 16 个小正方形，16=42， ⋯，
∴ 第 n +1 个正方形有 (n +1+1)2 个小正方形， 第 n 个正方形有 (n +1)2 个小正方形，
故拼成的第 n +1 个正方形比第 n 个正方形多 (n +2)2−(n +1)2=2n +3 个小正方形． 【知识点】用代数式表示规律、完全平方公式
12. 【答案】 c <b <a
【解析】 a =20180=1，
b =2017×2019−20182
=(2018−1)×(2018+1)−20182
=20182−1−20182=−1,
c
=(−45)
2017
×(54)
2018=(−45×54
)
2017
×
54
=(−1)2017×
54
=(−1)×5
4=−5
4,
∵−5
4
<−1<1，
∴c <b <a ． 故答案为：c <b <a ． 【知识点】平方差公式
13. 【答案】 x n+1−1
【知识点】平方差公式
14. 【答案】 ±4
【知识点】完全平方公式
15. 【答案】 x 2+7x +12 ； x 2−x −12 ； x 2+x −12 ； x 2−7x +12 ； x 2+(m +n)x +
mn ； a 2+5a +6 ； m 2+3m −10 ； m 2−9 ； m 2−6m +9 【知识点】多项式乘多项式、用代数式表示规律
16. 【答案】 a 4−2a 2+1
【解析】方法一：
原式=(a2−2a+1)(a2+2a+1)
=a4+2a3+a2−2a3−4a2−2a+a2+2a+1
=a4−2a2+1.
方法二：
原式=[(a−1)(a+1)]2
=(a−1)2
=a4−2a2+1.
【知识点】完全平方公式
17. 【答案】a3−a
【解析】(a5−a3)÷a2=a3−a．
故答案为：a3−a．
【知识点】多项式除以单项式
三、解答题（共8题）
18. 【答案】长方形的长为(6a2b−4a2+2a)÷(2a)=3ab−2a+1，
则长方形的周长为2(2a+3ab−2a+1)=2(3ab+1)=6ab+2．【知识点】多项式除以单项式
19. 【答案】
(1) n+1
(2) a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7
(3) 原式=25−5×24×(−1)+10×23×(−1)2+10×22×(−1)3+5×2×(−1)4+(−1)5 =(2−1)5
=1
(4) 当x=0时，a2020=−1，
当x=1时，a1+a2+a3+⋯+a2018+a2019+a2020=1，
∴a1+a2+a3+⋯+a2018+a2019=2．
【知识点】多项式乘多项式
20. 【答案】
(1) (a+2b)(a+b)=a2+2b2+3ab
(2) (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(3) 由（2）得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
(a+b+c)2=(7x−5−4x+2−3x+4)2=1，
1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
1=37+2(ab+bc+ac)，
2(ab+bc+ac)=−36，
ab+bc+ac=−18．
【知识点】其他公式、多项式乘多项式
21. 【答案】x4−4x2，把x=−1代入得：−3．
【知识点】平方差公式
22. 【答案】
(1)
3x2y×5xy−14x4y5÷2xy3 =15x3y2−7x3y2
=8x3y2.
(2)
(2π−6)0+(−1)2019+2−3 =1−1+1
8
=1
8
.
．
【知识点】负指数幂运算、单项式乘单项式、单项式除以单项式23. 【答案】
(1) 原式=3×5×10−3×10−4 =15×10−7
= 1.5×10−6.
(2) 原式=(36×10−6)÷(4×10−2) =(36÷4)×(10−6÷10−2)
=9×10−4.
【知识点】负指数科学记数法
24. 【答案】原式=[(x+y)−1][(x+y)+1] =(x+y)2−1
=x2+2xy+y2−1.
【知识点】完全平方公式25. 【答案】
(1) 原式=a 8+a8−3a8
=−a8.
(2) 原式=2−9
4
+1+1
=7
4
.
(3)
(x−2y+4)(x+2y−4)
=[x−(2y−4)][x+(2y−4)] =x2−(2y−4)2
=x2−4y2+16y−16.
(4) 原式=(9x 2−1)2
=81x4−18x2+1.
【知识点】完全平方公式、同底数幂的乘法、负指数幂运算、零指数幂运算、幂的乘方、平方差公
式
11。