大学物理电磁学部分练习题讲解

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大学物理电磁学部分练习题
1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的（D ） （A ）带正电荷的导体，其电势一定是正值． （B ）等势面上各点的场强一定相等． （C ）场强为零处，电势也一定为零．
（D ）场强相等处，电势梯度矢量一定相等．
2.当一个带电导体达到静电平衡时：D （A ）表面上电荷密度较大处电势较高． （B ）表面曲率较大处电势较高．
（C ）导体内部的电势比导体表面的电势高．
（D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零．
3. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布
为（r 表示从球心引出的矢径）： （ 0 r r
R 3
02εσ）
=)(r E
)(R r <， =)(r E
)(R r >． 4.电量分别为q 1，q 2，q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为
R ，则b 点处的电势U ＝
)22(813210q q q R
++πε
5.两个点电荷，电量分别为+q 和-3q ，相距为d ，试求：
（l ）在它们的连线上电场强度0=E
的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？
（2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U ＝ 0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？
q +q 3-
x
?O
d E ?
．解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，X 轴沿两点电荷的连线．
（l ）设0=E
的点的坐标为x ′，则
0)'(43'
42
02
0=--=
i d x q
i x q E
πεπε
可得 0'2'222=-+d dx x
解出 d x )31(21'1+-=和 d x )13(2
1'
2
-=
其中'1x 符合题意，'2x 不符合题意，舍去． （2）设坐标x 处 U ＝ 0，则
)
(43400x d q
x q U --
=
πεπε
0])
(4[
40
=--=
x d x x
d q πε
得 4/0
4d x x d ==-
6.一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.
解答：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O
点处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。

今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。

带电圆环在P 点的场强为：()
3222
01
ˆ4qx
E r
a x πε=
+ 在本题中，cos x h R θ==，a r =
2q
q l R =
d d π2220048q q l
E r R r εε==
d d d ππ()
3/2
2204qx x R ε=
+π223
08R
qx l E Rr ε=⎰
πd π 所以可得：()
3
3
2
2
2
0044hdq hdq
dE R r h
πεπε=
=
+
上式中()222sin dq r Rd R d σπθπσθθ==
即：3300
2sin cos sin cos 42R d dE d R σπθθθσ
θθθπεε==
整个半球面为：2000sin cos 24E dE d π
σ
σθθθεε===
⎛⎜⎠⎰，方向沿半径向外
7. 电荷q 均匀地分布在一半径为R 的圆环上。

计算在圆环的轴线上任一给定点P 的场强。

解：
8. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如图在圆上取ϕRd dl =
ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为
2
0π4d d R R E εϕ
λ=
方向沿半径向外
则 ϕϕελ
ϕd sin π4sin d d 0R
E E x =
=
ϕϕελ
ϕπd cos π4)cos(d d 0R
E E y -=
-=
积分R R E x 000
π2d sin π4ελ
ϕϕελπ
==
⎰
cos x x L
L
L x E E E E E r
θ====⋅⎰⎰⎰
d d d ()
3/2
22
04qx x R ε=
+π
0d cos π400
=-=
⎰
ϕϕελ
π
R
E y
∴ R
E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向．
9. 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．
解: 高斯定理0
d ε∑⎰=⋅q
S E s
取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=
则 rl E S E S
π2d =⋅⎰
对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ r
E 0π2ελ
=
沿径向向外 (3) 2R r > 0
=∑q 0=E
10 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．
解: 两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，
两面间， n E )(21210σσε-= 1σ面外， n E
)(21210
σσε+-=
2σ面外， n E )(21210
σσε+= n
：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．
11.半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
解:将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题图
223
08R
qx l E Rr ε=⎰
πd π
(a)．
(1) ρ+球在O 点产生电场010=E
，
ρ- 球在O 点产生电场
'd
π4π34
3
0320
OO r E
ερ
= ∴ O 点电场'd
33
030OO r E ερ= ； (2) ρ+
在O '产生电场'd
π4d 34
30301OO E ερπ=' ρ-球在O '产生电场002='E
∴ O ' 点电场 0
03ερ=
'
E 'OO
图(a) 图(b)
(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r '，相对O 点位矢为r
(如(b)图)
则 0
3ερr E
PO
=
，03ερr E O P '-='
∴ 0
003'3)(3ερερερd OO r r E E E O
P PO P
=='-=+='
∴ 腔内场强是均匀的．
12. 两点电荷1q =×10-8C ，2q =×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为
2r =25cm ，需作多少功 解: ⎰
⎰
==
⋅=
2
2
2
1
0212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε
)11(2
1r r - 61055.6-⨯-=J
外力需作的功 61055.6-⨯-=-='A A J
13.如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如图示
0π41
ε=O U 0)(=-R q R
q
0π41ε=
O U )3(R q R q -R
q
0π6ε-
=
∴ R
q q U U q
A o C O 00
π6)(ε=
-=
14. 如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E
d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向
θεθ
λπ
πcos π4d d 2
2
2
0⎰⎰-
==
R
R E E y R
0π4ελ=
［)2
sin(π-2
sin π-］R
0π2ελ-=
(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U
⎰
⎰
==
=
A
B
20
0012
ln π4π4d π4d R
R
x x x x
U ελ
ελελ 同理CD 产生 2ln π40
2
ελ
=U 半圆环产生 0
03
4π4πελ
ελ=
=
R R U
∴ 0
032142ln π2ελ
ελ+
=
++=U U U U
O
15. 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距，A 与C 相距 mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少以地的电势为零，则A 板的电势是多少
解: 如图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ
(1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d
2
1
===
AC
AB AB AC E E σσ 且 1σ+2σS
q A =
得 ,32
S
q A =
σ S
q A 321
=
σ
而 711023
2
-⨯-=-
=-=A C
q S q
σC
C
10172-⨯-=-=S q B σ
(2) 30
1
103.2d d ⨯==
=AC AC AC A
E U εσV 16.一空气平行板电容器，两极板面积均为 S ，板间距离为 d （ d 远小于极板线度），在两极板间平行地插入一面积也是S 、厚度为 t （＜ d ）的金属片．试求：
（l ）电容C 等于多少？
（2）金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？
解：设极板上分别带电量+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为
)/(01S q E ε=
金属板与B 板间场强为 )/(02S q E ε=
金属片内部场强为 0'=E 则两极板间的电势差为 d E d E U U B A 21+=-))](/([210d d S q +=ε))](/([0t d S q -=ε
由此得)/()/(0t d S U U q C B A -=-=ε
因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放位置对电容无影响．
17. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为
R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如图所示，设金属球感应电荷为q '，则球接地时电势0=O U
由电势叠加原理有：
=
O U 03π4π4'00=+R
q
R q εε 得 -
='q 3
q 18. 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）
（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定
分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。

由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。

19.如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。

设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d
εq
V E 0π4,0=
= （B ）d
εq
V d εq E 02
0π4,π4==
（C ）0,0==V E （D ）R
εq
V d εq E 020π4,π4=
=
分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。

点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。

因而正确答案为（A ）。

20.在真空中，将半径为R 的金属球接地，与球心O 相距为r （r ＞R ）处放置一点电荷q ，不计接地导线上电荷的影响．求金属球表面上的感应电荷总量． 分析 金属球为等势体，金属球上任一点的电势V 等于点电荷q 和金属球表面感应电荷q′在球心激发的电势之和．在球面上任意取一电荷元ｄq′，电荷元可以视为点电荷，金属球表面的感应电荷在点O 激发的电势为
⎰
'
='s R εq V 0
π4d
点O 总电势为
V r
εq
V '+=
00π4
而接地金属球的电势V 0 ＝0，由此可解出感应电荷q′． 解 金属球接地，其球心的电势
0d π41
π4π4d π40000='+='+=
⎰⎰s s q R
εr εq R εq r εq V 感应电荷总量
q r
R
q q ⎰-='=d
21.两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小B R 、B r 满足（ ）
（A ） r R B B 2= （B ） r R B B = （C ） r R B B =2 （D ）r R B B 4=
分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比
2
1==R r n n r R 因而正确答案为（C ）。

22. 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小B R 、B r 满足（ ）
（A ） r R B B 2= （B ） r R B B = （C ） r R B B =2 （D ）r R B B 4=
分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比
2
1==R r n n r R 因而正确答案为（C ）。

23.电场强度为E 的均匀电场，E
的方向与X 轴正向平行，如图所示．则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为（D ）
（A ）E R 2π．（B
）E R 22
1
π． （C ）E R 22π． （D ）0
24.取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线
之间的相互间隔，但不越出积分回路，则B
（A ）回路L 内的∑I 不变， L 上各点的B
不变． （B ）回路L 内的∑I 不变， L 上各点的B
改变． （C ）回路L 内的∑I 改变， L 上各点的B
不变．
（D ）回路L 内的∑I 改变， L 上各点的B
改变．
25.如图所示，螺线管内轴上放入一小磁针，当电键K 闭合时，小磁针的N 极的指向(C)
（A ）向外转90O ．
（B ）向里转
90O ．
（C ）保持图示位置不动． （D ）旋转180O ．
（E ）不能确定．
26.均匀磁场的磁感强度B
垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半
球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2?r 2B ． (B) ?r 2B ． (C) 0． (D) 无法确定的
量． ［ B ］
27.在磁感强度为B
的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n
与B 的夹角为? ，则通过半球
面S 的磁通量(取弯面向外为正)为
n B
α S
(A) ?r 2B ． (B) 2??r 2B ．
(C) -?r 2B sin ?． (D) -?r 2B cos ?． ［ D ］
28.在真空中有一根半径为R 的半圆形细导线，流过的电流为I ，则圆心处的磁感强度为D (A)
R
1
40πμ． (B)
R
1
20πμ (C) 0． (D)
R
1
40μ．
29.若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布 (A) 不能用安培环路定理来计算． (B) 可以直接用安培环路定理求出． (C) 只能用毕奥－萨伐尔定律求出． (D) 可以用安培环路定理和磁感强度的叠加原理求出． ［ D ］
30.一运动电荷q ，质量为m ，进入均匀磁场中，
(A) 其动能改变，动量不变． (B) 其动能和动量都改变． (C) 其动能不变，动量改变． (D) 其动能、动量都不变． ［ C ］
31.两根平行的金属线载有沿同一方向流动的电流．这两根导线将： (A) 互相吸引． (B) 互相排斥． (C) 先排斥后吸引． (D) 先吸引后排斥． ［ A ］
32.如图，无限长直载流导线与正三角形载流线圈在同一平面内，若长直导线固定不动，则载流三角形线圈将
(A) 向着长直导线平移． (B) 离开长直导线平移．
(C) 转动． (D) 不动． ［ A ］
33.如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B 中以速度v
移动，直导线ab 中的
电动势为 (A) Blv ． (B) Blv sin ?．
I 1B
v
(C) Blv cos ?． (D) 0． ［ D ］ 34.如图所示，M 、N 为水平面内两根平行金属导轨，ab 与cd 为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线．外磁场垂直水平面向上．当外
力使ab 向右平移时，cd (A) 不动． (B) 转动． (C) 向左移动． (D) 向右移动．［ D ］ 35.在真空中，将一根无限长载流导线在一平面内弯成如图所示的形状，并通以电流I ，则圆心O 点的磁感强度B 的值为μ0I/(4a )．
36.如图，两根导线沿半径方向引到铁环的上A 、A ′两点，并在很远处与电源相连，则环中心的磁感强度为_ B=0__．
37.两根长直导线通有电流I ，图示有三种环路；在每种情况下，⎰⋅l B
d 等于：
________μ0I ___(对环路a )． ________0____(对环路b )．
___2μ0I ____(对环路c )．
i
I
是指__
38.在安培环路定理∑⎰⋅=i L
I l B 0d μ
环路L 所包围的所有稳恒电流的代数和___；B
是指__环路L 上的磁感强度
_____，它是由__环路L 内外全部电流所产生磁场的叠加____决定的． 39.一带电粒子平行磁感线射入匀强磁场，则它作__匀速直线__运动．
一带电粒子垂直磁感线射入匀强磁场，则它作___匀速圆周__运动． 一带电粒子与磁感线成任意交角射入匀强磁场，则它作__等距螺旋线_运动. 40. 图中，Ua-Ub 为：B
（Ａ）IR -ε （Ｂ）ε+IR
（Ｃ）IR +-ε （Ｄ）ε--IR
41.图1所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线,电荷线密度分别
c a b
d
N
M
B
I
I I
a O
? (0, y
I
I A A ′
O
+ -
b ⊗
⊙ c I I c a
为+? ( x > 0)和-? ( x < 0)，则xOy 平面上(0, a )点处的场强为:C
(A )
i a
02πελ
(B) 0 (C) i a 02πελ-
(D) j a
02πελ
42.如图所示，导体棒AB 在均匀磁场中绕通过C 点的垂直于棒长且沿磁场方向的轴OO ?转动(角速度?与B 同方向), BC 的长度为棒长的1/3. 则:C
(A) A 点比B 点电势低 (B) A 点与B 点电势相等 (C) A 点比B 点电势高 (D) 有电流从A 点流向B 点
43. 在相距为2R 的点电荷+q 与-q 的电场中，把点电荷+Q 从O 点沿OCD 移到D 点（如图），则电场力所做的功和+Q 电位能的增量分别为：D （Ａ）
R qQ 06πε，R qQ
06πε-。

（Ｂ）R qQ 04πε，R
qQ 04πε-。

（Ｃ）R
qQ 04πε-，
R
qQ 04πε。

（Ｄ）R qQ 06πε-
，R
qQ
06πε。

44.均匀磁场的磁感应强度B
垂直于半径为r 的圆面，今以该圆周为边线，作一
半球面s ，则通过s 面的磁通量的大小为：B
（Ａ）B r 22π （Ｂ）B r 2π（Ｃ）0 （Ｄ）无法确定的量 45.四个电动势均为ε、内阻均为r 的电源按如图连接，则：D
（Ａ）ε2=AB U ，ε=BC U （Ｂ）0=AB U ，0=BC U
（Ｃ）ε=AB U ，ε3=BC U （Ｄ）0=AB U ，ε=BC U
O ?
B
O C
B A
图。