人教版初一数学 整式与因式分解

解析:3a2-2a2=a2,故A正确; -(2a)2=-4a2,故B错误; (a-b)2=a2-2ab+b2,故C错误; -2(a-1)=-2a+2,故D错误. 故选A.
A)
3.(2018 乐山)已知实数 a,b 满足 a+b=2,ab= 3 ,则 a-b 等于( 4
(A)1
(B)- 5 2
解析:∵a+b=2,ab= 3 , 4
am+n (m,n为整数); (m,n为整数); (n为整数);
am-n (m,n为整数,a≠0).
3.整式的运算
(1)整式的加减
①去括号法则:a+(b+c)= a+b+c
,a-(b+c)= a-b-c
.
添括号法则:a+b+c=a+( b+c ),a-b-c=a-( b+c ).
②整式的加减:先去 括号 ,再合并 同类项 .
在求代数式的值时,要先弄清运算符号及运算顺序;其次将代数式化简后再求 值;最后代入求值,有时需要整体代入.计算时还要注意代入的数是负数或分 数时是否需要加括号.
幂的运算(高频考点)
[例3] (2019达州)下列计算正确的是( B ) (A)a2+a3=a5 (B)a8÷a4=a4 (C)(-2ab)2=-4a2b2 (D)(a+b)2=a2+b2
解析:∵3m=32n=2, ∴3m+2n=3m·32n=2×2=4.
4.
6.(2016内江)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察,
第n个图形有 (n2+n+4)
个小圆.(用含n的代数来自百度文库表示)
解析:第1个图形小圆个数为(4+1×2)个, 第2个图形小圆个数为(4+2×3)个, 第3个图形小圆个数为(4+3×4)个, 第4个图形小圆个数为(4+4×5)个, … ∴第n个图形小圆个数为4+n(n+1)=(n2+n+4)个.
思路点拨:根据幂的运算法则与两数和的平方公式计算,再根据结果判断. 解析:A.a2+a3,无法合并同类项,故A错误; B.根据同底数幂的运算法则得a8÷a4=a4,故B正确; C.根据积的乘方法则得(-2ab)2=4a2b2,故C错误; D.根据两数和的平方公式得(a+b)2=a2+2ab+b2,故D错误.故选 B.
思路点拨:先运用平方差公式、两数差的平方公式和单项式乘以多项式的法则 分别计算各项,再根据合并同类项法则进行整式的加减运算,最后代入求值. 解:原式=9x2-4y2-10x2+10xy+x2-2xy+y2 =8xy-3y2. 当 x= 2 +1,y= 2 -1 时, 原式=8×( 2 +1)( 2 -1)-3( 2 -1)2 =6 2 -1.
第2讲 整式与因式分解
代数式 1.代数式 由数和字母用 运算符号 连接所成的式子,称为代数式,单独一个数或一 个字母也是代数式. 2.列代数式 在解决实际问题时,常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来,即列代 数式. 3.代数式的值 一般地,用 数值 代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算 得出的结果,叫做代数式的值.
解析:第1个图案中有圆形3×1+1=4(个), 第2个图案中有圆形3×2+1=7(个), 第3图案中有圆形3×3+1=10(个), … 第n个图案中有圆形(3n+1)个.
解决图形规律题的两种方法 (1)数图形,将图形转化成数字规律,再用数字规律解决问题. (2)通过图形的直观性,从图中直接寻找规律.
若按某个字母的指数 从大到小 的顺序排列,叫做这个多项式按这个字
母降幂排列.若按某个字母的指数 从小到大 的顺序排列,叫做这个多项
式按这个字母升幂排列.
2.幂的运算性质
(1)同底数幂的乘法:am·an= (2)幂的乘方:(am)n= amn (3)积的乘方:(ab)n= anbn
(4)同底数幂的除法:am÷an=
4.因式分解的概念与基本方法
因式 分解
公因式
提取公 因式法
运用公 式法
因式分 解的一 般步骤
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因 式分解
一个多项式各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各 项的公因式
ma+mb+mc= m(a+b+c)
逆用平方差公式
逆用两数和 (差)的平方公式
(1)提(提公因式); (2)套(套公式); (3)验(检验分解是否彻底)
(2)整式的乘法
①单项式乘单项式:将它们的系数、相同字母的幂分别 相乘 ,对于只在
一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式.
②单项式乘多项式:m(a+b+c)= ma+mb+mc
.
③多项式乘多项式:(a+b)(m+n)= am+bm+an+bn
.
(3)乘法公式
①平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2
代数式的值
[例2] (2019泰州)若2a-3b=-1,则代数式4a2-6ab+3b的值为( B ) (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3
思路点拨:先将代数式4a2-6ab+3b的前两项提取公因式,再整体代入求值. 解析:4a2-6ab+3b=2a(2a-3b)+3b =-2a+3b =-(2a-3b) =1. 故选B.
(B)a5÷a4=2a
(C)(a5)4=a9
(D)a5-a4=a
解析:A.a+a=2a,故本选项正确; B.a5÷a4=a,故本选项错误; C.(a5)4=a20,故本选项错误; D.a5-a4,不能合并,故本选项错误. 故选A.
A)
2.(2019攀枝花)下列运算正确的是( (A)3a2-2a2=a2 (B)-(2a)2=-2a2 (C)(a-b)2=a2-b2 (D)-2(a-1)=-2a+1
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(1)先看各项有无公因式,若有公因式先提公因式. (2)提公因式后看多项式的项数,若多项式有两项,则考虑用平方差公式因式 分解;若多项式有三项,则考虑用两数和(差)的平方公式因式分解. (3)因式分解的结果一定要彻底,各因式均不能再分解为止.
1.(2019巴中)下列四个算式中,正确的是(
(A)a+a=2a
.
②两数和(差)的平方:(a+b)2= a2+2ab+b2 ,(a-b)2= a2-2ab+b2
.
(4)整式的除法 ①单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别相除作为 商的因式 ,对于
只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式. ②多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项 除以 这个单项式,再把所 得的商 相加 .
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
代数式 [例1] (2019太原一模)如图是一组有规律的图案,它们由半径相同的圆形组 成,依此规律,第n个图案中有 (3n+1) 个圆形(用含有n的代数式表示).
思路点拨:观察各个图案中的圆形个数,可发现后一个图案比前一个图案多 3个圆形,根据此规律即可求解.
整式及其运算
1.整式的有关概念 (1)整式: 单项式 与 多项式 统称为整式.
(2)单项式:由 数与字母 的乘积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数
或一个字母也是单项式.单项式中的 数字因数 叫做这个单项式的系数, 一个单项式中,所有字母的 指数的和 叫做这个单项式的次数. (3)多项式:几个单项式的 和 叫做多项式.其中每个 单项式 叫做多
7.先化简,再求值. (1)(2017眉山)(a+3)2-2(3a+4),其中a=-2; (2)(2018乐山)(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m),其中m是方程x2+x-2=0 的根.
解:(1)原式=a2+6a+9-6a-8=a2+1, 当a=-2时,原式=4+1=5. (2)原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3÷(-8m) =4m2-1-m2+2m-1-m2 =2m2+2m-2, ∵m是方程x2+x-2=0的根, ∴m2+m-2=0,即m2+m=2, 则原式=2(m2+m-1)=2×(2-1)=2.
项式的项,不含 字母 的项叫做常数项.多项式里次数最高项的次数,叫做
这个多项式的次数.一个多项式含有几项,就叫几项式. (4)同类项:所含 字母 相同,并且相同字母的 指数 也相等的项叫做
同类项,常数项都是同类项.
(5)合并同类项:把同类项的
系数
相加,所得的结果作为系数,
字母和字母的指数
保持不变.
(6)升幂排列与降幂排列
(1)同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则不能混淆,切记:am·an=am+n, (am)n=amn. (2)进行幂的有关混合运算时要注意三个方面:一是运算顺序,二是正确选 择法则,三是运算符号.
整式的化简求值(高频考点) [例 4] 先化简,再求值:(3x+2y)(3x-2y)-10x(x-y)+(x-y)2,其中 x= 2 +1,y= 2 -1.
(1)整式的混合运算,熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键,同时注 意运算符号和漏项问题. (2)符合公式的要应用乘法公式去简化运算. (3)代入求值时,一般按照“当……时,原式=……”的格式书写.
因式分解(常考点)
[例5] 分解因式:
(1)(2019广安)3a4-3b4= 3(a2+b2)(a+b)(a-b)
(C)±1
(D)± 5 2
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4× 3 =1, 4
∴a-b=±1. 故选 C.
C)
4.(2019眉山)分解因式:3a3-6a2+3a= 3a(a-1)2
.
解析:3a3-6a2+3a=3a(a2-2a+1)=3a(a-1)2.
5.(2019乐山)若3m=9n=2,则3m+2n=
.
(2)(2019绵阳)m2n+2mn2+n3= n(m+n)2
.
思路点拨:(1)先提取公因式,再应用平方差公式. (2)先提取公因式,再应用两数和的平方公式. 解析:(1)3a4-3b4 =3(a2+b2)(a2-b2) =3(a2+b2)(a+b)(a-b). (2)m2n+2mn2+n3 =n(m2+2mn+n2) =n(m+n)2.