函数的零点问题 PPT课件 人教课标版

方法２：
可由原函数图像得到导函数图像的草图
f (x) 3ax２2bxc
又 对称轴x 2b 0,a 0,b0 6a
f(x)3 ax22 b xc
0
1
2
3.如果函数 y=f(x)在闭区间[a, b]上的图象 是连续曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内至少有一个零 点．
y 2x
作出两个函数的图像：
yln(1x)
－２
１
由图像知： 在 （ -2， 1） 内 至 少 有 一 个 交 点 （ 0， 0） 即 方 程 2 x ln (1 x ) 0 在 （ - 2 ， 1 ） 内 至 少 有 一 个 根 x=0
解 法 ２ ： 根 的 个 数 即 函 数 y = 2 x ln (1 x )的 图 像 在 （ -2， 1） 内 与 x轴 的 交 点 的 个 数
由
韦
达
定
理
得
：
－
3
２
＝８
－ ａ
ｂ
（ － ３ ）２ ＝ a a b a
解 得 ： a 3,b 5
f (x) 3x2 3x 18
4.已知函数f x ax3bx2cxd的 ? 图像如下，
则 （ ） Ａｂ （－，０） Ｂｂ （０，１） Ｃｂ （１， ２） Ｄｂ （ 2,＋） ?
(k为 实 数 ） 的 两 个 零 点 ，
则
x
2 1

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x
2的
2
最
大
值
为
____________
解：由根与系数的关系知，
x12x22（ x1x2）22x1x2 k210k 6
又因为方程有两个实根，所以 0 4k 4,当k 4时，取最大值18
3
2 .已 知 函 数 fx 2 lo g 3x ， x ［ １ ， ９ ］ ，
小 结 ： “ 明 确 定 义 域 ” 是 研 究 函 数 问 题 的 前 提 和 基 础 。
2.（1）函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0的根 函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标
（2）函数F(x)= f(x)－g(x）的零点
方程f(x)＝g(x)的根 函数f(x)与g(x）的图像的交点的横坐标 函数F(x)= f(x)－g(x）的图像与x轴的交
谢 谢！
10．当函数y=sinxcosxsinxcosxa 的图像与x轴有交点时，求实数a的范围.
解 ： 即 方 程 sin x cos x sin x cos x a 0成 立 a sin x cos x sin x cos x 问 题 转 化 为 求 a的 值 域 。
点的横坐标
3.若函数f xax2 (b8)xaab?
当x（－３，２）时，其值为正， 而当x（－，－３）（２，＋ ）时，
其值为负，求ａ，ｂ的值及f x的表达式。
解 : 方 程 a x 2 ( b 8 ) x a a b ＝? ０
的 两 根 是 3和 2,且 a0
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9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
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10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
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11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
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12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。
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13、人生最大的错误是不断担心会犯错。
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14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
所以，m-7 0，m+6ln3-15 0
7 m 15 6 ln 3
9 ．(2007年全国)
已知函数f x x3 x (1)求曲线y f x在点M(t,f (t))处的切线方程。
（2）设a0，如果过点(a,b)可作曲线
y f x的三条切线，
证明：－ａｂ f (ａ)
函数的零点问题
城阳一中数学组 赵伦成
自我回顾：
1.(1)函数的定义，函数三要素：定义域 ，对 应关系，值域。 (2)函数的图像（画图，识图，用图，图像变 换） (3)函数的性质（单调性，奇偶性，周期性） (4)导数(研究函数的单调性，极值，最值等)
1、 已 知 x1， x2是 函 数 y x２ (k－ 2) x (k 2 3k 5)
与 正 半 轴 有 且 仅 有 三 个 交 点
F(x)=x28x6lnxm
F ' (x) 2x2 8x 6 2(x 1)(x 3（) x0)
x
x
令m(x) 2(x 1)(x 3)
由 m ( x )的 图 像 得 到 的 原 函 数 的 草 图 知 ：
F (x)极大值 F(1)=m-7,F (x)极小值 F(3)=m+6ln3-15 因为F(x)的图像与正半轴有三个交点
求 函 数 g ( x ) [f(x ) ] 2 f(x 2 ) 的 值 域 。
解：g(x)[2log3 x]2 2log3 x2 4 4log3 x (log3 x)2＋2＋２log3 x
1 x 9 1 x2 9 函数g(x)的定义域为[1，3]令t log3 x x[1,3]， t [0，1] 原函数等价于g(t)=t2 6t 6,t [0，1]值域为[6，13]
6已 知 f x是 以 2为 周 期 的 偶 函 数 ，
当 x 0, 1时 ， f x x ， 那 么 在 区 间 - 1 , 3 内 ， 关 于 ｘ 的 方 程
f x k x k （1 k R 且 k １ ）
的根的个数（ ） A． 不 可 能 有 三 个 B．最 少 有 一 个 ， 最 多 有 四 个 C． 最 少 有 一 个 ， 最 多 有 三 个 D．最 少 有 二 个 ， 最 多 有 四 个
y2xln(1x)
点
8．已知函数f x x2 8x，gx ６lnxm 问：是否存在实数m使得y f x的图像与y gx
的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出ｍ 的取值范围；若不存在，说明原因。
8解 ： 假 设 函 数 F(x)=gxfx的 图 像
y
0
1
2
x
方法１：由图像知x 1

0， x2
1，x3

2
是方程f x ax3 bx 2 cx d 0的
三 个 根 ， 所 以 得 ： d= 0-----(1)
a+b+c+d=0-----(2)
8a+4b+2c+d=0----(3)
b 3a,由图像知a 0 b 0，选B
１
－１ ０ １ ２ ３
7． 已 知 函 数 f(x)2xln(1x)， 则 方 程 f(x)0在 （ -2， 1） 内 有 没 有 实 数 解 ？ 说 明 理 由 ？
解法１： 解 ： 方 程 2 x ln (1 x ) 0 在 （ - 2 ， 1 ） 内 根 的 个 数 即 y = ln (1 x )与 y 2 x的 图 像 在 （ - 2 ， 1 ） 内 交点的个数
6解 ： 方 程 的 根 的 个 数 ，
即 周 期 函 数 y=f x与 一 次 函 数
y k x k 1的 图 像 在 区 间 [ - 1 , 3 ]内 交 点 的 个 数
一 次 函 数 y k x k 1,即 y 1 k ( x 1) 的 图 像 过 定 点 ( - 1 , 1 ) 又 k １ 由 图 像 知 ， 至 少 有 一 个 交 点 ， 至多有四个交点。
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2、从善如登，从恶如崩。
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3、现在决定未来，知识改变命运。
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4、当你能梦的时候就不要放弃梦。
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5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。
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6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。
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7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
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8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
有 最 大 值 f ( 1 ) 1 ln ( 1 )
2
2
g(x)12x
ln e ln ( 1 ) ln e 0
2
2
又
f ( 2 ) 4 ln 3 0
1
2
f ( 2 ) f ( 1 )0 2
函 数 f ( x )在 （ - 2 ， 1 ） 内 至 少 有 一 个 零
9 解 ： (1） 易 求 切 线 的 方 程 是 ：
y=(3t21)x2t3
（2 ） 如 果 有 一 条 切 线 过 点 (a， b )， 则 存 在 t， 使 b (3t 2 1)a 2t 3 若 过 点 (a， b )可 作 曲 线 y f ( x ) 的三条切线，则关于ｔ的方程 2t3 3at2 a b 0有 三 个 相 异 的 实 数 根 设 g (t ) 2t 3 3a t 2 a b， 则 该 函 数 的 图 像 与 x轴 有 三 个 交 点
g ( 1 ) 0,得 x2； 2
(3 )当 x 2 0 ,即 x 2时 , 一 次 函 数 g(m)为 减 函 数 ， g ( 3 ) 0， 得 x 1 x的 范 围 是 x 2 或 x 1
•
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。
5.设函数y

x3与y


1 2
x2
的
图象的交点为(x0，y0 )，则x0所在的区间
是（ ）
A0,1 B1,2 C2,3 D3,4
答案：B；令g(x)x322x， 可求得：g(0)0,g(1)0,g(2)0,g(3)0,。 易知函数的零点所在区间为(1， 2)。
g '(t) 6t2 6at 6t(t a )(a0)
由 导 函 数 的 图 像 可 得 ：
原 函 数 g (t) 2t3 3at2 a b
的 极 大 值 为 g (0) a b
极 小 值 为 g (a) a3 a b b f (a)
f '( x ) 2 1 1 2 x
1 x
1 x
1 x0
x ( 2 , 1 )时 ， f '( x ) 0 , f ( x )是 增 函 数 2
当 x ( 1 ,1 )时 ， f '( x ) 0 ， f ( x )是 减 函 数 2
函 数 y = 2 x ln (1 x ) 在 （ - 2 ， 1 ） 内
设 s in x c o s x t， t 2， 2
则 sin x cos x t2 1， 2
构
造
二
次
函
数
y

t2 2

t

1， 2
t

由 图 像 可 知 ： 1 y 1 2 2
2， 2
1 1 ． 已 知 f ( t ) lo g 2 t ， t [ 2，8 ]， 对 于 f(t)值 域 内 的 所 有 实 数 m ， 不 等 式 x2 mx 4 2m 4 x恒 成 立 ， 求 x的 取 值 范 围 。
解 ： 易 知 m [ 1 ，3 ]， 2
原 题 转 化 为 ： m (x 2) (x 2)2 0
在 m [ 1 ，3 ] 恒 成 立 2
将 函 数 m (x 2) (x 2)2看 作 关 于 m的 一 次 函 数 (1)当 x 2 0 ,即 x 2 时 ， 不 成 立 ( 2 )当 x 2 0 ,即 x 2时 , 一 次 函 数 g(m)为 增 函 数 ，
因 为 函 数 g (t )的 图 像 与 x 轴 有 三 个 交 点 ,
所
以
，
a b

b f
0， (a)
即 0.

a

b

f (a)
g '(t)
0
a
g (t)
课堂小结
1 .结合“函数的零点” 的相关题目，深化理解了如何 用函数和方程的数学思想解题。
2 .明确了可以用“导数”这个工具刻画原函数的图像。