连州市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

连州市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ． {}
|3003x x x -<<<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ． {}
|303x x x <-<<或
2． 若a=ln2，b=5
，c=
xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）
A ．a ＜b ＜c
B B ．b ＜a ＜c
C C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a 3． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）
A ．k360°+463°
B ．k360°+103°
C ．k360°+257°
D ．k360°﹣257°
4． 已知偶函数f （x ）=log a |x ﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f （a+1）与f （b+2）的大小关系是（ ） A ．f （a+1）≥f （b+2） B ．f （a+1）＞f （b+2） C ．f （a+1）≤f （b+2） D ．f （a+1）＜f （b+2）
5． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平
面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知点P （1，﹣），则它的极坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
8． =（ ） A ．2
B ．4
C ．π
D ．2π
9． 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
内变动 时，的取值范围是（ ）
A ． ()0,1
B ．⎝
C ．()1,3⎫
⎪⎪⎝⎭
D ．(
10．已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（1，+∞）
D ．（2，+∞）
11．在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b c
A B C
++++等于（ ）
A ．
B ．3
C ．3
D ．2
12．等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）
A ．
B 2=AC
B ．A+C=2B
C ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）
D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）
二、填空题
13．
的展开式中
的系数为 （用数字作答)．
14．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．
15．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是 ．
16．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是 ．
17．设p ：∃x ∈使函数有意义，若¬p 为假命题，则t 的取值范围为 ．
18．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]
三、解答题
19．（本小题满分12分）若二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=,
且()01f =.
（1）求()f x 的解析式； （2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．
20．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
C 的左顶点T 为圆心作圆T ：
222(2)x y r ++=（0r >），设圆T 与椭圆C 交于点M 、N ．[_]
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；
（3）设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R S 、（O 为坐标 原点），求证：OR OS ⋅为定值．
【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
21．已知数列{}n a 的前项和公式为2
230n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求n S 的最小值及对应的值.
22．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）
A
B
C
D
23．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．
24．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线24y x 相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
连州市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为()f x 为奇函数且()30f -=，所以()30f =，又因为()f x 在区间()0,+∞上为增函数且()30f =，所以当()0,3x ∈时，()0f x <，当()3,x ∈+∞时，()0f x >，再根据奇函数图象关于原点对称
可知：当()3,0x ∈-时，()0f x >，当(),3x ∈-∞-时，()0f x <，所以满足()0x f x ⋅<的x 的取值范围是：()3,0x ∈-或()0,3x ∈。

故选B 。

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

2． 【答案】C
【解析】解：∵ a=ln2＜lne 即，
b=5=，
c=
xdx=
，
∴a ，b ，c 的大小关系为：b ＜c ＜a ． 故选：C ．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．
3． 【答案】C
【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k ∈Z ） 即：k360°+257°，（k ∈Z ）
故选C
【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．
4． 【答案】B
【解析】解：∵y=log a |x ﹣b|是偶函数 ∴log a |x ﹣b|=log a |﹣x ﹣b| ∴|x ﹣b|=|﹣x ﹣b|
∴x 2﹣2bx+b 2=x 2+2bx+b 2
整理得4bx=0，由于x 不恒为0，故b=0 由此函数变为y=log a |x|
当x ∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，
又偶函数y=log a|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增
故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1
综上得0＜a＜1，b=0
∴a+1＜b+2，而函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减
∴f（a+1）＞f（b+2）
故选B．
5．【答案】D
【解析】
考点：1.线线，线面，面面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题，属于中档题型，多项选择题是容易出错的一个题，当考察线面平行时，需证明平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，一般可构造平行四边形，或是构造三角形的中位线，可证明线线平行，再或是证明面面平行，则线面平行，一般需在选取一点，使直线与直线外一点构成平面证明面面平行，要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，需做辅助线，转化为线面垂直.
6．【答案】C
【解析】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．
再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，
即点P的极坐标为（2，），
故选C．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
7．【答案】B
【解析】解：设圆柱的高为h，则
V 圆柱=π×12×h=h ，V 球==，
∴h=
．
故选：B ．
8． 【答案】A
【解析】解：∵（﹣cosx ﹣sinx ）′=sinx ﹣cosx ，
∴
==2．
故选A ．
9． 【答案】C 【解析】1111]
试题分析：由直线方程1:L y x =，可得直线的倾斜角为0
45α=，又因为这两条直线的夹角在0,
12π⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以直线2:0L ax y -=的倾斜角的取值范围是0
3060α<<且0
45α≠，所以直线的斜率为
00tan30tan 60a <<且0tan 45α≠1a <<或1a << C. 考点：直线的倾斜角与斜率. 10．【答案】C
【解析】解：令F （x ）=，（x ＞0），
则F ′（x ）=
，
∵f （x ）＞xf ′（x ），∴F ′（x ）＜0， ∴F （x ）为定义域上的减函数，
由不等式x 2
f （）﹣f （x ）＞0，
得：＞，
∴＜x ，∴x ＞1， 故选：C ．
11．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积011sin sin 6022S bc A bc =
===4bc =，又1b =，所
以4c =，又由余弦定理，可得222220
2cos 14214cos6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =
sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++B ． 考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=++是解答的关键，属于中档试题．
12．【答案】C 【解析】解：若公比q=1，则B ，C 成立；
故排除A ，D ； 若公比q ≠1，
则A=S n =，B=S 2n =
，C=S 3n =
，
B （B ﹣A ）=（﹣）=
（1﹣q n
）（1﹣q n
）（1+q n
）
A （C ﹣A ）=
（
﹣）=
（1﹣q n ）（1﹣q n ）（1+q n
）；
故B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）；
故选：C ．
【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．
二、填空题
13．【答案】20
【解析】【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．
所以系数为：
故答案为：
14．【答案】2：1．
【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r，
所以圆锥的侧面积为：=πrl
圆柱的侧面积为：2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1
故答案为：2：1
15．【答案】（，+∞）．
【解析】解：由题意，a＞1．
故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，
由f′（x）=0，得x=log a（log a e），
x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=log a（log a e）时，函数f（x）取到最小值，
故有﹣log a（log a e）＞0，解得a＞．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．16．【答案】（﹣1，1]．
【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：
由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．
故答案为：（﹣1，1]
17．【答案】 ．
【解析】解：若￢P 为假命题，则p 为真命题．不等式tx 2+2x ﹣2＞0有属于（1，）的解，即有
属于（1，）的解，
又时，，所以．
故t ＞﹣．
故答案为t ＞﹣．
18．【答案】[]1,1-
【解析】
考
点：函数的定义域.
三、解答题
19．【答案】（1）()2
=+1f x x x -；（2）1m <-． 【解析】
试题分析：（1）根据二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=，利用多项式相等，即可求解,a b 的值，得到函数的解析式；（2）由[]()1,1,x f x m ∈->恒成立，转化为2
31m x x <-+，设()2g 31x x x =-+，只需()min m g x <，即可而求解实数m 的取值范围． 试题解析：（1） ()()2
0f x ax bx c a =++≠ 满足()01,1f c == ()()()()2212,112f x f x x a x b x ax bx x +-=+++--=，解得1,1a b ==-,
故()2
=+1f x x x -.
考点：函数的解析式；函数的恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题，其中解答中涉及到一元二次函数的性质、
多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键.
20．【答案】
【解析】（1）依题意，得2a =
，c e a == 1,322=-==∴c a b c ；
故椭圆C 的方程为2
214x y += ． （3分）
（3）设),(00y x P 由题意知：01x x ≠，01y y ≠±. 直线MP 的方程为),(01
0100x x x x y y y y ---=
- 令0=y 得101001y y y x y x x R --=,同理：101001y y y x y x x S ++=， ∴212021
202021y y y x y x x x S R --=⋅. （10分）
又点P M ,在椭圆上，故
)1(4),1(421212020y x y x -=-=， ∴4)(4)1(4)1(421202*********
202021=--=----=y y y y y y y y y y x x S R ，
4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅==， 即OR OS ⋅为定值４.
（13分） 21．【答案】（1）432n a n =-；（2）当7n =或时，n S 最小，且最小值为78112S S =-. 【解析】
试题分析：（1）根据数列的项n a 和数列的和n S 之间的关系，即可求解数列{}n a 的通项公式n a ；（2）由（1）中的通项公式，可得1270a a a <<
<<，80a =，当9n ≥时，0n a >，即可得出结论．1 试题解析：（1）∵2230n S n n =-， ∴当1n =时，1128a S ==-.
当2n ≥时，221(230)[2(1)30(1)]432n n n a S S n n n n n -=-=-----=-.
∴432n a n =-，n N +∈.
（2）∵432n a n =-，
∴1270a a a <<<，80a =，
当9n ≥时，0n a >.
∴当7n =或8时，n S 最小，且最小值为78112S S =-. 考点：等差数列的通项公式及其应用．
22．【答案】C
【解析】
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）
=lnx ﹣x+，
∴f （1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f ′（
x ）=
﹣1
﹣
=，
∴f ′（1）=﹣2，
∴切线方程为y ﹣1=﹣2（x ﹣1），
即2x+y ﹣3=0；
（Ⅱ）f （x ）的定义域是（0，+∞），
f ′（x ）=，
若函数y=f （x ）在定义域内存在两个极值点，
则g （x ）=ax 2﹣x+2在（0，+∞）2个解， 故，
解得：0＜a ＜．
24．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2 ，进而得1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,4,my x y x =-⎧⎨
=⎩
得2480y my --=，∴128y y =-，
因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点112(
,)22
x y E +，AC =，
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ===E 点到直线x a =的距离12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题.。