应用概率统计课件 ch4_数字特征

若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于
3 1 200 0 150(元 ). 4 4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
引例2 选拔运动员
二、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出 数学期望 E(X) X 数学期望

EX
f(X)
E f X
E X
k 1
xk pk

xp x dx
f是连续函数, f(X) 是随机 变量, 如: aX+b, X2等等.
一维随机变量函数数学期望的计算 定理1 设X是一个随机变量, Y g(X), 则 g xk pk , X 为离散型 k 1 E Y E g X g x f x dx , X 为连续型 当X为离散型时, P(Xxk) pk , (k 1,2,…); 当X为连续型时, X的密度函数为f(x). 求E[g(X)]时, 只需 知道X的分布即可.
则有 E X

k 0 n
k PX k
k 0 k k n k k C p 1 p n
n
kn! p k 1 p n k k!n k ! k 0
n
npn 1! p k 1 1 p n 1 k 1 k 1!n 1 k 1! k 1
n
n 1! n 1 k 1 k 1 np p 1 p k 1!n 1 k 1! k 1
n
np p 1 p k 1
np 同时可得两点分布B1, p的数学期望为 p.
例2 (泊松分布) 设随机变量 X P(), 求EX.
E X
ab 2
正态分布
f x
1 e 2 π
x 2
2 2

1 λ
指数分布
e x , x 0 f x x0 0,
6. 数学期望不存在的实例
例7
设随机变量X的分布律为 1 P X n , n 1,2,, n n 1
性质2 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证 E CX Cxk pk C xk pk CE X .
k k
性质3 设 X、Y 是两个随机变量, 则有
E X Y E X E Y .
性质4 设 X、Y是相互独立的随机变量, 则有 E XY E X E Y . 证


5. 常见连续型随机变量的数学期望
例4 (均匀分布) 设随机变量X服从均匀分布, 求E(X). 解 设X ~ U a, b , 其分布密度函数为
1 f x b a 0 a x b, 其它.
b
则有
E X xf x dx
引例3 加权平均成绩
设某学生四年大学各门功课 成绩分别为 x1 , x2 ,, xn , 其学分分别为 ω1 ,ω2 ,, ωn , 则称
n x1 x2 xn 1 x xi n n i 1
为该生各门课程的算术平均成绩.
而
xω
xi
i 1
设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下:
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
因而泊松分布P的数学期望为 .
例3 (几何分布)设随机变量X 服从几何分布, 求E(X). 解 设随机变量X 的分布律为 PX k q k 1 p, q 1 p; k 1,2,,0 p 1 . 则有

k 1 k 1 k E X k q p p k q p q k 1 k 1 k 1
引例1 分赌本问题(产生背景) A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA A胜B负 A胜B负 AB A胜B负 B胜A负 BA B胜A负 A胜B负 BB B胜A负 B胜A负
PX xk pk , k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1


记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .

注1º EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. 注2º 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求

e x , f x 0,
x 0, x 0.
其中 0,


0
x λe λx d x

λx xe 0

λx e dx 0
1 . λ
常见连续型分布的数学期望小结
分布名称
均匀分布
概率密度
1 , x [ a, b] f x b a 其他 0,


a
1 xdx 1 b a . 2 ba
因而均匀分布数学期望位于区间的中点.
例5 (正态分布) 设随机变量 X ~ N ( μ, σ 2 ), 求EX.
解 设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其密度函数
1 f x e 2 π
则有
x 2
2 2
解 设X P λ , 且其分布律为
λk - λ P X k e , k 0,1,2,, λ 0. k!
则有
k 1 λ E X k e e- λ λ k 1! k! k 0 k 1
k

λe e λ .
λ λ
求证: 随机变量X没有数学期望.
证 由定义, 数学期望应为
1 E X npn . n1 n 1 n 1
由微积分学可知, 右边的级数发散. 因此, 随机变量X 没有数学期望.


例8 (柯西分布) 设随机变量X服从柯西分布, 求EX. 解 因X服从柯西分布, 则其密度函数为 1 f x , 2 π 1 x 由于
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
8 8 9 9 10 10
甲射手 乙射手
击中环数 击中环数 概率 概率
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 0..3 2 0 0..1 5 0 0..6 3
1
p
1 q
2
1 1 p 2 . p p

k 1 k kx x 这是因为 k 1 k 1



1 1 . x 1 1 x
常见离散型分布的数学期望小结
分布
01 分布
X~B(1, p)
分布律
P{ X k } p k (1 p)1 k
k0,1
k k P{ X k } C n p (1 p)n k
E(X)
p np

二项分布
X~B(n, p)
k0,1,2,…,n
λk λ , k0,1,2,… P X k e k!
泊松分布 X ~ P λ 几何分布
PX k (1 p)k 1 p

x
π 1 x

1
2

dx

0
π 1 x2

1
1 2 ln x 1 π 0
因而其数学期望E(X)不存在.


d 1 x2



§2 数学期望的性质 一、性质
性质1 设C是常数, 则有ECC. 证
E X E C 1 C C . E CX CE X .
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望、方差的概念
二、常用分布的数学期望、方差 三、数学期望、方差的性质
四、应用实例
停 下 回
§1
数学期望
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望
k1,2,…
1 p
4. 连续型随机变量数学期望的定义 定义2 设连续型随机变量X 的分布密度为

fx, 若积分 xf x dx 绝对收敛 , 即
则称积分





x f x dx ,

xf x dx 的值为随机变量X 的
数学期望, 记为EX, 即
E X xf x dx.
是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的
平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
3. 常见离散型随机变量的数学期望
例1 (二项分布) 设随机变量X~Bn, p, 求EX. 解 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
k k PX k Cn p 1 p n k , 0 p 1, k 0,1,2,, n.
E XY



xyf x, y dxdy
E X E Y .
xf X x dx y fY y dy





xy f X x f Y y dxdy

注 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机 变量数学期望的性质类似. 上述证明只证了一类.
n
ωj
j 1
n
ωi
xi vi , 其中 vi ωi ω j , i 1 j 1
n
n
则称 xω为该生的加权平均成绩.
显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种 1 特例, 即 vi , 可见加权平均才充分的体现了 n 平均值的意义.
2. 离散型随机变量的数学期望 通过上述3个引例, 我们可以给出如下定义 定义1 设离散型随机变量 X的分布律为
dx
1 μ σt 2π
t2 e 2 dt
1 μ 2π μ.
t2 2 e dt
σ 2π
t2 te 2 d t
因而参数 μ为正态分布的数学期望.
例6 (指数分布) 设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
求EX. 解 E X xf x d x
把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局: 前三局: 后二局: A胜2局B胜1局 AA
AB
A胜
BA
BB B胜
故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的 可能性大小之比为 3:1. 1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 . 4 4 因此, A 能“期望”得到的数目应 为 3 1 200 0 150(元 ), 4 4 而B 能“期望”得到的数目, 则为 1 3 200 0 50(元). 4 4
, 0, x .
E X xf x dx





1 x e 2πσ
x μ 2
2σ 2
dx
x μ 令 t x μ σt σ
所以 E X


1 x e 2πσ
x μ 2
2σ 2