2013年北京市大兴区高三数学一模理科试题和答案

是

否 结束

开始

s =1,i =1

(2)i s s =+-

1i i =+

输入n

输出s

i n ≤?

北京市大兴区2013年高三一摸练习

数学（理科）

一、选择题

（1）复数2(1i)-的值是

（A ）2 （B ）2- （C ）2i （D ）2i -

（2）若集合{|2}-==x

M y y ，{|1}==

-P y y x ，则M P =

(A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y (C)}0|{>y y

(D)}0|{≥y y

（3）执行如图所示的程序框图．若5n =，则输出s 的值是 （A ）-21 （B ） 11 （C ）43 （D ） 86

(4)双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于

（A ）14 （B ）1

2

（C ）2 （D ）4

(5)已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 （A ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （B ）若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥n （C ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （D ）若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥．

(6)函数21cos ()cos x

f x x

-=

（A ）在ππ(,)22-

上递增 （B ）在π(,0]2-上递增，在π

(0,)2上递减 （C ）在ππ(,)22-上递减 （D ）在π(,0]2-上递减，在π

(0,)2

上递增

（7）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程2

20x x a b -++=有实数根的概率是

（A ）

14 （B ） 3

4

（C ）3π2

4π

+ （D ）π24π-

（8）抛物线2(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是

（A ）1 （B ）8 （C ）82 （D ）162 二、填空题

（9）函数f x x x

()s i nc o s 的最大值是 。 （10）已知直线y kx =与曲线42cos ()2sin x y q

q q

ì=+ïïí

ï=ïî为参数有且仅有一个公共点，则k = （11）已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点， 则()AE AF AC +?等于 ．

（12）设5260126(1)(12)-+=+++鬃

?x x a a x a x a x ，则2a = 。 （13）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂足为F ．若6AB =，5CF CB

?，则AE = 。

（14）已知函数12,02

()122,12x x f x x x ìïïïï=íïï-<ïïïî

≤≤≤，定义

1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x -=，(2n ≥,n *ÎN )．把满足()n f x x =（[]0,1x Î）的

x 的个数称为函数()f x 的“n -周期点”．则()f x 的2-周期点是 ；n -周期点是 ．

三、解答题

(15)（本小题满分13分）

在∆A B C 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3

cos 5

=A ，π4B =，2b =

．

(Ⅰ)求a 的值；

(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积． (16)（本小题满分13分）

期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表： 学生 1A

2A

3A

4A

5A

数学 89 91 93 95 97 物理

87

89

89

92

93

（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。

（1）从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X)的值．

(17)（本小题满分13分）

如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：A 1B //平面ADC 1；

（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．

(18)（本小题满分14分） 已知函数2

()=

(1)x a

f x x --，(1,)x ??．

(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)+?上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

19.（本小题满分14分）

已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为1

4

，点P 的轨迹为曲线C 。

(Ⅰ)求曲线C 的方程；

(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。求证，A 、D 、N 三点共线。

(20)（本小题满分13分）

已知数列}{n a 的各项均为正整数，且12n a a a <<

<，

设集合1

{|101}1，，或，或（

≤≤）n

k i i

i

i

i

i A x x a k n λλλλ===

=-==∑。 性质1 若对于k x A ∀∈，存在唯一一组i λ（1,2,，i k =⋅⋅⋅）使1

k

i i i x a λ==∑成立，则称数列}

{n a 为完备数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完备数列。

性质2 若记1（1≤≤）k

k i i m a k n

==∑，且对于任意≤k x m ，x ∈Z ，都有k x A ∈成立，则称数列}{n a 为完整数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完整数列。

性质3 若数列}{n a 同时具有性质1及性质2，则称此数列}{n a 为完美数列，当k 取最大值时}{n a 称为k 阶完美数列；

（Ⅰ）若数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ，求集合2A ，并指出}{n a 分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

（Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为1

10-=n n a ，求证：数列}{n a 为n 阶完备数列，并求出集

合n A 中所有元素的和n S 。

（Ⅲ）若数列}{n a 为n 阶完美数列，求数列}{n a 的通项公式。