5.3 刚体绕定轴转动的动能定理 角动量 角动量守恒定理
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1 1
2
2
(2) 内力矩作功之和为零。 dA Md M (3) 力矩的功率 P dt dt
i
i
i
5.3.3 刚体定轴转动的动能定理—— 合力矩功的效果 设在合外力矩M的作用下 d J d Jd dA Md dt 1 2 (刚体绕定轴转动动能定理的微分形式) dA d J 2 当刚体角速度从t1时刻的ω1改变为t2时刻的ω2时,合外力 矩对刚体所作的功为
A
2
1
1 2 d Md J 1 2
2
1 2 1 2 A J2 J1 (刚体绕定轴转动的动能定理) 2 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体始、末两个状 态转动动能的增量。
5.3.4 刚体的重力势能 以xOy 平面为重力势能零参考面 E pi mi gzi 对刚体中所有质点的势能求和
对含有刚体的力学系统,机械能守恒条件不变
1 定轴转动刚体的机械能: 转动动能、重力势能. E J 2 mghC 2
例 一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平 面内转动,初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
1 解 M mglcos 2
由动能定理
•
d
ri
r' i dr i
Fi
O
Fi ri sin d 所以 dAi M i d
A Md
1 2
P
( 积分形式 ) 若 M = C
A M ( 2 1 )
2
1
说明
(1) 合力矩的功 A Md ( M i )d M i d Ai
讨论
ri P i
与质点的动能相比较,也可看出转动惯量J的地位对应于质 点的质量,是转动惯性大小的量度。
5.3.2 力矩的功 (力矩的功就是力的功) 力的累积过程——力矩的空间累积效应 功的定义(力F在转动平面内)
dAi Fi dri Fi | dri | cos Firi cos d
r r sin 2S
L
S dS L 2m lim 2m t 0 t dt
dS 1 L =常量 dt 2m
S r sin
r
r
v
刚体定轴转动习题课 习题册P25 2、哈雷慧星绕太阳的运动轨道为一椭圆,太阳位于椭 圆轨道的一个焦点上,它离太阳最近的距离是 r1= 8.75×1010m,此时的速率是v1=5.46×104m/s,在离太 阳最远的位置上的速率是v2=9.08×102m/s,此时它离 太阳的距离是 r2 5.26 1012 m 解:角动量守恒 mr1v1 mr2v2
求 它由此下摆 角时的 解 系统机械能守恒(棒、地球)。 重力势能零点:取细杆的水平位置.
O
m
l
则有
1 2 l J mg sin 0 2 2
C
mg
由此解得
3g sin l
例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上,转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮,绳的一端缠绕 在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时,由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h,所用时间为t, 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
不可伸缩,绳子、各滑轮的质量及 轮轴处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析(机械能): Ek 1 0
Ek 2 mv 2 / 2 J Z 2 / 2 v 2 (mr 2 J Z ) / (2r 2 )
EP1 mgh ,
EP 2 0
机械能守恒
2 v mgh 2 (mr 2 J Z ) 2r mg dh 2v dv 1 2 (mr 2 J Z ) dt dt 2r
i i
L2 M 外 d t dL L2 L1 L L1
M z dt dLz
质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量
2
R 4 解:角动量守恒 mR m 2 2 1 R 2 1 动能定理 A m mR2 2 2 2 2 3 2 2 mR 2
5.4.3 刚体绕定轴转动的角动量定理
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
m1
1. 质点系的角动量
力 F 对z 轴的力矩(力不在垂直于轴的平面内) h
z
r
F//
F
M Z r F
A
F
• 在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向(r →F右手螺旋)
刚体定轴转动定律
Mz Jz
J mi ri
i
2
转动惯量
2
对质量离散分布的质点系 J mi ri
dh dv v, a dt dt
mgr 2 常量 a 2 mr J Z
2 mgr h 1 at 2 1 2 t2 2 2 mr J Z
2 gt J Z mr 2 ( 1) 2h
若滑轮质量不可忽略,怎样?
§5.4 质点的角动量定理与角动量守恒定律
主要内容:
1. 质点的角动量 2. 质点的角动量定理 3. 质点的角动量守恒定律 4. 刚体绕定轴转动的角动量定理与角动量守恒定律
z
mi C P zi z
E p mi gzi g mi zi C O y mi zi x (mg ) m mgzC E p mghC 若以hC表示质心到零势能面的高度,则
刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同。 结论:
5.3.5 含有刚体的力学系统的机械能 当 A外 + A非保内 = 0 时,有 E Ek E p 恒量 (机械能守恒定律)
要点回顾
刚体转动的角速度矢量 k d d k k 角加速度矢量 dt dt
速度与角速度的矢量关系式
d r v ω r dt
z
ω,
加速度与角加速度的矢量关系式 dv d(ω r ) dω dr a r ω dt dt dt dt
A
1
v d2 d3
B
C
2. 质点的角动量定理 角动量的定义
d L d r d( m v ) 两边对时间求导 mv r r F dt dt dt
则
L r mv
=0
dL M dt
(角动量定理)
质点所受的合力矩等于角动量对时间的变化率
r
F
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
例、证明关于行星运动的开普勒第二定律:行星对太阳的矢径 在相等的时间内扫过的面积相等。 M0 解: r F L r mv 常矢量
r r sin dr L rmv sin mr sin m lim t 0 dt t
质点系对参考点O 的角动量
i i
LO LO i ri miv i
(所有质点的角动量之和)
v2 m2 v4 m3 v3
M 外dt dL
积分形式
v1 m4
2. 质点系的角动量定理
O
微分形式
M i dt dLi
t2 t1
M idt dLi
5.4.1 质点的角动量(动量矩)
设t 时刻质点的位矢 r
质点的动量
p mv
L r p r mv
讨论
运动质点对O点的角动量:
mv
m
r
O
角动量大小: 角动量的方向:
L rpsin mvrsin
位矢 r 和动量 mv 的矢积方向。
O
m
l
x
C
mg
l A Md mgcosd 0 0 2 1 2 lmg 1 2 sin 0 J 0 J ml 3 2 2 3gsin 3gsin 1 / 2 2 ( ) l l
此题也可用机械能守恒定律方便求解
百度文库
例 一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕 水平光滑轴O 在 竖直平面内转动,初始时它在水平位置.
i
对质量连续分布的刚体
J r 2 dm
J z r F z
平行轴定理
z' d
z m C
J z ' J zC md
2
习题册P28 4.刚体定轴转动习题课 一半径为R=0.30 m,质量为M=15 kg, 质量均匀分布的圆柱体,可绕与其几何轴重合的水平固 定轴转动。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面,而在绳的 下端悬一质量m=8.0 kg的物体。不计圆柱体与轴之间 的摩擦,求物体自静止下落,5 s内下降的距离。 解:受力分析如图 R mg T ma (1) oM 解得: M Z r F Z J T
1 TR MR 2 2 (2)
T T ( 3)
mgt h 2m M
63.2( m )
2
T
a R (4)
1 2 h at (5) 2
m mg
§5.3 刚体绕定轴转动的动能定理
主要内容:
1. 刚体绕定轴转动的转动动能 2. 力矩的功 3. 刚体绕定轴转动的动能定理 4. 刚体的重力势能 5. 含有刚体的力学系统的机械能守恒定律
v1 r2 r1 5.26 1012 m v2
刚体定轴转动习题课 4.如图,质量为 m的小球,拴于不 可伸长的轻绳上,在光滑水平桌面 上作匀速圆周运动,其半径为R, m 角速度为ω,绳的另一端通过光滑 的竖直管用手拉住,如把绳向下拉 F R/2时角速度ω′= 4 3 2 2 A mR 在此过程中,手对绳所作的功为 2 2
如果对于某一固定点O,质点所受的合力矩为零,则此 质点对该固定点的角动量保持不变。
讨论 M r F
当合力 F 0 时,M 0 ,质点的角动量守恒。 力的作用线始终通过一固定点(力心), 对力心的力矩为零。 质点在有心力作用下运动,角动量守恒。
L r p r mv L rpsin rmvsin = 常量
L mvr
质点绕圆心作圆周运动时
同一个运动质点对不同参考点的角动量是不相同的。
习题册P25 (1) 1、如图示,一质量为m的质点自由落下的过程 中某时刻具有速度V,此时它相对于A、B、C 三个参考点的距离分别为d1、d2、d3则质点对 这三个参考点的角动量的大小, LA= mvd 1 LB= mvd 1 LC= 0 作用在质点上的重力对这三个点的力矩大小 MA= m gd1 MB= mgd 1 MC= 0 d
如图质量为m的小球拴于不可伸长的轻绳上在光滑水平桌面上作匀速圆周运动其半径为r角速度为绳的另一端通过光滑的竖直管用手拉住如把绳向下拉r2时角速度在此过程中手对绳所作的功为543543刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系对参考点o的角动量积分形式质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量说明质点系的内力矩不能改变质点系的角动量所有质点的角动量之和质点系角动量守恒定律对质点系角动量定理积分形式定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量角动量定理微分形式证明
O
刚体
r
P
v
β r ω v an v aτ r
力矩
• 力 • 力矩
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力 F 对z 轴的力矩(力在垂直于轴的平面内)
MZ r F
5.3.1 刚体绕定轴转动的转动动能
在刚体上任取一质点Pi 质点Pi的动能为 1 1 2 Eki miv i mi ri 2 2 2 2 对刚体上所有质点的动能求和
z
mi
O
2 1 2 2 2 m r Ek mi ri i i 2 2 i i 1 2 Ek J (刚体绕定轴转动的转动动能) 2
微分形式
Mdt dL
(Mdt 为冲量矩)
2 1
积分形式
t2
t1
t Mdt L2 L1 ( t Mdt 为冲量矩)
力矩是使角动量发生变化的原因!!!
3. 角动量守恒定律
Mdt dL
L r mv 常矢量
若 M 0 L L 0 ,则 2 1
2
2
(2) 内力矩作功之和为零。 dA Md M (3) 力矩的功率 P dt dt
i
i
i
5.3.3 刚体定轴转动的动能定理—— 合力矩功的效果 设在合外力矩M的作用下 d J d Jd dA Md dt 1 2 (刚体绕定轴转动动能定理的微分形式) dA d J 2 当刚体角速度从t1时刻的ω1改变为t2时刻的ω2时,合外力 矩对刚体所作的功为
A
2
1
1 2 d Md J 1 2
2
1 2 1 2 A J2 J1 (刚体绕定轴转动的动能定理) 2 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体始、末两个状 态转动动能的增量。
5.3.4 刚体的重力势能 以xOy 平面为重力势能零参考面 E pi mi gzi 对刚体中所有质点的势能求和
对含有刚体的力学系统,机械能守恒条件不变
1 定轴转动刚体的机械能: 转动动能、重力势能. E J 2 mghC 2
例 一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平 面内转动,初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
1 解 M mglcos 2
由动能定理
•
d
ri
r' i dr i
Fi
O
Fi ri sin d 所以 dAi M i d
A Md
1 2
P
( 积分形式 ) 若 M = C
A M ( 2 1 )
2
1
说明
(1) 合力矩的功 A Md ( M i )d M i d Ai
讨论
ri P i
与质点的动能相比较,也可看出转动惯量J的地位对应于质 点的质量,是转动惯性大小的量度。
5.3.2 力矩的功 (力矩的功就是力的功) 力的累积过程——力矩的空间累积效应 功的定义(力F在转动平面内)
dAi Fi dri Fi | dri | cos Firi cos d
r r sin 2S
L
S dS L 2m lim 2m t 0 t dt
dS 1 L =常量 dt 2m
S r sin
r
r
v
刚体定轴转动习题课 习题册P25 2、哈雷慧星绕太阳的运动轨道为一椭圆,太阳位于椭 圆轨道的一个焦点上,它离太阳最近的距离是 r1= 8.75×1010m,此时的速率是v1=5.46×104m/s,在离太 阳最远的位置上的速率是v2=9.08×102m/s,此时它离 太阳的距离是 r2 5.26 1012 m 解:角动量守恒 mr1v1 mr2v2
求 它由此下摆 角时的 解 系统机械能守恒(棒、地球)。 重力势能零点:取细杆的水平位置.
O
m
l
则有
1 2 l J mg sin 0 2 2
C
mg
由此解得
3g sin l
例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上,转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮,绳的一端缠绕 在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时,由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h,所用时间为t, 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
不可伸缩,绳子、各滑轮的质量及 轮轴处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析(机械能): Ek 1 0
Ek 2 mv 2 / 2 J Z 2 / 2 v 2 (mr 2 J Z ) / (2r 2 )
EP1 mgh ,
EP 2 0
机械能守恒
2 v mgh 2 (mr 2 J Z ) 2r mg dh 2v dv 1 2 (mr 2 J Z ) dt dt 2r
i i
L2 M 外 d t dL L2 L1 L L1
M z dt dLz
质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量
2
R 4 解:角动量守恒 mR m 2 2 1 R 2 1 动能定理 A m mR2 2 2 2 2 3 2 2 mR 2
5.4.3 刚体绕定轴转动的角动量定理
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
m1
1. 质点系的角动量
力 F 对z 轴的力矩(力不在垂直于轴的平面内) h
z
r
F//
F
M Z r F
A
F
• 在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向(r →F右手螺旋)
刚体定轴转动定律
Mz Jz
J mi ri
i
2
转动惯量
2
对质量离散分布的质点系 J mi ri
dh dv v, a dt dt
mgr 2 常量 a 2 mr J Z
2 mgr h 1 at 2 1 2 t2 2 2 mr J Z
2 gt J Z mr 2 ( 1) 2h
若滑轮质量不可忽略,怎样?
§5.4 质点的角动量定理与角动量守恒定律
主要内容:
1. 质点的角动量 2. 质点的角动量定理 3. 质点的角动量守恒定律 4. 刚体绕定轴转动的角动量定理与角动量守恒定律
z
mi C P zi z
E p mi gzi g mi zi C O y mi zi x (mg ) m mgzC E p mghC 若以hC表示质心到零势能面的高度,则
刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同。 结论:
5.3.5 含有刚体的力学系统的机械能 当 A外 + A非保内 = 0 时,有 E Ek E p 恒量 (机械能守恒定律)
要点回顾
刚体转动的角速度矢量 k d d k k 角加速度矢量 dt dt
速度与角速度的矢量关系式
d r v ω r dt
z
ω,
加速度与角加速度的矢量关系式 dv d(ω r ) dω dr a r ω dt dt dt dt
A
1
v d2 d3
B
C
2. 质点的角动量定理 角动量的定义
d L d r d( m v ) 两边对时间求导 mv r r F dt dt dt
则
L r mv
=0
dL M dt
(角动量定理)
质点所受的合力矩等于角动量对时间的变化率
r
F
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
例、证明关于行星运动的开普勒第二定律:行星对太阳的矢径 在相等的时间内扫过的面积相等。 M0 解: r F L r mv 常矢量
r r sin dr L rmv sin mr sin m lim t 0 dt t
质点系对参考点O 的角动量
i i
LO LO i ri miv i
(所有质点的角动量之和)
v2 m2 v4 m3 v3
M 外dt dL
积分形式
v1 m4
2. 质点系的角动量定理
O
微分形式
M i dt dLi
t2 t1
M idt dLi
5.4.1 质点的角动量(动量矩)
设t 时刻质点的位矢 r
质点的动量
p mv
L r p r mv
讨论
运动质点对O点的角动量:
mv
m
r
O
角动量大小: 角动量的方向:
L rpsin mvrsin
位矢 r 和动量 mv 的矢积方向。
O
m
l
x
C
mg
l A Md mgcosd 0 0 2 1 2 lmg 1 2 sin 0 J 0 J ml 3 2 2 3gsin 3gsin 1 / 2 2 ( ) l l
此题也可用机械能守恒定律方便求解
百度文库
例 一根长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒,可绕 水平光滑轴O 在 竖直平面内转动,初始时它在水平位置.
i
对质量连续分布的刚体
J r 2 dm
J z r F z
平行轴定理
z' d
z m C
J z ' J zC md
2
习题册P28 4.刚体定轴转动习题课 一半径为R=0.30 m,质量为M=15 kg, 质量均匀分布的圆柱体,可绕与其几何轴重合的水平固 定轴转动。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面,而在绳的 下端悬一质量m=8.0 kg的物体。不计圆柱体与轴之间 的摩擦,求物体自静止下落,5 s内下降的距离。 解:受力分析如图 R mg T ma (1) oM 解得: M Z r F Z J T
1 TR MR 2 2 (2)
T T ( 3)
mgt h 2m M
63.2( m )
2
T
a R (4)
1 2 h at (5) 2
m mg
§5.3 刚体绕定轴转动的动能定理
主要内容:
1. 刚体绕定轴转动的转动动能 2. 力矩的功 3. 刚体绕定轴转动的动能定理 4. 刚体的重力势能 5. 含有刚体的力学系统的机械能守恒定律
v1 r2 r1 5.26 1012 m v2
刚体定轴转动习题课 4.如图,质量为 m的小球,拴于不 可伸长的轻绳上,在光滑水平桌面 上作匀速圆周运动,其半径为R, m 角速度为ω,绳的另一端通过光滑 的竖直管用手拉住,如把绳向下拉 F R/2时角速度ω′= 4 3 2 2 A mR 在此过程中,手对绳所作的功为 2 2
如果对于某一固定点O,质点所受的合力矩为零,则此 质点对该固定点的角动量保持不变。
讨论 M r F
当合力 F 0 时,M 0 ,质点的角动量守恒。 力的作用线始终通过一固定点(力心), 对力心的力矩为零。 质点在有心力作用下运动,角动量守恒。
L r p r mv L rpsin rmvsin = 常量
L mvr
质点绕圆心作圆周运动时
同一个运动质点对不同参考点的角动量是不相同的。
习题册P25 (1) 1、如图示,一质量为m的质点自由落下的过程 中某时刻具有速度V,此时它相对于A、B、C 三个参考点的距离分别为d1、d2、d3则质点对 这三个参考点的角动量的大小, LA= mvd 1 LB= mvd 1 LC= 0 作用在质点上的重力对这三个点的力矩大小 MA= m gd1 MB= mgd 1 MC= 0 d
如图质量为m的小球拴于不可伸长的轻绳上在光滑水平桌面上作匀速圆周运动其半径为r角速度为绳的另一端通过光滑的竖直管用手拉住如把绳向下拉r2时角速度在此过程中手对绳所作的功为543543刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系对参考点o的角动量积分形式质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量说明质点系的内力矩不能改变质点系的角动量所有质点的角动量之和质点系角动量守恒定律对质点系角动量定理积分形式定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量角动量定理微分形式证明
O
刚体
r
P
v
β r ω v an v aτ r
力矩
• 力 • 力矩
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力 F 对z 轴的力矩(力在垂直于轴的平面内)
MZ r F
5.3.1 刚体绕定轴转动的转动动能
在刚体上任取一质点Pi 质点Pi的动能为 1 1 2 Eki miv i mi ri 2 2 2 2 对刚体上所有质点的动能求和
z
mi
O
2 1 2 2 2 m r Ek mi ri i i 2 2 i i 1 2 Ek J (刚体绕定轴转动的转动动能) 2
微分形式
Mdt dL
(Mdt 为冲量矩)
2 1
积分形式
t2
t1
t Mdt L2 L1 ( t Mdt 为冲量矩)
力矩是使角动量发生变化的原因!!!
3. 角动量守恒定律
Mdt dL
L r mv 常矢量
若 M 0 L L 0 ,则 2 1