高中数学复习 基本不等式

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感悟提升
利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范 围)内求解.
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训练3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获 得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x
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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
考试要求
1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式ຫໍສະໝຸດ Baidu决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.
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目录
CONTENTS
01 知识诊断自测 02 考点聚焦突破 03 课时分层精练
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1
知识诊断自测
ZHISHIZHENDUANZICE
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3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小 值___2__P___. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最 大值___14_S__2 __.
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常用结论与微点提醒
1.ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使
2 4.
当且仅当 2x2＝1－2x2，即 x＝12时等号成立.
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(2)(2024·烟台质检)当 x>0 时，x23＋x 4的最大值为___34_____.
解析
当 x>0 时，x23＋x 4＝x＋3 4x≤2
3 4＝43，当且仅当 x＝x4， x·x
即 x＝2 时等号成立，即x23＋x 4的最大值为34.
5x·y≤5x＋y，
所以
x＋x＋y5y2＝x＋5yx＋＋2y
5xy≤x＋5xy＋＋5yx＋y＝6，
当且仅当 y＝5x 时，等号成立，
所以 x＋x＋y5y的最大值为 6，所以 k≥ 6，即 k 的最小值为 6.
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(2)(2024·佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m 恒成立，则实数m的取值范围是___[_－__2_，__8_] __. 解析 因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0， 所以 xy＝4x＋y≥2 4xy＝4 xy， 即 xy≥4⇒xy≥16， 当且仅当y＝4x时等号成立， 由xy≥m2－6m恒成立， 可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8.
量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值.
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训练 1 (1)已知 x>0，y>0，且 4x＋2y－xy＝0，则 2x＋y 的最小值为( A )
A.16
B.8＋4 2
C.12
D.6＋4 2
解析 由题意可知2x＋4y＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)2x＋4y＝8yx＋2xy＋8≥2 当且仅当8yx＝2xy，
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2
考点聚焦突破
KAODIANJUJIAOTUPO
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考点一 利用基本不等式求最值
角度 1 配凑法
例 1 (1)已知 0＜x＜ 22，则 x
2 1－2x2的最大值为____4____.
解析 ∵0＜x＜ 22，∴1－2x2＞0，
x
1－2x2＝
2 2·
2x2
1－2x2≤
22·2x2＋21－2x2＝
8yx·2xy＋8＝16，
即x＝4，y＝8时，等号成立，
则2x＋y的最小值为16.
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(2)(2024·天津模拟)函数 y＝（x＋5） x＋（1x＋2）(x＞－1)的最小值为____9____.
解析 因为x＞－1，则x＋1＞0， 所以 y＝[（x＋1）＋x4＋][（1 x＋1）＋1] ＝（x＋1）2＋x＋5（1 x＋1）＋4＝(x＋1)＋x＋4 1＋5 ≥2 （x＋1）·x＋4 1＋5＝9， 当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时等号成立， 所以函数的最小值为 9.
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法二(代入消元法) 由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝91－＋3yy， 所以 x＋3y＝91－＋3yy＋3y＝9－3y＋13＋y（y 1＋y）＝91＋＋3yy2 ＝3（1＋y）2－1＋6（y 1＋y）＋12＝3(1＋y)＋11＋2y－6 ≥2 3（1＋y）·11＋2y－6＝12－6＝6， 当且仅当 3(1＋y)＝11＋2y，即 y＝1，x＝3 时取等号，即 x＋3y 最小值为 6.
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(2)已知 0<x<1，则1x＋1－4 x的最小值是____9____.
解析 由0<x<1，得1－x>0. 1x＋1－4 x＝1x＋1－4 x[x＋(1－x)]＝5＋1－x x＋14－xx≥5＋2 当且仅当1－x x＝14－xx，即 x＝31时取等号， 所以1x＋1－4 x的最小值是 9.
1－x x·14－xx＝9，
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解析 (1)不等式 ab≤a＋2 b2成立的条件是 a，b∈R，a＋2 b≥ ab成立的条件是 a≥0，b≥0. (2)由于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数 y＝x＋1x无最小值. (3)由于 sin x＝sin4 x时 sin x＝2 无解，故 sin x＋sin4 x的最小值不为 4. (4)“xy＋xy≥2”的充要条件是“xy＞0”.
若 a＞0，b＞0，则1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2.其中1a＋2 1b和
a2＋2 b2分别叫做
a，b 的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.
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一、利用不等式链求最值
例 1 (多选)设正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则( ACD )
A. ab有最大值12
B.a＋12b＋2a1＋b有最小值 3
在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，
cos A＝x2＋2yx2y－62＝（x＋2yx）y2－36－1＝3x2y－1≥x＋32y2－1＝3225－1＝275，
2
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当且仅当x＝y＝5时等号成立， 此时(cos A)min＝275， 所以(sin A)max＝ 1－2752＝2245， 所以四边形 AMBN 的最大面积为 2×12×5×5×2245＝24(平方米)， 此时四边形 AMBN 是边长为 5 米的菱形.
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感悟提升
对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求 最值.
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训练 2 (1)当 x＞a 时，2x＋x－8 a的最小值为 10，则 a＝( A )
A.1
B. 2
C.2 2
D.4
解析 2x＋x－8 a＝2(x－a)＋x－8 a＋2a≥2 即 8＋2a＝10，故 a＝1.
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考点三 利用基本不等式解决实际问题
例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行
四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，
N两点为 AMBN一组相对的顶点，当 AMBN的周长恒
为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为( D )
A.6
B.12
C.18
D.24
解析 设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，
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知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b___时取等号. a＋b
(3)其中___2__叫作正数 a，b 的算术平均数，___a_b_叫作正数 a，b 的几何平均数.
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2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥___2_a_b___(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号. (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.
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角度 2 常数代换法 例 2 (1)(2023·邵阳联考)若 a>0，b>0，a＋b＝9，则3a6＋ba的最小值为____8____.
解析 由 a>0，b>0，a＋b＝9， 得3a6＋ab＝4（a＋ a b）＋ab＝4＋4ab＋ba≥4＋2
4ab·ab＝8(当且仅当4ab＝ba，即 a＝6，
b＝3 时等号成立)， 故3a6＋ab的最小值为 8.
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感悟提升
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知 x＋y＝t(t 为常数)，求ax＋by的最值”的问题，
先将ax＋by转化为ax＋by·x＋t y，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变
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4. 若 把 总 长 为 20 m 的 篱 笆 围 成 一 个 矩 形 场 地 ， 则 矩 形 场 地 的 最 大 面 积 是 ___2_5____m2. 解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)(m)，其中 0＜x＜10， 所以 y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， 所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2.
用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
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诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式 ab≤a＋2 b2与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.( × ) (2)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × ) (3)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值是 4.( × ) (4)“x＞0 且 y＞0”是“xy＋xy≥2”的充要条件.( × )
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角度3 消元法
例3 (2024·郑州模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为___6____.
解析 法一(换元消元法) 由已知得 9－(x＋3y)＝xy＝31·x·3y≤31·x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号. 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是____8____万元.
解析 每台机器运转 x 年的年平均利润为 xy＝18－x＋2x5万元， 由于 x＞0，故 xy≤18－2 25＝8， 当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最 大为8万元.
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微点突破 基本不等式链
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2.(教材改编)已知 x>1，则 x＋x－1 1的最小值为___3_____. 解析 x＋x－1 1＝x－1＋x－1 1＋1≥2 （x－1）·x－1 1＋1＝3， 当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时等号成立.
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3.(教材改编)若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为____9____. 解析 由 ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3，得 ab－2 ab－3≥0， 解得 ab≥3( ab≤－1 舍去)， 即 ab≥9.当且仅当 a＝b＝3 时取等号.
C.a2＋b2 有最小值12
D. a＋ b有最大值 2
解析 对于 A，由基本不等式可得 ab≤a＋2 b＝21，当且仅当 a＝b＝21时，等号
成立，A 正确； 对于 B，由a＋12b＋2 2a1＋b≤（a＋2b）＋2 （2a＋b）＝3（a＋ 2 b）＝32，
＝4x＋4xy－2x－8x＋x＋8y－y 4x＝4x＋x 4y＋x4＋xy－10
≥2 4x＋x 4y·x4＋xy－10＝－2， 当且仅当4x＋x 4y＝x4＋xy，
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即 x＝1，y＝0 时等号成立， 则12m2－52m≤－2， 即 m2－5m＋4≤0，解得 1≤m≤4， 所以整数 m 可取 1，2，3，4，共 4 个，故选 C.
2（x－a）·x－8 a＋2a＝8＋2a，
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(2)已知 x>0，y≥0，且 x＋2y＝1.若12m2－25m≤x＋2xy＋1－x＋4 y恒成立，则满足
条件的整数 m 的个数是( C )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为 x>0，y≥0，且 x＋2y＝1，
所以x＋2xy＋1－x＋4 y＝x＋2y＋x x＋2y－x＋4 y＝2x＋x 4y－4xx＋＋8yy
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考点二 利用基本不等式求参数的值或范围
例 4 (1)对任意的正实数 x，y， x＋ 5y≤k x＋y恒成立，则 k 的最小值为( B )
A. 5
B. 6
C.2 2
D. 10
解析
依题意得 k≥
x＋x＋y5y恒成立，故
k≥
x＋x＋y5ymax.
因为
x＋x＋y5y2＝x＋5yx＋＋2y
5xy，2
5xy＝2