2019学年高中数学矩阵的简单应用教学案苏教版选修4

矩阵的简单应用
设λ1、λ2是二阶矩阵A 的两个不同的特征值，α1、α2是A 的属于特征值λ1、λ2的特征向量，对于 任意的非零向量
β，设β＝t 1α1＋t 2α2(t 1，t 2∈R )，则有A n
β＝t 1λn
1α1＋t 2λn
2α2(n ∈N *
)．
[对应学生用书P42]
[例1] 已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1
10
2，β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
31. (1)求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2)计算M 4
β，M 10
β，M 100
β；
(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？
[思路点拨] (1)先求出矩阵M 的特征多项式，求出特征值，再求出与其对应的特征向量；
(2)利用A n
β＝t 1λn
1α1＋t 2λn
2α2(λ1、λ2是矩阵A 的特征值，α1、α2是λ1、λ2的特征向量，β＝t 1α1＋t 2α2)计算；
(3)由M n
β中n 的变化情况与计算结果即可发现规律． [精解详析] (1)矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－1 －1 0 λ－2＝(λ－1)(λ－2)，
令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2.
所以它们对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
(2)令β＝m α1＋n α2，
则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
31，
解得m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2.
所以M 4
β＝M 4
(2α1＋α2)＝2M 4
α1＋M 4
α2＝2λ4
1
α1＋λ42
α2＝2×14
×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1816. 同理可得，M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2 210，M 100
β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2100＋2 2100.
(3)当n 很大时，可近似的认为
M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2n
2n .
求A n
α的一般步骤为：
第一步：求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量ξ； 第二步：把向量α用ξ1，ξ2线性表出，即α＝t 1ξ1＋t 2ξ2； 第三步：由公式计算A n α＝t 1λn 1ξ1＋t 2λn
2ξ2.
1．已知矩阵A 的一个特征值为3，对应特征值3的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1 3，求A 100
α. 解：A 100
α＝λ
100
α＝3100
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3100
3101.
2．给定矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
2
13
0，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 2－2. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；
(2)求A 4
B .
解：(1)设λ为A 的特征值，
由f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－2 －1 －3 λ＝λ(λ－2)－3＝0，
解得λ1＝－1，λ2＝3.
当λ1＝－1时，由⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2
13 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ， 得A 属于特征值－1的特征向量为α1＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1－3. 同理，A 属于特征值3的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
(2)设B ＝m α1＋n α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ m －3m ＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
n n ，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋n ＝2，－3m ＋n ＝－2.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝1，n ＝1.
所以B ＝α1＋α2.
因此A 4
B ＝A 4
(α1＋α2)＝(－1)4
α1＋34
α2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤8278.
[例2] 设A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 4 －5－3 2，利用矩阵的特征值和特征向量计算A n
.
[思路点拨] 先求出矩阵A 的特征值λ1，λ2与其对应的特征向量α1，α2，然后利用
A n
α＝λn
α，并令A n
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c
d ，最后利用待定系数法建立二元方程组求得a ，b ，c ，d .
[精解详析] A 的特征多项式
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－4 53 λ－2
＝(λ－4)(λ－2)－15 ＝λ2
－6λ－7＝0，
令f (λ)＝0，得A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－1.
对λ1＝7，解相应的线性方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋5y ＝0，
3x ＋5y ＝0，
可得α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5－3为矩阵A 的属于特征值λ1＝7的特征向量．
对λ2＝－1，解相应的方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
－5x ＋5y ＝0
3x －3y ＝0，
可得α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11为矩阵A 的属于特征值λ2＝－1的特征向量．
于是A α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3＝7·⎣⎢⎡⎦⎥⎤
5－3
A α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －5－3 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝－1·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
显然A n
⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 5－3＝7n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3，A n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11. 设A n
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c
d ，则有
⎣⎢⎡⎦⎥⎤5a －3b 5c －3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5·7n
－3·7n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－n
－
n ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
5a －3b ＝5·7n
，
5c －3d ＝－3·7n ，a ＋b ＝－n ，
c ＋
d ＝－n
.
解得a ＝5·7n
＋－n
8，b ＝
－5·7n
＋－
n
8
，
c ＝
－3·7n
＋－
n
8
，d ＝
3·7n
＋－n
8
， 所以A n
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤5·7n
＋－n
8
－5·7n
＋
－n
8－3·7n
＋－
n
8
3·7n
＋
－
n
8
.
矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征向量与特征值对计算进行设计、转化．一般步骤为：
(1)求二阶矩阵A 的特征方程的根λ1，λ2，并分别求出对应的一个特征向量X 1，X 2，令X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 1n 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤m 2n 2；
(2)设A n
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c
d ，根据A n
X 1＝λn
1X 1，A n
X 2＝λn 2X 2，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 1n 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λn 1m 1λn 1n 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c d ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
m 2n 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤λn
2m 2λn 2n 2； (3)解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
am 1＋bn 1＝λ
n 1m 1am 2＋bn 2＝λn
2m
2
和⎩
⎪⎨
⎪⎧
cm 1＋dn 1＝λ
n 1n 1
，
cm 2＋dn 2＝λn
2n 2
，
即可求得A n
.
3．已知A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
11
1，求A 10
. 解：特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪λ－1 －1－1 λ－1＝(λ－1)2－1＝λ2
－2λ，
令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝0，λ2＝2，
对λ1＝0，解相应的线性方程组⎩⎪⎨
⎪⎧ －x －y ＝0，
－x －y ＝0，
可得α1＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1－1是矩阵A 属于特征值λ1＝0的一个特征向量． 对λ2＝2，解相应的线性方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －y ＝0，－x ＋y ＝0，
可得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11是矩阵A 的属于特征值λ2＝2的一个特征向量．
于是，A α1＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
11 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝0·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－1， A α2＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 11
1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11. 显然，A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝210⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11. 设A 10
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c
d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
00； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210
210＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
10241024. 所以⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝0，
c －
d ＝0，a ＋b ＝1024，
c ＋
d ＝1024.
解得a ＝512，b ＝512，c ＝512，d ＝512.
所以，A 10
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
512 512512 512.
4．已知A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2
13
0，求A n
. 解：特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2 －1－3 λ＝(λ－2)λ－3＝λ2
－2λ－3.
解方程λ2
－2λ－3＝0，求得特征值λ1＝－1，λ2＝3.
对于λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
－3x －y ＝0，
－3x －y ＝0，
得⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－3是属于λ1的一个特征向量． 对λ2＝3，解相应的线性方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝0，
－3x ＋3y ＝0，
得⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11是属于λ2的一个特征向量． 于是A ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1－3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11， 显然A n
⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1－3＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－3，① A n
⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.② 设A n
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c
d ，代入①②得
⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝(－1)n ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ 1－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11＝3n ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3b c －3d ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ －1n －3×－1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3n
3n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a －3
b ＝－
n
，
a ＋
b ＝3n ，
c －3
d ＝－－
n
，
c ＋
d ＝3n
，
解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
a ＝
3n ＋1
＋－n
4
，
b ＝3n
－－n
4
，c ＝
3n ＋1＋－
n ＋1
4，
d ＝3n
＋－n
4
.
因此A n
＝⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤3
n ＋1
＋－n
4
3n
－－
n
4
3n ＋1
＋
－n ＋1
4
3n
＋
－
n
4
.
[例3] 某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：如果某年投资获利，则第二年投资亏损的概率为23；如果某年投资亏损，则第二年投资获利的概率为1
2，假设2013年他获利的
概率为3
4
.
(1)求他2014年投资获利的概率；
(2)问他2014年与2015年哪一年投资获利机会大？
[思路点拨] 列出数组之间的矩阵表达式，转化为矩阵问题求解．
[精解详析] (1)2013年他获利的概率为34，则投资亏损的概率为14
，它可以用W ＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤3414表
示.2014年他获利与亏损的概率为W 2014
＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1
3 1223 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤3858，所以2014年获利的概率为38
.
(2)2015年获利与亏损的概率为
W 2015
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1
3 1223 122
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414＝⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤13 1223 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤716916. 所以2015年获利的概率为7
16
，2015年投资获利机会大．
对于一些实际问题可通过列出数组之间的矩阵表达式，将实际问题转化为矩阵问题，利用矩阵的相关知识，最终达到解决实际问题的目的．
5．为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密原理如下： 明文X 加密,密文Y 发送,密文Y 解密,明文X
现在加密方式为：把发送的数字信息X 写为“a 11a 21a 12a 22”的形式，先左乘矩阵A ＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1 4－2
2，再左乘矩阵
B ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤65 －25145 －85，得到密文Y .现在已知接收方得到的密文是
4,12,10,22，试破解该密码．
解：由题意知，
BA ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤65 －25145 －85 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 46 8， ∴(BA )
－1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－1 1234 －14. 又(BA )X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
4 1012 22，
∴X ＝(BA )－1
⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 1012 22＝⎣⎢⎢⎡
⎦
⎥⎥⎤－1
1
2
3
4 －14 ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤4 1012 22
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2 10
2，
即发送的数据信息是2 012.
6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，x ≥0，
y ≥0.
确定的平面区域为F 0，点M 0(a ，b )在平面区域F 0内，
点M 1(a ＋b,2b )在平面区域F 1内．
(1)求平面区域F 1的面积；
(2)若点M 1(a 1，b 1)在平面区域F 1内，则点M 2(a 1＋b 1,2b 1)便在平面区域F 2内，若点M 2(a 2，
b 2)在平面区域F 2内，则点M 3(a 2＋b 2,2b 2)便在平面区域F 3内，…，依次类推，试判断平面区
域F n 的形状，并求其面积S n (n ∈N *
)．
解：(1)设M 1(a 1，b 1)，依题意有
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝a ＋
b ，
b 1＝2b ，可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 10 2 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a b .
由于平面区域F 0是由三个点O 0(0,0)，A 0(2,0)，B 0(0,2)组成的，故平面区域F 1是由三个点O 1(0,0)，A 1(2,0)，B 1(2,4)组成的，其面积S 1＝4.
(2)设M n ＋1(a n ＋1，b n ＋1)(n ∈N *
)，由题意有
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ＋1＝a n ＋
b n ，b n ＋1＝2b n ，可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
10 2 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a n b n . 设A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 10 2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ＝A n ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a b ， 求得A 的特征值λ1＝1，λ2＝2，
λ1＝1对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，
λ2＝2对应的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11.
又⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
20＝2α1， 故A n
⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2λn 1α1＝2×1n
×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤20.
又⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
02＝－2α1＋2α2，
故A n
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤02＝－2×λn 1α1＋2×λn
2α2
＝－2×1n α1＋2×2n
α2
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2n ＋1
－22n ＋1. 由题意知矩阵A 所对应的变换是线性变换，即在矩阵A 的作用下，将直线A 0B 0变换成
A 1
B 1，将A 1B 1变换成A 2B 2，…，将直线A n －1B n －1变换为A n B n ，
∴平面区域F n 是由三点O n (0,0)，A n (2,0)，B n (2n ＋1
－2,2
n ＋1
)组成的三角形，其面积S n
＝2
n ＋1
(n ∈N *
)．
[对应学生用书P45]
1．已知向量ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
23，把α用ξ1，ξ2线性表出．
解：设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2即⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
t 2t 1＋t 2.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 2＝2，t 1＋t 2＝3，故⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 1＝1，
t 2＝2.
∴α＝ξ1＋2ξ2.
2．若矩阵A 有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们对应的特征向量分别为i ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10和j ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
01
(1)求矩阵A 及逆矩阵A －1
；
(2)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，试求A 100
α.
解：(1)设A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c
d ，则由题意可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
Ai ＝λ
1i ，Aj ＝λ2
j ，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b d ＝－1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
01.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝0，
c ＝0，
d ＝－1，
即A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2 00 －1.
所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12
00 －1. (2)设α＝m i ＋n j ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤116＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
m n .
所以m ＝1，n ＝16.
所以A 100
α＝m λ 100
1i ＋n λ 100
2
j ＝1·2100
⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋16·(－1)100
·⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2100
16.
3．设A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
3
45
2，求A n (n ∈N *
)． 解：矩阵A 的特征多项式为：
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－3 －4－5 λ－2＝λ2
－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，
令f (λ)＝0得矩阵A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－2. 把λ1＝7，λ2＝－2代入线性方程组
⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－3 －4－5 λ－2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤00 得各自对应的一个特征向量α1、α2，
α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 4－5.
∴A α1＝λ1α1，A α2＝λ2α2，
A n α1＝λn 1α1，A n α2＝λn
2α2.
设A n
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c
d ，则
⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11＝7n
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－5＝(－2)n ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤ 4－5.
解得：a ＝19
[5×7n ＋(－1)n ·2n ＋2
]，
b ＝49[7n ＋(－1)n ＋1·2n ]，
c ＝59[7n ＋(－1)n ＋1·2n ]，
d ＝19
[4×7n ＋(－1)n ×5×2n ]．
∴A n
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤19
[5×7n
＋－1n
·2
n ＋2
] 49
[7n
＋－1n ＋1
·2n ]
59
[7n
＋－1
n ＋1
·2n ] 19
[4×7n
＋－1
n
×5×2n
].
4．若M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0－1
2 1，N ＝⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
2
12 12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2，求[(MN )－1]100β.
解：∵MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0－12 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 12 12＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2 －1
1 0， ∴det(MN )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
－2 －1 1 0＝1.
∴(MN )－1
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
0 1－1 －2.
设(MN )－1的特征值为λ，特征向量为ξ，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 －2 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ， ∴f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
－λ －1 1 －2－λ
＝－λ(－2－λ)＋1＝λ2
＋2λ＋1＝0. ∴λ＝－1，ξ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1－1.∴β＝2ξ. ∴[(MN )－1]100
β＝λ100
·2ξ＝2ξ＝β＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2－2. 5．已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1
a －1
b 的一个特征值为λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
21，向量
β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤74.求a 、b 及A 5
β.
解：由题意可知⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1
a －1
b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
21＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
21 即：⎩
⎪⎨
⎪⎧
2＋a ＝4－2＋b ＝2，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2
b ＝4.
∴A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
2－1
4的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2
－5λ＋6，
令f (λ)＝0得：λ1＝2，λ2＝3.
显然λ1＝2时的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
21.
设λ2＝3时的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1
4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ， 即：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y ＝3x
－x ＋4y ＝3y ，得y ＝x ，不妨令α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，
又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11＝3α1＋α2，
∴A 5
β＝3×25
⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×26
＋35
3×25＋35＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
435339.
6．已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1
25
4及向量α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
34， (1)计算A n α，并分析讨论当n 的值越来越大时，A n
α的变化趋势； (2)给出A n
α的一个近似公式，并利用这一公式计算A 100
α. 解：(1)f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪λ－1 －2－5 λ－4＝λ2
－5λ－6＝(λ＋1)(λ－6)，
则矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝6. 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量α1＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1－1，
属于特征值λ2＝6的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
25，
α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤
25＝α1＋α2.
A n
α＝λn
1α1＋λn
2α2＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－
n
＋2×6
n
－
n ＋1
＋5×6n .
当n 的值越来越大时，(－1)n
和(－1)n ＋1
可忽略不计，
A n
α≈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2×6n
5×6n .
(2)由(1)可得，A n
α≈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2×6n
5×6n ，
∴A 100
α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2×6100
5×6100.
7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
12 0 0 2，求点P (3,3)经过矩阵A 的连续50次作用后得到的点P 50的坐标．
解：矩阵A 的特征多项式
f (λ)＝⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
λ－12 0 0 λ－2＝(λ－12)(λ－2)， 由f (λ)＝0得λ1＝1
2，λ2＝2.
当λ＝1
2时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
0x －0y ＝0，0x －3
2y ＝0，
令x ＝1，y ＝0，
得属于特征值12的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10.
同理属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
01.
由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3⎣⎢⎡⎦
⎥⎤01，
所以A 50
⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎝
⎛⎭⎪⎫1
2
50
⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3⎝ ⎛⎭
⎪⎫250⎣⎢⎡⎦⎥⎤01 ＝⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫1250
3·250
， 即点P (3,3)经过矩阵A 的连续50次作用后得到的点P 50的坐标是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1250，3·250. 8．狐狸和兔子在同一栖息地生存，我们忽略其他因素，只考虑兔子数量与狐狸数量的相互影响．现假设在第n 年时，兔子的数量为a n ，狐狸的数量为b n ，在初始时刻时(即第0
年)，兔子有a 0＝100只，狐狸有b 0＝30只，且两种群之间满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ＝1.1a n －1－0.15
b n －1，
b n ＝0.1a n －1＋0.85b n －1.(n ≥1) (*)
试分析随着时间的变化，兔子和狐狸的数量有着怎样的变化？ 解：令βn ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a n
b n ，M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1.1 －0.150.1 0.85，则(*)式可以改写成βn ＝M β
n －1
(n ≥1)．
由此可知βn ＝M β
n －1
＝M 2
β
n －2
＝…＝M n
β0.
经过计算，矩阵M 有两个特征值λ1＝1，λ2＝0.95，且分别可取α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11为
对应的特征向量，显然α1，α2不共线，又不妨假设β0＝s α1＋t α2(其中s ，t 待定)．
则有⎩⎪⎨
⎪⎧
100＝3s ＋t ，
30＝2s ＋t ，
解得s ＝70，t ＝－110，
即β0＝70α1－110α2.
从而由特征向量性质知βn ＝M n
β0＝M n
(70α1－110α2)＝70λn
1α1－110λn
2α2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ＝70×1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－110×0.95n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210140－0.95n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110110. 即第n 年兔子和狐狸的数量为
⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ＝210－110×0.95n
，b n ＝140－110×0.95n .
由此可看出，随着时间的增加，兔子和狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．。