安徽省皖北六校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题含答案

2023~2024学年度第一学期高一年级期末联考
数学（答案在最后）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知集合
{}{}
1,3,5,1,5A B ==，则（）
A.A B =
B.A B
⊆ C.B A
⊆ D.以上都不正确
【答案】C 【解析】
【分析】利用集合间的基本关系即可判断.【详解】由集合间的包含关系可知B A ⊆.故选：C
2.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）
A .
抽签法
B.随机数法
C.分层随机抽样法
D.其他方法
【答案】C 【解析】
【分析】根据不同抽样方法适用的条件进行判断即可.
【详解】 三年级、六年级、九年级三个年级之间学生视力存在差异，且对于统计结果有影响，
∴按人数比例抽取部分学生进行调查时，合理的抽样方法为：分层随机抽样法.
故选：C.
3.不等式220-++>x x 的解集为（
）
A.()()
,21,-∞-⋃-+∞ B.()(),12,-∞-+∞ C.
()
1,2- D.
()
2,1--【答案】C 【解析】
【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解.【详解】原不等式可化为()()120x x +-<，解集为()
1,2-.
故选：C.
4.用二分法求函数()132x f x -=-的零点时，初始区间可选为（
）
A.
[]2,3 B.[]
1,2 C.
[]0,1 D.
[]
1,0-【答案】D 【解析】
【分析】计算出()()100f f -⋅<，结合零点存在性定理得到答案.【详解】()()()()()115175310,00,10,20,3062222
f f f f f -=-
<=>=>=>=>，则()()100f f -⋅<，即初始区间可选[]1,0-．故选：D ．
5.若,R x y ∈，则“0x >”是“0xy >”的（）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若1,1x y ==-，则0xy <，所以“0x >”不能得出“0xy >”；若1,1x y =-=-，则0xy >，所以“0xy >”不能得出“0x >”.综上可知，“0x >”是“0xy >”的既不充分也不必要条件.故选：D.
6.若正数,x y +=，则xy 的最大值为（
）
A.6
B.9
C.9
4 D.
3
2
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为+=≥，
所以
39
,
24
xy
≤≤≤，
当且仅当
3
3,
4
x y
==时取等号．
故选：C．
7.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（）
A.
x
y Q
N
=⋅ B.1
x
y Q
N
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
C.2
1
1
x
y Q
N
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
D.1
2
x
N
y Q⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.
【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，
根据经过N年衰减为原来的一半，则()
1
1
2
N
p
-=，即
1
1
1
2
N
p⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
，
且生物体内碳14原有初始质量为Q
所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为()
1x
y Q p
=-
即
1
2
x
N
y Q⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
故选:D.
8.已知()
f x是定义在R上的偶函数，且在(],0
-∞上单调递增，又
()()
0.2 1.1
1
2
1.1,0.2,log4
a f
b f
c f⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
，则,,
a b c的大小关系为（）
A.c a b <<
B.c b a <<C .
b c a
<< D.a b c
<<【答案】A 【解析】
【分析】由题意得到()f x 在[)0,∞+上是减函数，再根据 1.10.200.21 1.12<<<<判断.【详解】解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上单调递增，
()f x ∴在[)0,∞+上是减函数.
而12log 4(2)(2)c f f f ⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭，
1.10.200.21 1.12<<<< ，()()
1.10.20.2 1.1(2)f f f ∴>>，
即c a b <<.故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知命题:0p x ∀>，ln 0x >，则（）.
A.p ⌝是真命题
B.:0p x ⌝∀>，ln 0x ≤
C.p 是真命题
D.:0p x ⌝∃>，ln 0
x ≤【答案】AD 【解析】【分析】
由函数ln y x =的性质及全称命题的否定定义逐一判断.
【详解】命题:0p x ∀>，ln 0x >，则0,ln 0:p x x >∃≤⌝，所以B 错D 正确又因为当1x >时，ln 0x >；当01x <<时，ln 0x <，所以命题p 假，p ⌝是真命题，故A 正确C 错故选:AD
10.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥的两个事件是（
）
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
【答案】BD
【解析】
【分析】根据互斥事件的概念及对立事件判断即可.
【详解】对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，
所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；
对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，
但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，符合题意；
对于C中，当从口袋中取出一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，
所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；
对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，
事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件不是对立事件，符合题意.
故选：BD.
11.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（）
A.a的值为0.005；
B.估计成绩低于60分的有25人
C.估计这组数据的众数为75
D.估计这组数据的第85百分位数为86
【答案】ACD
【解析】
【分析】由所有组频率之和为1求得a ，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果.【详解】对于A ，由(23356)101a a a a a a +++++⨯=，得0.005a =.故A 正确；对于B ，估计成绩低于60分的有1000(23)1050000250a a a ⨯+⨯==人.故B 错误；对于C ，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故C 正确；
对于D ，设这组数据的第85百分位数为m ，则(90)50.0050.00510185%0.15m -⨯⨯+⨯=-=，解得：86m =，故D 正确.故选：ACD
12.设函数()2
122,0,
2ln ,0,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且
1234x x x x <<<，则（
）
A.124x x >
B.02a <≤
C.342x x +>
D.2
41e
x <<【答案】BC 【解析】
【分析】如图作出函数()f x 的图象，则02a <≤，124x x +=-，220x -<≤，34ln ln x x -=，结合基本不等式和二次函数的性质计算即可求解.【详解】如图，作出函数()f x
的图象，
由题意，直线y a =与()f x 的图象有4个交点，由图象可知02a <≤，故B 正确；
且124x x +=-，220x -<≤，34ln ln x x -=，
所以()34ln 0x x =，即341x x =
，则342x x +>=，故C 正确；
()[)2
2122222244(2)40,4x x x x x x x =--=--=-++∈，故A 错误；
当()()402f x f ==时，4ln 2x =，2
4e x =，又3401x x <<<，所以2
41e x <≤，故D 错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2log 32log +=______.【答案】72
【解析】
【分析】根据指数与对数的互化、对数的运算性质计算直接得出结果.
【详解】原式21log 3
2
2172log 3log 2322
=+=+=+
=.故答案为：
72
14.已知幂函数(
)
2
1
1m y m m x +=-+是偶函数，则m =______.
【答案】1【解析】
【分析】根据幂函数的定义和奇偶性即可求解.
【详解】由于函数是幂函数，所以211m m -+=，解得0m =或1m =.当0m =时，y x =，是奇函数；
当1m =时，2y x =，是偶函数，符合题意，所以m 的值为1.故答案为：1
15.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______.【答案】3
5
##0.6【解析】
【分析】写出所有的样本空间以及满足题意得情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案.【详解】这5名棋手分别记为:甲,乙,A ,B ,C ,
则样本空间{Ω=(甲乙A ，B C )，(甲乙B ，A C )，(甲乙C ，A B )，(甲A B ，乙C ),
(甲A C ，乙B ),(甲B C ，乙A ),(乙A B ，甲C ),(乙A C ，甲B ),(乙B C ，甲A ),(A B C ，甲乙)}共含有10个样本点，
设事件E 表示“甲和乙分在不同小组”,则()6n E =,所以甲和乙分在不同小组的概率为63105
P ==.故答案为：
35
.16.若函数()()2
2
211
x f x x +=+在区间[]2023,2023-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______．
【答案】4【解析】
【分析】令()[]2
4,2023,20231x
g x x x =
∈-+并判断奇偶性，由()()2f x g x =+及奇偶对称性求M m +.【详解】因为()()
2
2222
2124242111
x x x x f x x x x +++===++++，令()[]24,2023,20231
x
g x x x =
∈-+，则()()2f x g x =+，又因为()()
()
()2
2441
1
x x
g x g x x x ---=
=
=-+-+，所以函数()g x 为奇函数，因为奇函数的图象关于原点对称，
所以()g x 在[]2023,2023-上的最大值和最小值之和为0，即max min ()()0g x g x +=，所以max min ()2()24M m g x g x +=+++=．故答案为：4
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某果园试种了,A B 两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记,A B 两个品种各10棵产量的平均数分别为x 和y ，方差分别为2
1s 和2
2s ．A （单位：kg ）
60504560708080808590B （单位：kg ）
40
60
60
80
80
55
80
80
70
95
（1）求x ，y ，21s ，2
2s ；
（2）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由．
【答案】（1）70x =，70y =，21215s =，2
2235
s =（2）选择A 品种，理由见解析【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差公式求解即可；（2）比较平均值和方差的大小可得答案.【小问1详解】
1
(45506060708080808590)7010x =
+++++++++=，()2222222211
25202100310152021510s =++⨯++⨯++=，
1
(40556060708080808095)7010y =+++++++++=，
()2
22222221301521004102523510s =++⨯++⨯+=．
【小问2详解】
由70x y ==可得,A B 两个品种平均产量相等，又2
2
12s s <，，则A 品种产量较稳定，故选择A 品种.18.已知集合{}
211A x m x m =-≤≤+，122B x x ⎧⎫
=≤<⎨⎬⎩⎭
．（1）若1
2
m =
，求()R A B ð；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()
R A B ⋂=ð102x x ⎧⎫≤<
⎨⎬⎩
⎭
；（2）
3
14
m ≤<或m>2.【解析】
【分析】（1）利用集合交补运算求()
R A B ð即可；（2）由题意A B ⊆，讨论A =∅、A ≠∅求参数范围.
【小问1详解】由122B x
x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭
，则R B =ð1
{|2x x <或2}x ≥，
若1
2m =
，则302A x x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭，所以()
R A B ⋂=ð102x x ⎧⎫≤<
⎨⎬⎩
⎭
．【小问2详解】
若x B ∈是x A ∈的必要条件，则A B ⊆．
当211m m ->+时，即m>2时，A =∅，符合题意；当211m m -≤+时，即2m ≤时，A ≠∅，
要满足A B ⊆，可得
121122m m ≤-≤+<，解得3
14
m ≤<；综上，实数m 的取值范围为3
14
m ≤<或m>2．
19.已知()f x 是二次函数，且()01f =，()()12f x f x x +-=.（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在区间[]0,t 上的最大值.【答案】（1）()2
1
f x x x =-+（2）答案见解析【解析】
【分析】（1）设()2
f x ax bx c =++，由()01f =，求得1c =，再由()()12f x f x x +-=，列出方程组，
求得1,1a b ==-，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()2
1
3
()2
4
f x x =-+
，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】
解：根据题意，设()2
(0)f x ax bx c a =++≠，因为()01f =，可得1c =，即()2
1f x ax bx =++，
又由()2
2
1(1)(1)1(2)1f x a x b x ax a b x a b +=++++=+++++，
且()2
2(2)1f x x ax b x +=+++，
又因为()()12f x f x x +-=，即()()12f x f x x +=+，所以22(2)1(2)1ax a b x a b ax b x +++++=+++，
可得2211
a b b a b +=+⎧⎨++=⎩，解得1,1a b ==-，所以()21f x x x =-+.【小问2详解】
解：由（1）知()22131()2
4f x x x x =-+=-+，可得函数()f x 的图象开口向上，且对称轴为12x =，所以()()01f f =，当01t <<时，根据二次函数的对称性，可得()()01f f >，
所以函数()f x 在区间[]0,t 上的最大值为()01f =；
当1t ≥时，根据二次函数的对称性，可得()()0f t f ≥，
所以函数()f x 在区间[]0,t 上的最大值为()2
1f t t t =-+，综上可得，当01t <<时，()f x 的最大值为1；当1t ≥时，()f x 的最大值为21t t -+.
20.已知函数()()2,R 21
x x a b f x a b ⋅+=∈+．（1）若()f x 为奇函数，证明：0a b +=；
（2）讨论()f x 的单调性．
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义满足()()f x f x -=-，整理可得()()
210x a b ++=，结合指数函数的性质即可证得结论；
（2）根据函数单调性的定义设1x ，2R x ∈，且12x x <，作差得到()()()()()()1212
12222121x x x x a b f x f x ---=
++，结合指数函数的性质判断即可得结论.
【小问1详解】
证明：()f x 的定义域为R ，
对R x ∀∈，都有R x -∈，
又()f x 为奇函数，则必有()()f x f x -=-，
即222121x x x x a b a b --⎛⎫⋅+⋅+=- ⎪++⎝⎭，整理可得：()()
210x a b ++=，又20x >恒成立所以0a b +=，命题得证．
【小问2详解】
设1x ，2R x ∈，且12x x <，
()()()()()()
1212121212222221212121x x x x x x x x a b a b a b f x f x --⋅+⋅+-=-=++++，易知120x >，220x >，又2x y =在R 上为增函数，12x x <，可得12220x x -<，
当a b >时，()()120f x f x -<，()f x 在R 上为增函数；
当a b =时，()()120f x f x -=，()f x 为常数函数，无单调性；
当a b <时，()()120f x f x ->，()f x 在R 上为减函数．
21.与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为
35，25，p ，且三人答题互不影响.（1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；
（2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为
2225，求p 的值.【答案】（1）
1325（2）12
【解析】
【分析】（1）设A =“甲答对”，B =“乙答对”，则题意所求的事件为AB AB ，结合互斥事件的定义与事件的独立性计算即可求解；
（2）根据对立事件的定义分析题意，建立关于p 的方程，解之即可求解.
【小问1详解】
设A =“甲答对”，B =“乙答对”，
则()35P A =，()25P B =，()25P A =，()
35P B =，“甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为AB AB ，且AB 与AB 互斥
由三人答题互不影响，知A ，B 互相独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立，
则()()()()()()()332213555525
P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ⋃=+=+=⨯+⨯=，所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为
1325.【小问2详解】
设C =“丙答对”，则(),()1P C p P C p ==-，
设D =“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知，()()()()()
()232211115525P D P D P A P B P C p =-=-=-⨯⨯-=，解得12p =，所以p 的值为12.22.已知函数()()
12log 241x x f x +=-+.（1）求不等式()0f x >的解集；
（2）若对于()()0,1,x f x x a ∀∈>+恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()
,1-∞（2）(]
,1-∞-【解析】
【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解；
（2）分离参数后，求12241log 2
x x x +-+的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解.
【小问1详解】
由题意可知()0f x >，即12411x x +-+>.
令20x t =>，则有220->t t ，解得02t <<，所以022x <<，即1x <.所以不等式()0f x >的解集为(),1-∞.
【小问2详解】
由题意可知()f x x a >+，即()
12log 241x x x a +-+->，即12241log 2x x x
a +-+>.
又1241122,22
x x x x x +-+=-++令()()121,2,2x n g n n n =∈=-++，易知()g n 在()1,2上单调递减，所以()122
g n <<，所以()21log 1g n -<<，因为()()0,1,x f x x a ∀∈>+，所以1a ≤-.故实数a 的取值范围为(],1-∞-.。