上海市金山中学2023-2024学年高一下学期5月月考试卷

所以复数 z 对应的点是以点 (1, -2) 为圆心，1 为半径的圆，如图，
表示圆上的点到原点的距离，由图可知， 的最小值为
z
z
12 + (-2)2 -1 = 5 -1.
答案第31 页，共22 页
故答案为： 5 -1
9．(-1, 2)
【分析】构造函数 g ( x) =∣2x - 3∣-1，去绝对值作出 g ( x) 的大致图象，将零点个数转化为图
( ) 故答案为： 3 - 4 3, 4 + 3 3 .
11． 3 - 2 3 ．/ -2 3 + 3
【分析】取
AB
的中点为
M
，转化为
uuuur PM
2
-1 的最值，由圆的几何性质可得解.
【详解】设 AB 的中点为 M ，如图，
( ) ( ) uuur uuur uuur uuur
则 AP × BP = PA× PB =
(1)若
z1
a 是实数，求
的值；
z2
(2)若复数 z1 z2 在复平面内对应的点在第二象限，求 a 的取值范围.
19．设△ABC
三个内角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、，c
已知
C
=
p 3
，a
cos
A
=
b
cos
B.
(1)求角 B 的大小； (2)如图，在△ABC 内取一点 P，使得 PB=2，过点 P 分别作直线 BA、BC 的垂线 PM、PN，
上海市金山中学 2023-2024 学年高一下学期 5 月月考试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 A = [-3, 4], B = (0,5) ，则 A I B = .
2．已知扇形的半径为 2，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为 .
=
1 2
´
2
´
4
=
4
．
故答案为：4.
3．[-3, 2) 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解.
【详解】Q
x 2
+ -
3 x
³
0
，即
x x
+ -
3 2
£
0
，则
(x
+
3)(x
-
2)
£
0
且
x
-
2
¹
0
．解得
-3
£
x
<
2
，
\不等式的解集为[-3, 2) .
故答案为：[-3, 2) .
4． π 2
【分析】由正切的周期公式计算即可.
【详解】 T
=
ππ -2
=
2
.
故答案为： π 2
答案第11 页，共22 页
5．
1 3
【分析】画出图形，由向量的加法结合平面向量的基本定理计算即可；
【详解】如图，Q在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上靠近点 B 的三等分点，
，且
\
uuur AE
=
uuur AB
x Î(0, +¥) 时， f ( x) = （ ）
A． x2 - ex +1
B． x2 + e-x +1
C． x2 - e-x +1
D． -x2 + e-x -1
15．已知w > 0 ，顺次连接函数 f ( x) = 6 sinwx (w > 0) 与 g ( x) = 6 coswx 的任意三个相邻
æ çè
x
+
π3πö÷ø1+
6
sin
æ çè
x
+
3
ö ÷ø
+
2
因为
-1
£
sin
æ çè
x
+
π 3
ö ÷ø
£3使来自uuur OC=
uuur 2OB
，则点
C
的坐标为
.
11．等边
VABC
的边长为
2，三角形
ABC
所在平面内有一动点
P
，满足
CP
=
1
，则
uuur AP
×
uuur BP
的最小值为 ．
试卷第11 页，共33 页
12．函数 y = 3 sin 2x + 2sin x + 4 3 cos x 的最大值为 .
( ) ( ) 【分析】由 log3 9x - 4 = x +1，得 log3 9x - 4 = log3 3x+1 ，则 9x - 4 = 3x+1 ，再解关于 3x 的二
次方程即可.
( ) ( ) 【详解】由 log3 9x - 4 = x +1，得 log3 9x - 4 = log3 3x+1 ， ( ) 所以 9x - 4 = 3x+1 ，即 3x 2 - 4 = 3× 3x ，
uuuur uuur PM + MA
×
uuuur uuur PM - MA
=
uuuur PM
2
-
uMuuAr2
=
uuuur PM
2
-1，
因为 CP = 1，所以点 P 在以 C 为圆心，1 为半径的圆上，
所以
|
uuuur PM
|min
=
CM
-1=
3 -1，
答案第51 页，共22 页
( ) uuur uuur
(2)当 y1 =
5 5
,
y2
=
3 10 10
时，求角a
+
b
的值；
试卷第31 页，共33 页
(3)当
y1
=
1 2
时，记角q
= ta
(t Î R ) ，求满足等式
sinq cos 4q cos 3q
+
sinq cos 3q cos 2q
+
sinq cos 2q cosq
+
sinq cosq
=
3 的所有 t 的值.
B． 5 -1
C．2
D． 5
三、解答题
r 17．已知向量 a
r 与b
的夹角为
π
，且
r a
=
2,
r b
=
3.
3
试卷第21 页，共33 页
rr (1)求 3a - 2b 的值；
( ) (2)若
rr a + kb
^
r a
，求实数
k
的值.
18．已知复数 z1 = a + 4i, z2 = 4 + 3i,i 为虚数单位，其中 a 是实数.
21．已知函数 y = f ( x), x Î D ，若对于任意的实数 a,b, c Î D, f (a), f (b), f (c) 都能构成三
角形的三条边长，则称函数 y = f ( x) 为 D 上的“完美三角形函数”. (1)记 y = f ( x) 在 D 上的最大值、最小值分别为 f ( x)max , f ( x)min ，试判断“
( )( ) 即 3x - 4 3x +1 = 0 ，所以 3x = 4 或 3x = -1 （舍去），
所以 x = log3 4 . 故答案为： log3 4 . 8． 5 -1 【分析】根据复数的几何意义，利用数形结合，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，| z -1+ 2i |= 1表示复数 z 与复数1- 2i 对应两点间的距 离为 1，
试卷第41 页，共33 页
1． (0, 4]
【分析】由交集的运算计算即可.
【详解】 A Ç B = (0,4] .
参考答案：
故答案为：(0, 4] .
2．4 【分析】由弧长公式和扇形的面积公式计算即可.
【详解】根据扇形的弧长公式可得 l = a r = 2´ 2 = 4 ，
根据扇形的面积公式可得 S
象交点个数可得答案.
【详解】由 f ( x) = 2x - 3 -1- m = 0 ，得 2x - 3 -1 = m ．
设函数
g
(
x
)
=∣2x
-
3∣-
1
=
ì2 - 2x, íî2x - 4,
x x
< ³
log2 log2
3 3
，作出
g
(
x)
的大致图象，如图所示．
函数 f (x) =∣ 2x - 3∣ -1- m 有 2 个零点，即函数 g ( x) 与函数 y = m 的图象有两个交点， 由图可知，m 的取值范围是 (-1, 2) ． 故答案为： (-1, 2) .
10
，
sin æçèa + π3πö÷øπ=4sin3a3cos 3 + cosa sin 3 =
+ 10
，
\
B
=
æ çè
5 cos
æ çè
a
+
π3πö÷ø3, 5s4in
æçè3a
4+
3ö 3 ÷ø
ö÷ø3=
æ ççè
2
,
+ 2
ö ÷÷ø
，
( ) uuur uuur
OC = 2OB = 3 - 4 3, 4 + 3 3 ，
2 f ( x)min > f ( x)max ”是“ y = f ( x) 为 D 上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明；
( ) (2)设向量 mr = (2k sin x, 2cos x), nr =
3 cos x, k cos x
，若函数
g
(
x)
=
mr
×
nr
-
k
+1
为
éêë0,
π 2
ù úû
【详解】Q z = 20,\ z = 20
( ) ( ) \
z
=
(1+ mi)3 (3 - i) (1- 2i)2
=
1- 3m2 + 3mi - m3i
(1- 2i)2
10 =
1- 3m2
2
+
3m - m3
2
×
10
5
= 20
解方程得 m = ±3 ，
答案第21 页，共22 页
故答案为： ±3 . 7． log3 4
上
的“完美三角形函数”，求实数 k 的取值范围；
(3)已知函数 h ( x) = cos x 为[0,q ] （q 为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数 h( x) = cos x, x Î[0,q ] 的图象上，是否存在不同的三个点 A, B,C ，它们在以 x 轴为实轴， y
轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为 z1, z2, z3 ，满足 Re z1 + Re z3 = 2 Re z2 ，且 Im z1 + Im z3 = 3 Im z2 ？若存在，请求出相应的复数 z1, z2, z3 ，若不存在，请说明理由.
3．不等式
x 2
+ -
3 x
³
0
的解集为
．
4．函数
y
=
tan
æ çè
π 4
-
2x
ö ÷ø
的最小正周期为
.
5．在平行四边形
ABCD
中，
E
为
BC
边上靠近点
B
的三等分点，
uuur AE
=
l
uuur AB
+
m
uuur AD
，则
lm
的值为 .
6．已知复数
z
=
(1
+ mi)3 (3 (1- 2i)2
-
i)
,
i
为虚数单位，若
二、单选题 13．方程 x2 - 6x + a = 0 的一个根为 x = 3 + i ，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值为（ ）
A．-10
B．10
C．6
D．8
14．已知 y = f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x Î(-¥, 0) 时， f ( x) = x2 - ex +1 ，则当
垂足分别是 M、N，设∠PBA=a，求四边形 PMBN 的面积的最大值及此时a 的值. 20．在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴的正半轴为始边作锐角a 和钝角 b ，它们的终边分
别与单位圆交于 A( x1, y1 ), B ( x2, y2 ) 两点.
(1)当
x1
=
3 5
时，求
cos
2a
的值；
的交点都构成一个等腰直角三角形，则w = （ ）
A． 2π 8
B． π 6
C． π 4
D． 3π 6
16．已知
r a,
r b,
r e
是平面向量，且
r e
是单位向量，若非零向量
r a
与
r e
的夹角为
π
，向量
r b
满足
4
br2 -
rr 4e ×b + 3
=
0
，则
ar
r -b
+
ar
- er
的最小值是（
）
A． 5 - 2
( ) = 2 3 cos x (1+ sin x) + 2 sin x + 3 cos x
2
【详解】
£
2
æ ççè
3 cos x +1+ sinπx ö
2
÷÷ø
+
4
sin
æ çè
x
+
3
ö ÷ø
=
2
éêësin
æ çè
x
+
π31ö÷øπ+
ù2 2 úû
+
4 sin
æ çè
x
+
3
ö ÷ø
=
2
sin 2
z
的模为
20，实数
m
的值为
.
( ) 7．方程 log3 9x - 4 = x +1的实数解为
.
8．已知复数 z 满足| z -1+ 2i |= 1，则| z |的最小值为 ．
9．若函数 f (x) =∣ 2x - 3∣ -1- m 有 2 个零点，则 m 的取值范围是 ．
10．已知点 A(3, 4) ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针方向旋转 π 至 OB ，再将 OB 延长至 OC ，
( ) 10． 3 - 4 3, 4 + 3 3
【分析】由三角函数的定义和三角恒等变换结合向量的坐标表示计算即可. 【详解】设 OA 的终边对应的角为a ，
\ sin a
=
4 5
, cosa
=
3 5
，
则
OB
的终边对应的角为
a
+
π 3
，
答案第41 页，共22 页
cos æçèa + π3πö÷øπ=3co4sa3cos 3 - sin a sin 3 =
所以