中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形第17讲全等三角形练习

第17讲 全等三角形
重难点 全等三角形的性质与判定
如图，已知AC ＝BD ，AB ＝DC ，求证：△ABO≌△DCO.
【思路点拨】 先由“SSS ”证△ABC≌△DCB，再由“AAS ”证△ABO≌△DCO. 【自主解答】 证明：∵AB＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴△ABC≌△DCB(SSS )． ∴∠A＝∠D.
又∵∠AO B ＝∠DOC，AB ＝DC, ∴△ABO≌△DCO(AAS )． 方法指导
1．三角形全等的证明思路：
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS
找直角→HL 或SAS
找另一边→SSS
已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧
边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS
已知两角⎩
⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA
找任一角的对边→AAS
2．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
3．证明两条线段相等或两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的两个三角形全等．当所证的线段或角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．它的步骤是：先证全等，再利用全等的性质求解．
4．探究两条线段的位置关系时，一般也是先利用全等的性质证明角相等，进而利用平行线的判定和直角的定义来判断线段的位置关系．
易错提示“SSA ”和“AAA ”不能判定三角形全等．
【变式1】 如图，已知AB ＝CD ，∠A＝∠D，求证：△ABC≌△DCB.
【思路点拨】 先证△AEB≌△DEC，再根据全等三角形的性质得到相等的边和角，从而使问题得证． 【自主解答】 证明：∵AB＝CD ，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB≌△DEC(AAS )． ∴BE＝CE ，∠ABE＝∠DCE.
∴∠EBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠DCB. 又∵BC＝CB ，
∴△ABC≌△DCB(ASA )．
【变式2】 如图，已知点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，OB ＝OC ，∠ABE＝∠ACD.求证：△ABE≌△ACD.
【思路点拨】 已知△ABE 和△ACD 的两组对应角相等，则只需找到一组对应边相等即可． 【自主解答】 证明：∵OB＝OC ， ∴∠OBC＝∠OCB. 又∵∠ABE＝∠ACD， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC.
在△ABE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠A＝∠A，AB ＝AC ，
∠ABE＝∠ACD， ∴△ABE≌△ACD(ASA )．
【变式3】 如图，已知AC ，BD 相交于点O ，∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：∠CDA＝∠DCB.
【思路点拨】 要证∠CDA＝∠DCB，观察发现∠CDA 与∠CAB 分别在△ADC 与△BCD 中，故只需证明△ADC≌△BCD，由全等三角形的性质即可使问题得证．
【自主解答】 证明：∵∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2，AB ＝BA ， ∴△DAB≌△CBA(AAS )． ∴AC＝BD ，AD ＝BC. 又∵CD＝DC ，
∴△ADC≌△BCD(SSS )． ∴∠CDA＝∠DCB.
考点1 全等三角形的概念及性质
1．(2016·厦门)如图，点E ，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A 与点D ，点B 与点C 是对应点，AF 与DE 相交于点M ，则∠DCE＝(A )
A ．∠
B B ．∠A
C ．∠EMF
D ．∠AFB
2．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．
考点2 全等三角形的判定
3．(2018·成都)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是(C )
A ．∠A＝∠D
B ．∠ACB＝∠DB
C C ．AC ＝DB
D ．AB ＝DC
4．(2018·黔东南)在下列各图中，a ，b ，c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是(B )
A ．甲和乙
B ．乙和丙
C ．甲和丙
D ．只有丙
5．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC ＝BC ，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D ，E ，AD ＝3，BE ＝1.则DE 的长是(B )
A .32
B ．2
C ．2 2
D .10
6．如图，在等边△ABC 中，M ，N 分别在BC ，AC 上移动，且BM ＝CN ，AM 与BN 相交于点Q ，则∠BAM＋∠ABN 的度数是(A )
A ．60°
B ．55°
C ．45°
D ．不能确定
7．(2018·南京)如图，AB⊥CD，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为(D )
A ．a ＋c
B ．b ＋c
C ．a －b ＋c
D ．a ＋b －c
8．(2018·衢州)如图，在△ABC 和△DEF 中，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF ＝CE ，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是答案不唯一，如：AB ＝DE 或∠A＝∠D 或∠ACB＝∠DFE(或AC∥DF)．(只需写一个，不添加辅助线)
9．(2018·荆州)已知：∠AOB ，求作：∠AOB 的平分线．作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于1
2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C ；③画射线OC.射
线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是SSS ．
10．(2018·娄底)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BF⊥AC 于点F ，DE ＝3 cm ，则BF ＝6__cm ．
11．(2018·南充)如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.
证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE－∠CAE＝∠DAC－∠CAE. ∴∠BAC＝∠DAE. 在△AB C 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AD ，∠BAC＝∠DAE，AC ＝AE ，
∴△ABC≌△ADE(SAS )． ∴∠C＝∠E.
12．(2018·桂林)如图，点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AD ＝CF ，AB ＝DE ，BC ＝EF.
(1)求证：△ABC ≌△DEF；
(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F 的度数．
解：(1)证明：∵AD＝CF ， ∴AC＝DF.
在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，
∴△ABC≌△DEF(SSS )．
(2)∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB . ∵∠A＝55°，∠B＝88°，
∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝37°. ∴∠F＝∠ACB＝37°.
13．(2018·泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC ＝DB ，AC ，DB 相交于点O ，求证：OB ＝OC.
证明：在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DB ，BC ＝CB ，
∴Rt △ABC≌Rt △DCB(HL )． ∴∠ACB＝∠DBC. ∴OB＝OC.
14．(2018·怀化T 19，10分)如图，点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB∥CD，AB ＝CD ，∠B＝∠D.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG ＝5，求AB 的长．
解：(1)证明：∵AB∥DC， ∴∠A＝∠C.2分
在△ABE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠A＝∠C，AB ＝CD ，∠B＝∠D，
∴△ABE≌△CDF(ASA ).4分
(2)∵点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点， ∴EG＝1
2CD.6分
∵EG＝5， ∴CD＝10.8分 ∵△ABE≌△CDF， ∴AB＝CD ＝10.10分
15．(2017·哈尔滨)已知△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE ，BD 相交于点O.AE 与DC 相交于点M ，BD 与AC 相交于点N.
(1)如图1，求证：AE ＝BD ；
(2)如图2，若AC ＝DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
图1 图2
解：(1)证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC ＝BC ，DC ＝EC.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE. 在△ACE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ，
∴△ACE≌△BCD(SAS )． ∴AE＝BD.
(2)答案不唯一，如：△ACB ≌△DCE，△EMC≌△BNC，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE.
16．(2017·滨州)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点，则以下结论：①PM＝PN 恒成立；②OM＋ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变．其中正确的个数为(B )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
17．(2018·青岛)如图，正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，点
H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 2
18．(2018·滨州)在△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点．
(1)如图1，若点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE⊥DF，求证：BE ＝AF ；
(2)若点E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE ＝AF 吗？请利用图2说明理由．
图1 图2
解：(1)证明：连接AD. ∵∠A＝90°，AB ＝AC ，
∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD＝45°. ∵点D 为BC 的中点， ∴AD＝1
2
BC ＝BD ，∠FAD＝45°.
∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF.
在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠EBD＝∠FAD，BD ＝AD ，∠BDE＝∠ADF，
∴△BDE≌△ADF(ASA )．
∴BE＝AF.
(2)BE ＝AF.理由如下：
连接AD.
由(1)知，∠ABD＝∠BAD＝45°， ∴∠EBD＝∠FAD＝135°.
∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA. 在△EDB 和△FDA 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠EBD＝∠FAD，BD ＝AD ，∠EDB＝∠FDA，
∴△EDB≌△FDA(ASA )．
∴BE＝AF.。