(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试题(答案解析)

一、选择题
1．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=+()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若
AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．3
x π
=
B ．4
x π
=
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
2．已知2tan 2
3θ
=
，则1cos sin 1cos sin θθθθ
-+++的值为（ ） A ．
2
3 B ．23
-
C ．
32
D ．32
-
3．若sin 3cos 0θθ+=，则2cos sin 2θθ+的值（ ） A ．2
B ．2-
C ．
12
D ．12
-
4．已知0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,2παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）
A ．0,
3πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
B ．,32ππβ⎛⎫∈
⎪⎝⎭ C ．2,23
ππβ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
D ．2,3πβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
5．已知0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，3cos 45
x π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则sin x 的值为（ ） A ．210-
B ．
210 C ．
72
10
D ．72
10
-
6．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，
点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则23
3cos sin cos 222ααα--的值
为（ ）
A ．
4
5
B ．
35
C ．45
-
D ．
35
7．已知
cos 25
π
2)
4
α
α=
+1
tan tan αα
+
等于（ ）
A ．
92
B ．
29
C ．9-
2
D ．2-
9
8．已知α为锐角，且1sin 34πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则sin α的值为（ ）
A
．
18
± B
C
．
8
D
9．在ABC ∆中，已知其面积为22()S a b c =--，则tan A =（ ） A ．
34
B ．817
C ．
815
D ．
1719
10．若0||4
π
α<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确
的是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．①③
11．已知()1
sin 30cos 3
αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ） A ．79
-
B ．
79
C
D
． 12．
若3sin 2sin 03παα⎛
⎫-+-= ⎪⎝
⎭，则tan α=（ ）
A
．B
C
． D
二、填空题
13．已知1cos 3α=
，且02
π
α-<<，则()()()
cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=
⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
______. 14．给出下列命题：
①存在实数α使得sin cos 1αα=；
②存在实数α使得3sin cos 2
αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭
-是偶函数； ④8
x π=
是函数5sin 24
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.
15．2cos10sin 20sin 70
︒︒
︒
-=______. 16．求值：
sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒
︒-︒︒
=_______
17．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________.
18________.
19．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 20．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________.
三、解答题
21．已知函数()sin()1g x ax b
π
=-++，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b 的
值，并解答后面的问题. ①已知函数f (x )＝2sin(x ＋
6π
)·sin(x －3
π)＋2的最小值为a ，最大值为b ； ②已知0,0a b >>，且4a b +=，当19
a b
+取到最小值时对应的a ，b ； ③已知函数3
()f x b x a
=+
-，满足(1)(1)6f x f x -++=. （1）选择条件________，确定,a b 的值；
（2）求函数()g x 的单调递增区间和对称中心. 22．已知02
π
α<<
，4sin 5
α
． （1）求tan2α的值； （2）求cos 24πα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值； （3）若02
π
β<<
且1cos()3
αβ+=-，求sin β的值．
23．已知函数()f x 满足：()()()22f x f x a a R +=+∈，若()12f =，且当(]2,4x ∈时，()2
2611f x x x =-+．
（1）求a 的值；
（2）当(]
0,2x ∈时，求()f x 的解析式；并判断()f x 在(]0,4上的单调性（不需要证明）；
（3）设()24log 231x g x ⎛⎫=+
⎪-⎝
⎭，()2cos cos 2,22h x x m x x ππ⎛⎫
⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．
24．已知1
sin cos 5
αα+=，其中0απ<<. （1）求
11
sin cos αα
+的值； （2）求tan α的值.
25．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ，若点P 的坐标为04
(,)5
y -
.
（1）求tan sin 2θθ-的值；
（2）若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40︒，得到角α，设tan m α
=，求
()tan 85θ+︒的值.
26．设函数2
()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）若,42⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
ππα，且2()5f α=，求sin 2α.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
化简得()2sin 3f x x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z 求出对称轴即可得出答案.
【详解】
()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，
T π=，则22T π
ω=
=，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z ，则,12
2
k x k Z π
π
=
+
∈， ()f x ∴的对称轴为,12
2
k x k Z π
π
=
+
∈， 当0k =时，12
x π
=.
故选：D. 【点睛】
本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.
2．A
解析：A 【分析】
根据半角公式得
2
2sin sin cos
221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθ
θθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2
θ得2
tan 1cos sin 21cos si tan
2
n 31ta 2n 2
θθ
θθ
θ
θ
θ-+=
++=++. 【详解】
解：根据半角公式得：2
2
cos 12sin
2cos 12
2
θ
θ
θ=-=-，sin 2sin
cos
2
2
θ
θ
θ=
所以
2
2222sin 2sin cos sin sin cos
2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθ
θθθθθθθ
θ-+==++++++， 对上述式子分子分母同除以2cos 2
θ得： 2
22sin sin cos tan
22222cos s 42
ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 13
22θ
θθθθθθθθθθθθ+-+==+++=
==++++
. 故选：A. 【点睛】
本题解题的关键在于利用半角公式化简得
2
2sin sin cos
221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2
in θθθθθθθ
θθθ
=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 3．D
解析：D 【分析】
先根据题意得tan 3θ=-，再根据正弦的二倍角公式化简得
2212tan 1
cos sin 21tan 2
θθθθ++=
=-+.
【详解】
解：由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.
所以222
2222
cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθ
θθθθθθ
+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102
cos cos θθθ
θθθθθθθθ++-====-++
， 故选：D. 【点睛】
本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2
212tan cos sin 21tan θ
θθθ
++=+，进而求
解，考查运算求解能力，是中档题.
4．C
解析：C 【分析】 由0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,2παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同
角三角函数关系可得61
cos (,0)152
β-=-，从而得解. 【详解】 由0,2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,2παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈.
又4cos 5α=
，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
所以3sin 5α==
，cos()3
αβ+==-
. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++
4236(0353515
-=-
⨯+⨯=<.
因为
61270
15230
--+=>，所以1cos (,0)2β∈- 所以2,23
ππ
β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.
5．B
解析：B 【分析】 先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值，然后利用ππsin sin 44x x ⎛
⎫=+-
⎪⎝
⎭，展开后计算得出正确选项. 【详解】
由于πππ3π0,
,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 所以π4sin 45
x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin
4444x x ⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
43525210
=
⨯-⨯=
，故选B. 【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
6．B
解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，设AOB θ∠=， ∴325sin
πθ-=-（），4
25
cos πθ-=（）， 即3
5sin θ=
，45
cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3
π
θα+=
，
则3
π
αθ=
-
，则
213sin
cos
sin cos cos sin 2
2
2
222625α
α
α
ππαααθθ⎛⎫⎛⎫--
=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选B.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设
AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可
先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.
7．A
解析：A 【分析】
先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
结合cos 2π3)4
αα=+
得出cos 46πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫
⎛⎫+
=+-=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+
=，将4
sin 29
α=代入便可解出答案. 【详解】
因为
sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
4πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭ 所以24cos 22cos 1249ππαα⎛
⎫
⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭， 又4cos 2sin 229παα⎛
⎫
+
=-=- ⎪⎝
⎭，所以4
sin 29
α=， 所以
1sin cos 1229
tan 4tan cos sin sin cos sin 229
ααααααααα+
=+====.
故选：A. 【点睛】
本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.
8．B
解析：B 【分析】
通过三角恒等式可求出cos 3πα⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的值，再根据两角和的正弦即可得出结果. 【详解】 ∵02
πα<<
，∴3
3
6
π
π
π
α-
<-
<
，
又∵1sin 34πα⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，
∴cos 3πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭
∴11
sin sin 3
342π
παα⎛⎫=-+
=⨯= ⎪
⎝
⎭ 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了三角恒等式的应用以及通过两角和正弦公式求值，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
由题结合余弦定理可得
1
si s 2n 2
2co bc A c A bc b +=，整理化简有22sin
cos 42sin 222A A A =⨯，进而可计算出1
tan 24A =，再由正切的二倍角公式计算可得答案． 【详解】 由题意得222221
sin 2()2
S bc A a b c b c a bc =--+=+=
--， 又因为2222cos b c a bc A +-=，所以
1
si s 2n 2
2co bc A c A bc b +=， 整理得()41s c s i o n A A =-，所以22sin
cos 42sin 222
A A A =⨯ 即cos 4sin 22A A =，所以1tan 24A = ，则28tan 1512tan
2tan 2
A A
A =
=- 故选C. 【点睛】
本题考查的知识点有三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，属于一般题．
10．B
解析：B 【分析】 取6
π
α=-
判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.
【详解】
当6
π
α=-
时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-
=-=-=-< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
tan 2tan tan tan tan 2tan 36ππαααα⎛⎫⎛⎫
=-==-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；
0||4π
α<<，cos cos ||αα⎫
∴=∈⎪⎪⎝⎭
2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<
即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】
本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
根据条件展开化简得到()1
sin 303
α-︒=
，再利用角的变换，得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒，再利用二倍角公式化简求值.
【详解】
由()1sin 30cos 3αα︒+=
+，得11cos cos 223
ααα+=+， 化简得()1
sin 303
α-︒=
； ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒ ()217
12sin 301299
α=--︒=-⨯=
故选:B ． 【点睛】
本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.
12．A
解析：A 【分析】
由两角和的正弦公式化简，并引入锐角β
，cos β=
，sin β=，已知条件化为sin()1αβ-=，这样可得22
k π
αβπ=++
，k Z ∈，代入tan α，应用切化弦公式及诱
导公式可得结论． 【详解】
由已知3sin 2sin 3sin 2sin cos cos sin 0333πππααααα⎛
⎫
⎛
⎫-+
=-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
2sin αα=
1αα=，
设cos β=
，sin β=，且β为锐角，
cos sin sin cos sin()1ααβαβααβ=-=-=， ∴
22
k π
αβπ-=+
，k Z ∈，即22
k π
αβπ=++
，k Z ∈，
tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭sin cos 2sin 3cos 2πββπββ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭=
===--⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭， 故选：A ． 【点睛】
本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法．
二、填空题
13．【分析】用同角间的三角函数关系计算用诱导公式化简后再计算然后计算可得【详解】∵且∴∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式同角间的三角函数关系三角函数求值问题首先要进行化简应用诱导公式化简应用
解析：-【分析】
用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得． 【详解】
∵1cos 3α=，且02πα-<<，
∴sin 3α==-， ∴
()()(
)cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααα
αππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
故答案为：-． 【点睛】
方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．
14．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；
解析：③④ 【分析】
利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】
对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=
∈-⎢⎥⎣⎦
， 所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误； 对于命题②
，sin cos 4πααα⎛
⎫⎡+=
+∈ ⎪⎣⎝⎭
， 所以，不存在实数α使得3
sin cos 2
αα+=
，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝-⎭
-⎭=⎝，
()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫
⎪⎝=⎭
-是偶函数，③正确；
对于命题④，当8
x π=
时，min 53sin 2sin 18
4
2y y π
ππ⎛
⎫=⨯
+
==-= ⎪
⎝
⎭
， 所以，8
x π=
是函数5sin 24
y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244
π
αππ=
+=，4π
β=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.
因此，正确命题的序号为③④.
故答案为：③④. 【点睛】
本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
15．【分析】观察角之间的特殊关系：运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解【详解】原式故填：【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式关键在于观察出题目的角之间的特殊关系属于中档题
【分析】
观察角之间的特殊关系：103020=-，709020=-，运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解. 【详解】
原式()
2cos(3020)sin 20sin 9020︒︒︒
︒--=-
()2cos30cos 20sin30sin
20sin 20cos 20
︒︒︒
︒
+-=
12cos 20sin 20sin 2022cos 20︒
︒︒
︒
⎛⎫+
- ⎪⎝⎭=
===.
【点睛】
本题考查两角差的余弦公式和诱导公式，关键在于观察出题目的角之间的特殊关系，属于中档题.
16．【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题
【分析】
根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】
()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒
︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒
sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒
=
︒︒+︒︒-︒︒
sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒
=
=︒=︒︒
【点睛】
本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.
17．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析：7-
【分析】
由题得tan 3α=,1
tan 2
β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】
因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2
β=
, 所以()1
t 32731n 2
a αβ+
+=
=--, 故答案为:7-. 【点睛】
本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.
18．【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题
解析：4
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值. 【详解】
=
4==，由
于342
π
π<
<
=
故答案为：4 【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.
19．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解
【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值
解析：2 【分析】
将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】
锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=
变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得
()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+
合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】
本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.
20．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实
解析：4 【分析】
做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】 由题可构建图像
根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅=
当4πα=
时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
故答案为：4 【点睛】
本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.
三、解答题
21．（1）1,3a b ==；（2）递增区间为7[
2,
2]()6
6
k k k Z π
π
ππ++∈，对称中心为,13k ππ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
()k Z ∈. 【分析】
（1）选择条件①，利用两角和与差的公式，二倍角公式和辅助角公式整理函数()f x ，利用最值即求得参数,a b ；选择条件②，妙用“1”代入，使用基本不等式，计算取等号条件，即求得参数,a b ；根据分式函数对称中心和已知条件对照，即求得参数,a b ； （2）先利用参数,a b 得()sin()13
g x x π
=-++，再利用整体代入法求函数单调增区间和
对称中心即可. 【详解】
解：（1）选择条件①，
()2sin()sin()263
f x x x ππ
=+-+，
故111()=2sin cos sin 2sin 222222222f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()sin(2)23
f x x π
∴=-++，
当sin(2)13
x π
+=-时，max ()3f x =；
当sin(2)13
x π
+
=时，min ()1f x =.
故1,3a b ==；
选择条件②，0,0a b >>，4a b +=，则
19119191()()(19)(104444b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=，当且仅当9b a a b
=时，等号成立，即3b a =代入4a b +=，得1,3a b ==； 选择条件③，函数3
()f x b x a
=+
-的定义域{}x x a ≠，值域为{}y y b ≠，即该分式函
数对称中心为(),a b ，又(1)(1)6f x f x -++=得()f x 对称中心为()13，
， 故1,3a b ==；
（2）由（1）知1,3a b ==， 得()sin()13g x x π
=-++，要使()g x 递增，只需sin()3
x π
+递减，
故令322,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 解得
722,66
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， 所以()g x 递增区间为72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
， 令3
x k π
π+
=，解得：3
x k π
π=-
+，k Z ∈，
所以()g x 的对称中心为,13k ππ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
()k Z ∈. 【点睛】 方法点睛：
求三角函数性质问题时，通常先利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式()()sin f x A x b ωϕ=++，再利用整体代入法求解单调性、对称性等性质.
22．（1）247-，（2）50-，（3）4
15
【分析】
（1）由02π
α<<
，4sin 5α
，可求出3
5cos α=，从而可求出4tan 3
α=，进而利用正
切的二倍角公式可求得答案；
（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；
（3）先由已知条件求出sin()3
αβ+=，再利用sin sin[()]βαβα=+-展开代值可求得结果 【详解】
解：（1）因为02
π
α<<
，4sin 5
α
，
所以3cos 5α===，
所以4
sin 4
5tan 3cos 3
5
ααα=
==， 所以224
22tan 243tan 21tan 7413ααα⨯
===--⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， （2）cos 2cos 2cos sin 2sin 444
πππ
ααα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
(cos 2sin 2)2
αα=-
2(12sin 2sin cos )2
ααα=
--
1643(122)2255550
=
-⨯-⨯⨯=-
， （3）因为02
π
α<<
，02
π
β<<
，所以0αβ<+<π，
因为1
cos()3αβ+=-
，所以sin()3
αβ+===
， 所以sin sin[()]βαβα=+-
sin()cos cos()sin αβααβα=+-+
3144
()353515
=
⨯--⨯=
【点睛】
关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，考查同角三角函数的关系的应用，角的变换公是解题的关键，属于中档题 23．（1）7；（2）()2
f x x x =+，单调递增；（3）-1.
【分析】
（1）根据题意可得()()3214f f a a =+=+，再由()311f =即可求解. （2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，代入()()227f x f x +=+即可得出
()2f x x x =+，再由分段函数单调性判断方法即可求解.
（3）由（2）知，当4x >时，()21f x ≥，且由条件知，()12f =，根据()g x 的单调性可得()1h x ≥恒成立，设cos [0,1]x t =∈，只需不等式2
22(1)0mt t m +-+≥在[0,1]
t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解. 【详解】
（1）由题意()12f =，所以()()3214f f a a =+=+， 又()2
323631111f =⨯-⨯+=，
因为411a +=，所以7a =； （2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，
所以()2
2
22(2)6(2)11227f x x x x x +=+-++=++，
又()()227f x f x +=+，代入解得：()2
f x x x =+；
显然，()f x 在(0,2]，(2,4]上分别是单增函数， 又()26f =，而当2x +→时，7y →， 因为76>，所以()f x 在(0,4]上单调递增； （3）由（2）知，()f x 是区间(0,4]上单调递增， 且(2,4]x ∈时，()419f =，()7f x >，
且当4x >时，设(2,22](2,)x n n n n Z ∈+≥∈，则(22)(2,4]x n --∈，
()232()2(2)72(4)7(21)2(6)7221f x f x f x f x =-+=-+⋅+=-+⋅++
()1232[(22)]72221n n n f x n ---=⋅⋅⋅=--+⋅++⋅⋅⋅++ ()123727222121n n n --->⋅+⋅++⋅⋅⋅++≥
且由条件知，()12f =； 再看函数()24 log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭
， 由4
20031
x x +
>⇒>-，即定义域为(0,)+∞， 且4
231
x y =+
-在(0,)+∞上单减， 所以()24log 231x
g x ⎛
⎫=+ ⎪-⎝
⎭在(0,)+∞上单减， 又发现()12g =，所以()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，
即()2
2cos 2cos 11x m x +-≥在,22x ππ⎡⎤∈-⎢
⎥⎣⎦
上恒成立， 设cos [0,1]x t =∈，
则不等式2
22(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立，
①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立； ②当0m >时，当0t =代入得()10m -+≥，矛盾；
③当0m <时，只需(1)01
122(1)01m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⇒⇒=-⎨
⎨+-+≥≥-⎩⎩
， 综上，实数m 的值为-1． 【点睛】
关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想. 24．（1）115sin cos 12αα+=-；（2）4
tan 3
α=-. 【分析】
（1）将等式1
sin cos 5
αα+=
两边平方，可求出sin cos αα的值，进而可求得11
sin cos αα
+的值； （2）法一：利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值，结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，进而可求得tan α的值；
法二：由弦化切可得出
222
sin cos tan 12
sin cos tan 125
αααααα==-++，可得出关于tan α的二次方程，由已知条件可得出tan 1α<-，由此可求得tan α的值. 【详解】
（1）由1sin cos 5αα+=①，得()2
1sin cos 12sin cos 25
αααα+=+=
. 12
sin cos 25αα∴=-，所以，
1
11sin cos 5512sin cos sin cos 1225
αααααα++===--； （2）法一：由（1）知12
sin cos 25
αα=-，
0απ<<，sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.
()2
49sin cos 12sin cos 25
αααα∴-=-=
，7sin cos 5αα∴-=②.
由①②得，4sin 5
α
，3cos 5α=-，sin 4
tan cos 3∴=
=-ααα； 法二：由（1）知12sin cos 25
αα=-
，22sin cos 1αα+=，22
sin cos 12
sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αα
αααα
∴=-+，即2tan 12tan 125
αα=-+，整理可得
212tan 25tan 120αα++=，
得4tan 3α=-或3tan 4
α=-. 因为0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<， 又1sin cos 05αα+=>，所以sin cos αα>，tan 1α∴<-，所以4tan 3α=-. 【点睛】
方法点睛：在利用同角三角函数的基本关系求值时，可利用以下方法求解：
（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二；
（2）关于sin α、cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
25．（1）
21100；（2）11m m +-. 【分析】
（1）由三角函数定义求得cos θ，再由同角间三角函数关系求得sin θ，tan θ，用二倍角公式得sin 2θ后可得结论；
（2）由角的关系得8545θα+︒=+︒，利用两角和的正切公式可求得tan(85)θ+︒．
【详解】
解：（1）由题意得：4cos 5θ=-
，且角θ为第二象限的角
则3sin 5θ==，3tan 4
θ=- ∴tan sin 2tan 2sin cos θθθθθ-=-
334324212455425100
⎛⎫=--⨯⨯-=-+= ⎪⎝⎭ （2）由题意知40αθ=+︒，则40θα=-︒
则()()tan 85tan 45θα+︒=+︒
tan tan 451tan tan 45αα+︒=
-︒ 11m m
+=-． 【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的定义，两角和与差的正切公式，二倍角公式，同角韹三角函数关系．解题确定角的关系是关键．由旋转得40αθ=+︒，则40θα=-︒，从而有8545θα+︒=+︒，再结合已知条件柯得结论．确定已知角和未知角的关系选用恰当的公式也是解题关键．
26．（1）,3x x
x k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2. 【分析】
（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；
（2）由3sin 265πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦可得答案. 【详解】
（1）1()cos 221cos 222f x x x x =
-+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 当2262x k πππ+=-
+，即,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =. （2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭
，
4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭
341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=-⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力.。