辽宁省庄河市高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用学案新人教B版必修5
高中数学 第3章 不等式 3.4 不等式的实际应用学案 新人教B版必修5
3.4 不等式的实际应用1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点)2.掌握运用不等式知识，解决实际问题的方法、步骤.(重点)[基础·初探]教材整理 不等式的实际应用 阅读教材P 81～P 83，完成下列问题.1.实际问题中，有许多不等式模型，必须首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设未知数，将量与量间的关系变成不等式或不等式组.2.实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注意定义域的变化.3.解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题.1.有如图341所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a ，b 的不等式表示出来为________.图341【解析】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S 1，则S 1＝a 22＋b 22，图(2)面积为S 2，则S 2＝ab ，∴12a 2＋12b 2＞ab .【答案】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积12a 2＋12b 2>ab 2.一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________.【解析】 原来每天行驶x km ， 现在每天行驶(x ＋19) km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”， 写成不等式为8(x ＋19)>2 200. 若每天行驶(x －12) km ，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为8xx －12>9. 【答案】 8(x ＋19)>2 2008xx －12>9[小组合作型]种降价方案：方案(1)先降价a %，再降价b %； 方案(2)先降价b %，再降价a %； 方案(3)先降价a ＋b2%，再降价a ＋b2%；方案(4)一次性降价(a ＋b )%.其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，上述四种方案中，降价幅度最小的是( ) A.方案(1) B.方案(2) C.方案(3)D.方案(4)(2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg 大米，而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是________老板.【精彩点拨】 首先用代数式表示出要比较的两个量，然后用比差法比较这两个量的大小.【自主解答】 设原价为1，则四种方案中，降价后的价格分别为： (1)(1－a %)(1－b %)；(2)(1－b %)(1－a %)； (3)⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2；(4)1－(a ＋b )%. 由于(1－a %)(1－b %)＝(1－b %)·(1－a %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b %＋1－a %22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，且(1－a %)(1－b %)＞1－(a ＋b )%， 所以方案(3)降价后价格最高.(2)设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a 、b ＞0，a ≠b )，则甲两次购买大米的平均价格是a ＋b200＝a ＋b2元/千克；乙两次购买大米的平均价格是200100a ＋100b ＝21a ＋1b＝2aba ＋b 元/千克.∵a ＋b 2－2aba ＋b ＝a ＋b 2－4aba ＋b ＝a －b 2a ＋b＞0， ∴a ＋b2＞2aba ＋b. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算. 【答案】 (1)C (2)乙比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.[再练一题]1.如图342(2)，一圆柱的底面半径为5 dm ，高为5 dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线.小明设计了两条路线：试说明哪条路线最短？路线1：侧面展开图中的线段AC .如图(1)所示： 路线2：高线AB ＋底面直径BC .如图(2)所示：(1) (2)图342【解】 设路线1的长度为l 1，则l 21＝AC 2＝AB 2＋BC 2＝52＋(5π)2＝25＋25π2. 设路线2的长度为l 2，则l 22＝(AB ＋BC )2＝(5＋10)2＝225.∵l 21－l 22＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)>0，∴l 21>l 22，∴l 1>l 2.所以选择路线2较短.为10个百分点)，计划可收购 a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围. 【精彩点拨】 认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系或不等式解决问题.【自主解答】 (1)降低税率后为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %).依题意：y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10). (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元). 依题意得：150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得，x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是(0,2].不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.[再练一题]2.某市新建一处公园，要对园内一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.【导学号：18082048】【解】 设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x－600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去.故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.[探究共研型]钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.若设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，那么x ，y 间有何关系？你能建立仓库底面积S 与x 、y 间的关系吗？【提示】 x 与y 间关系为40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200，S 与x 、y 间的关系为S ＝xy . 探究2 在探究1中若要求S 的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S 的最大值？【提示】 在S ＝xy 中含两个变量x ，y ，而x ，y 满足40x ＋90y ＋20xy ≤3 200，利用该关系不能将S 表示为关于x 或只关于y 的函数，故不能用求函数求最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解.解：设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200.由均值不等式，得 3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0.∵S ＋16＞0，∴S －10≤0，∴S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.【精彩点拨】 平均每天所支付的总费用＝x 天支付的总费用天数x，根据题意列出函数式，利用均值不等式求解.【自主解答】 (1)设该厂应每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝3×x x ＋2＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y 1元，则Y 1＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6＝9x ＋900x＋10 809 ≥29x ·900x＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号.该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少.(2)设该厂利用此优惠条件后，每x 天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每2106＝35天购买一次面粉，即x ≥35.设平均每天支付的总费用为Y 2元，则Y 2＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6×910＝9x ＋900x＋9 729(x ≥35)， 记f (x )＝x ＋100x，x ∈[35，＋∞)，设x 1，x 2∈[35，＋∞)，取x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫100x 1－100x 2＝x 1－x 2x 1x 2－10x 1x 2，∵35≤x 1<x 2，x 1x 2>100， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2－100>0， ∴x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2<0，f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )＝x ＋100x在[35，＋∞)上是增函数， ∴当x ≥35时，f (x )min ＝f (35).所以，当x ＝35时，Y 2有最小值，此时Y 2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件.求实际问题中最值的一般思路：先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式. 把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.正确写出答案.[再练一题]3.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元).(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【解】 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋).(2)∵x >0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元). 答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元.1.若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.{x |－1≤x <0} B.{x |0<x ≤1} C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}. 【答案】 B2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，故选C.【答案】 C3.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.【解析】 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，所以x 2＋50x －30 000≥0，得x ≤－200(舍去)或x ≥150， 又因为0<x <240，x ∈N ，所以150≤x <240，x ∈N . 【答案】 1504.用一根长为100 m 的绳子，围成一个一边长为x 米，面积大于600 m 2的矩形，则x 的取值范围为________.【导学号：18082049】【解析】 设围成的矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x ) m ，且0<x <50. 由题意，得围成矩形的面积S ＝x (50－x )>600， 即x 2－50x ＋600<0， 解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形. 【答案】 (20,30)5.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式.(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内. 【解】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1). 整理得，y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0＜x ＜1). (2)要使本年度的年利润比上年有所增加，必须有：⎩⎪⎨⎪⎧y －－＞0，0＜x ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x ＞0，0＜x ＜1.∴0＜x ＜13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内.。
人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计
人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计一、教学目标本节课主要教授高中数学必修课5(B版)第三章——不等式。
通过本次课程的教学，学生应该能够：•理解不等式的基本概念，掌握不等式的基本性质和解不等式的方法；•能够运用已掌握的知识，解决简单的等式和不等式的应用问题；•能够培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点•不等式的基本概念和性质；•不等式解法；•一元一次不等式和二元一次不等式的解法。
三、教学难点•不等式解法的灵活运用；•二元一次不等式的解法。
四、教学过程4.1 导入1.通过白板或幻灯片展示一组简单的不等式，比如x+4<10，让学生回顾并思考之前学过的等式。
2.引导学生讲述等式和不等式的联系和区别，并引导学生从生活实际中思考不等式的应用。
4.2 讲授1.教师讲解不等式的基本概念和性质，以及不等式解法，引导学生深入理解学习内容。
2.引导学生先从一元一次不等式入手，讲解一元一次不等式的解法，并让学生进行多组练习。
3.引导学生学习二元一次不等式的解法，引导学生重点思考如何用图示法求解。
4.让学生通过练习，掌握不等式解法的具体技巧和应用方法。
4.3 拓展本节课结束后，学生可以自行探索如何用不等式来解决实际问题，例如分部门开支问题、生产效益提升问题等。
4.4 总结1.教师对本节课所学内容进行总结，并提醒学生留意其中易误解的点，引导学生归纳总结学习体会。
2.对于存在误解的同学，教师要及时纠正并逐一解决疑问。
五、课堂互动1.在讲解过程中穿插抛出简单问题，引导学生积极参与答题，加深对知识点的记忆和理解。
对于答对或答错的同学，教师进行不同程度的点评。
2.在教学中多与学生互动交流，让课堂变得更加生动有趣。
例如请学生发表自己的观点、听取学生分享自己的解题心得、讨论解题思路等。
六、板书设计1.不等式的基本概念和性质；2.不等式解法；3.一元一次不等式和二元一次不等式的解法。
七、教学评价本次课程的教学效果通过考试和家庭作业来进行评价，同时可以通过学生反馈、课堂测验和讨论等方式来了解教学效果。
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式学案(无答案)新人教B版必修5(2021年整理)
辽宁省庄河市高中数学第三章不等式3.2 均值不等式学案（无答案）新人教B版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省庄河市高中数学第三章不等式3.2 均值不等式学案（无答案）新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3．2 均值不等式一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力。
二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用 三、学习过程:（一）自学教材，填空⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．⒉均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数,又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式,并注明所需条件（1）a 2+b 2( ) （2）2ba （ ） （3）ab ＋b a （ ） (4）x ＋x1（ )（5）x ＋x1（ ) （6）ab ≤ （ ）⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立． （二）典型例题例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例⒉（１）一个矩形的面积为100m 2.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（２）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少？（三）课堂训练⒈已知a 、b ∈（0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b⒉判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。
人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计 (2)
人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计教学背景本次教学设计针对高中必修课程《数学B》中的第三章不等式进行，此章内容为不等式的化简、比较大小以及解不等式等内容，是一门基础而又重要的数学知识。
在本教学设计中，我们通过引入实际生活中的问题，加深学生对不等式的理解和应用，从而提高学习效果。
教学目标本次教学的主要目标是帮助学生：1.掌握不等式的基本概念、性质和解法。
2.了解不等式在实际生活中的应用，提高学生对数学的兴趣。
3.通过分组与合作，培养学生团队合作能力与口头表达能力。
教学内容1. 引入首先，我们可以通过题目来引入不等式的基本概念，例如：“小明和小红参加一个射箭比赛，小明射出20只，小红射出25只。
请问，小红比小明多射了几只箭呢？”通过这个例子，引出不等式的基本概念：小红射箭的数量比小明多。
然后，引导学生将“小红射箭的数量”记为x，将“小明射箭的数量”记为y，则有不等式x>y。
2. 基本概念接着，我们需要讲解不等式的基本概念与性质。
具体来说，讲解的内容应包括：1.不等式的符号及其含义。
2.不等式的加减乘除性质。
3.不等式的移项、合并和消去绝对值等基本方法。
为了方便学生理解，我们可以通过练习题来进行演示和讲解。
3. 实际应用为了加深学生对不等式的理解，我们可以引入实际生活中的问题，让学生通过解决实际问题来理解不等式的应用。
例如：“一家工厂每天生产3000件产品，如果员工的平均生产量不低于50件/天，那么至少需要多少员工才能完成生产任务？”通过这个问题，我们可以引导学生列出不等式$3000\\leq50x$，其中x表示员工的数量。
然后，通过移项和求商，得出$x\\geq60$，也就是需要至少60名员工才能完成生产任务。
4. 合作探究为了提高学生的团队合作能力与口头表达能力，我们可以将学生分为小组，让他们合作完成一道相应的不等式问题。
例如：“现在有1000元钱，要买3种物品，第一种物品每件150元，第二种物品每件100元，第三种物品每件50元。
高中数学 第三章 不等式 3.4 不等式的实际应用学案 新人教B版必修5
3.4 不等式的实际应用1．能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．2．了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数学意识和情感态度．1．例题中的结论若b ＞a ＞0，m ＞0，则a ＋m b ＋m ____a b. 另外，若a ＞b ＞0，m ＞0时，则有a ＋mb ＋m ＜______成立． 【做一做】已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小． 2．不等式解决实际问题的步骤(1)________：用字母表示题中的未知数．(2)__________：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．(3)______________：运用不等式知识求解不等式，同时要注意______________________________．(4)答：规范地写出答案．在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：一、解应用题的流程剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．(2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系．(3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化思维．二、常见的不等式实际应用类型剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种：(1)作差法解决实际问题作差法的依据是a －b ＞0⇔a ＞b ，其基本步骤是：①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．②作差，分析差的符号．③将作差后的结论转化为实际问题的结论．(2)应用均值不等式解决实际问题①均值不等式：a ，b ∈R ＋，a ＋b 2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．当ab ＝P (定值)，那么当a ＝b 时，a ＋b 有最小值2P ；当a ＋b ＝S (定值)，那么当a ＝b 时，ab 有最大值14S 2. ②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．(3)应用一元二次不等式解决实际问题用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：①理解题意，搞清量与量之间的关系；②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用．题型一 一元二次不等式的实际应用【例1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝120x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到0.01 km/h)?分析：由刹车距离直接代入关系式就会得到一个关于x 的一元二次不等式，解此不等式即可求出x 的范围，即汽车刹车前的车速范围．反思：解答不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型．防止在解答此题时不考虑实际意义而忘记舍去x ＜－88.94这一情况．题型二 利用均值不等式解应用题【例2】某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个等差数列，只需求出x 年的总费用(包括购车费)除以x 年，即为平均费用y .列出函数关系式，再求解．反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．题型三 易错辨析【例3】甲、乙两地水路相距s km ，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量p km/h ，船在静水中的最大速度为q km/h(q ＞p )．已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中的速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为k .(1)把全程燃料费用y (元)表示为船在静水中的速度v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为sv －p h ，则y ＝k ·v 2·sv －p ＝ks ·v 2v －p . 故所求函数为y ＝ks ·v 2v －p，其定义域为v ∈(p ，q ]． (2)依题意，k ，s ，v ，p ，q 均为正数，且v －p ＞0，故有ks ·v 2v －p ＝ks ·v 2－p 2＋p 2v －p＝ks (v －p ＋p 2v －p ＋2p )≥ks (2p ＋2p )＝4ksp ，当且仅当v －p ＝p 2v －p ，即v ＝2p 时等号成立．所以当船的实际前进速度为p km/h 时，全程燃料费用最少．错因分析：错解中船在静水中的速度v ＝2p km/h 应不超过q km/h ，事实上2p 与q 的大小关系并不明确，因此需分2p ≤q 和2p ＞q 两种情况进行讨论．1某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费，那么他家的建筑面积最多不超过( )．A ．70平方米B ．80平方米C ．90平方米D ．100平方米2一元二次不等式ax 2＋2x －1有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )．A ．{a |a ＞1}B ．{a |a ＜1且a ≠0}C ．{a |a ＜－1}D ．{a |a ＞－1且a ≠0}3某企业生产一种产品x (百件)的成本为(3x －3)万元，销售总收入为(2x 2－5)万元，如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为______(百件)．。
辽宁省庄河市高中数学 第三章 不等式 3.4 不等式的实
3.4不等式的实际应用一、自学教材，思考下列问题1、比较两实数大小的常用方法⒈实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设，将量与量间的关系变成或不等式组．⒉实际问题中的每一个量都有其，必须充分注意定义域的变化．3．由例1可以知道：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变。
若一个假分数呢？试证明之。
导学案一、学习目标（1）知识与技能：通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤。
（2）过程与方法：让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
（3）情感态度价值观：通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
二、学习过程（1）课内探究b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖，则糖水就变甜了，根据此事实提炼一个关系式，师：引例就是不等式在我们的生活中的实际应用，今天，我们一起来学习不等式的实际应用。
（引出课题） （2） 典型例题例⒈某工厂有一面14m 的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房。
工程条件是：①建1m 新墙的费用为a 元；②修1m 旧墙的费用为4a元；③用拆去1m 旧墙所得的材料建1m 新墙的费用为2a元。
现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x ≥14)。
问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？例2．有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？ 分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x 升第一次 ：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度xx 8- 第二次：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（xx 8-）4］， 中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的２８％解答：学生完成。
辽宁省庄河市高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法教案 新人教B版必修5
3.3 一元二次不等式及其解法（1）【教学目标】1．知识与技能: 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法: 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想． 【教学重、难点】重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法． 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系． 【教学过程】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 课本P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x -<．（1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．（2）探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式250x x -<的解集呢？ 探究：①二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120, 5x x == 二次函数有两个零点：120, 5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． ②观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当 0x <，或5x >时，函数图象位于x 轴上方，此时，0y >，即250x x ->； 当05x <<时，函数图象位于x 轴下方，此时，0y <，即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题． （3）探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：20ax bx c ++>，或20ax bx c ++< (0)a >．一般地，怎样确定一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集呢？ 组织学生讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：①抛物线与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况； ②抛物线2y ax bx c =++的开口方向，也就是a 的符号． 总结讨论结果：①抛物线 2y ax bx c =++(0)a >与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程20ax bx c ++=的判别式24b ac ∆=-三种取值情况(0∆>，0∆=，0∆<）来确定．因此，要分二种情况讨论．②0a <可以转化为0a >分0∆>，0∆=，0∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<(0)a >的解集．设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为1212x x x x ≤、且，24b ac ∆=-，例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集.解：因为0∆=，方程24410x x -+=的解是1212x x ==．所以，原不等式的解集是12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭． 评述：本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确． 变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)． 例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->． 解：整理，得2230x x -+<.因为0∆<，方程2230x x -+=无实数解， 所以不等式2230x x -+<的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅.评述：将2230x x -+->转化为2230x x -+<的过程注意符号的变化，这是解题关键之处，讲课要放慢速度．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：20A a x b x c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第1题 【板书设计】【教学后记】一元二次不等式及其解法（1）课前预习学案【知识准备】1．我们把 ，并且 不等式，称为一元二次不等式．2．不等式30ax +>的解集是 ．3．若将不等式20x bx c -++>的二次项系数化为正数，则不等式化为 ． 【预习内容】课本第76-78页．1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式． 2．探究方程的根与二次函数的零点的关系． 3．探究不等式250x x -<的解集． 【提出疑惑】1．不等式250x x -<与250x x ->的解集之间有什么关系？规律是什么？ 2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点为例进行探究．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？课内探究学案【学习目标】1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式． 【提出问题】1．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++<(0)a >？ 2．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a <？ 【合作探究】1．探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系．3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固．例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集． 变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)． 例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->． 变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．【反思总结】解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：20A a x b x c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根120x x x <=，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第1题课后练习与提高1．与不等式(3)(5)0x x +-<的解集相同的是（ ）A ．3050x x +>⎧⎨-<⎩B ．3050x x +<⎧⎨->⎩C ．5030x x ->⎧⎨+<⎩D ．3050x x +>⎧⎨->⎩2．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x >，则关于x 的不等式2023ax bx x +>--的解集为（ ）A ．{|213}x x x -<<->或B ．{|321}x x x -<<->或C ．{|123}x x x -<<>或D ．{|13}x x <-<或 3．集合{}2540A x x x =-+≤，{}2560B x x x =-+≥，则AB =（ ）A ．{|1234}x x x ≤≤≤≤或B ．{|1234}x x x ≤≤≤≤且C ．{1, 2, 3, 4}D ．{|4123}x x x -≤≤-≤≤或4．已知集合{}2320U x x x =-+≥，{}31A x x x =><或，则U C A = ． 5．不等式2228x x ≤-<的正整数解集为 ． 6．解下列不等式① (1)(3)52x x x --<-； ② 22(11)3(1)x x x +≥+)；③ 2(21)(3)3(2)x x x +-+＞ 答案：1．A 2．C 3．A 4．{|231}x x x ≤≤=或 5．{3}6．① {|24}x x x <>或；② 3{|1}2x x ≤≤；③ ∅一元二次不等式及其解法（2）授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想． 【教学重、难点】重点：熟练掌握一元二次不等式的解法难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】（1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 （2）一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到21139.520180x x +>移项整理得：2971100x x +->显然0>△，方程2971100x x +-=有两个实数根，即1288.94, 79.94x x ≈-≈．所以不等式的解集为{}|88.94, 79.94x x x <->或． 在这个实际问题中，0x >，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.评述：注意体会三个“二次”之间的关系． 变式训练：课本第80页练习2例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到 222206000x x -+>移项整理，得 211030000x x -+<因为1000=>△，所以方程211030000x x -+=有两个实数根1250, 60x x ==．由二次函数的图象，得不等式的解为：5060x <<． 因为x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．评述：教师板书图象的绘制过程，以起到示范作用． 变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第5题．例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．解：令2()28f x x x a =-+-由A B ⊆，及二次函数图象的性质可得 (1)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即12809680a a -+-≤⎧⎨-+-≤⎩，解之得95a -≤≤． 因此a 的取值范围是95a -≤≤．评述：留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系． 变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第3题．进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系． 【板书设计】【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题【教学后记】一元二次不等式及其解法（2）课前预习学案【知识准备】1．回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？ 【预习内容】课本第78-79页．1．尝试解答课本P78-79两个例题．2．进一步巩固一元二次不等式的解法步骤． 3．探究下面题目的解法例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．不等式250x x -<的解集． 【提出疑惑】1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼”，如何审题？ 2．解答应用题需要注意些什么？课内探究学案【学习目标】1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神． 【提出问题】1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？ 2．一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++>(0)a <的解集具有什么关系？【合作探究】1．例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系． 变式训练：课本第80页练习22．例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第5题．3．补充例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第3题． 【反思总结】1．熟练掌握一元二次不等式的解法；2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系． 【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题课后练习与提高1．若不等式20ax x a ++<（0a ≠）无解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1122a a ≤-≥或B ．12a <C ．1122a -≤≤ D ．12a ≥ 2．关于x 的不等式21mx mx m ++<的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(, 0)-∞B ．4(, 0)(, )3-∞+∞C ．(, 0]-∞D ． 4(, 0](, )3-∞+∞3．(1998年上海高考题)设全集U =R ，2{|560}A x x x =-->，{||5|}B x x a =-＜ (a 是常数)，且11∈B ，则（ ）A ．()U C AB =R B ．()U AC B =R C ．()()U U C A C B =R D ．AB =R4．若2()40f x ax ax =--<恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 5．若210ax bx +-<的解集为{|12}x x <<－，则a =________，b =________． 6．已知22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0, 2]上的最小值是3，求a 的值．。
高中数学 第三章 不等式 3.5.2 简单的线性规划学案(无答案)新人教B版必修5(2021年整理)
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§3.5.2 简单的线性规划问题【自主复习】二元一次不等式表示平面区域（1）.二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示直线l ：0Ax By C ++=一侧所有点组成的_____________，直线l 应画成____线,0Ax By c ++<，表示直线l 另一侧所有点组成的______。
画不等式0Ax By C ++≥()0≤所表示的区域时,应把边界直线画成_____线。
（2）.二元一次不等式组所表示的区域是各个不等式表示的平面点集的_____集即各个不等式所表示的平面区域的_________部分。
(3)。
线性规划问题就是_______________________________________【自主预习】已知点A （2,4），B （1，1）C(4，2）(1）写出AB,AC ，BC 的一般方程：AB ：____________________________； AC ：____________________________;BC:____________________________；（2）写出由ABC ∆的三条边围成的平面区域的约束条件（包括三角形的三条边）【学习过程】一．合作探究【问题一：】设2,z x y =+式中的,x y 满足上述约束条件，求z 的最大值和最小值。
人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用教学设计
人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用教学设计一、教学目标1.理解不等式在现实生活中的应用场景；2.掌握不等式的实际应用方法；3.学会将实际问题转化为数学问题，并利用不等式对其进行解答。
二、教学内容1.飞行器和升力的关系（P136-题目19）；2.瓶子的容积和重量的关系（P136-题目20）；3.调整物品流水线的长短（P137-题目25）。
三、教学过程1. 飞行器和升力的关系课前准备老师提醒学生飞机起飞时为什么会产生升力？学生活动学生请在家中或自习室观察一次飞机起飞时的情况，收集数据后登录电脑，在Excel表格中记录所有数据，并对数据进行分析。
最后，将数据输入数学模型中，解决问题。
解答问题老师引导学生通过数据分析，解决问题，为学生提供帮助。
学生可以使用手算或计算机，找到一个最小的升力可能。
2. 瓶子的容积和重量的关系课前准备老师提醒学生塑料瓶厚度和瓶子容积的关系。
学生活动学生要做一个塑料瓶的实验，测试不同厚度的瓶子重量和容积。
学生需要测量每个厚度的瓶子的重量和容积，并记录下来。
然后，学生需要将数据输入到Excel表格中，通过数据分析找出数据中的规律，并解决问题。
解答问题根据学生在课前准备中所做的实验和数据分析，学生可以将结果用公式表示并使用不等式进行计算。
最后，学生需要回答问题，例如什么样的塑料瓶重量和容积比较合适？3. 调整物品流水线的长短课前准备老师提醒学生作业中的知识点。
学生活动学生根据题目描述绘制物品流水线的示意图，并将其投影到一个横面的平面上。
根据问题中的条件，学生需要确定物品流水线的长度和宽度。
学生需要将数据录入Excel表格中，通过数据分析找出数据中的规律，并将其用公式表示并使用不等式进行计算。
解答问题通过数据分析，学生可以找到流水线的最佳长度和宽度。
最后，学生需要回答问题，例如多少长度可以完成多达不可能？四、教学评价1.参与度：学生是否参与活动，是否预备教材？2.学习效果：学生是否理解了课程内容？学生是否在以后的学习中运用了这些技能？3.作业效果：学生完成的作业质量如何？。
人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用课程设计
人教版高中必修5(B版)3.4 不等式的实际应用课程设计一、设计背景不等式是数学中的一个重要概念，在高中数学中占有非常重要的地位。
掌握不等式的解法和实际应用，可以帮助学生更好地了解数学的本质，提高数学分析和解决实际问题的能力。
本课程设计旨在帮助学生深入理解不等式的实际应用，提高学生的数学分析和解决实际问题的能力。
本文所设计的课程适用于人教版高中必修5(B版)中第3章不等式的实际应用。
二、教学目标通过本课程的学习和实践，学生应该能够掌握以下知识和技能：1.理解不等式的概念，掌握不等式的解法；2.掌握不等式在实际中的应用，能够灵活运用不等式解决实际问题；3.能够培养学生的数学思维和分析问题的能力；4.发展学生的团队合作和交流能力。
三、教学内容1.不等式的基本概念；2.不等式的解法；3.不等式在实际中的应用；4.分析和解决实际问题。
四、教学方法1.课堂讲授：通过讲授和演示，帮助学生掌握不等式的基本概念和解法；2.分组讨论：将学生分成小组，让他们合作解决实际问题，培养团队合作和交流能力；3.实践演练：让学生进行实践演练，巩固所学知识。
五、教学过程第一步：引入师生沟通交流，让学生了解本节课的主题和目标，明确学习的重点和难点。
第二步：讲授不等式的基本概念和解法1.不等式的基本概念：介绍不等式的定义和符号表示；2.不等式的解法：介绍不等式的加减法、乘除法等解法，通过例题演示不等式的解法。
第三步：讲授不等式在实际中的应用1.利用不等式求解实际问题：分析实际问题，引导学生运用不等式解决实际问题；2.实际问题的模型建立：通过实际问题建立数学模型，引导学生运用不等式解决实际问题。
第四步：分组讨论实际问题将学生分成小组，让他们合作解决实际问题，培养团队合作和交流能力。
第五步：巩固知识点让学生进行实践演练，巩固所学知识。
第六步：总结让学生总结所学知识和技能，明确掌握情况和不足之处，以便进行下一步的学习和进一步提高。
六、教学评价1.学生思考提出问题的能力；2.学生运用不等式解决实际问题的能力；3.学生的团队合作和交流能力；4.学生对数学的理解和分析问题的能力。
人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用课程设计 (2)
人教版高中必修5(B版)3.4不等式的实际应用课程设计一、课程目标本课程设计旨在让学生通过学习不等式的实际应用问题，掌握不等式求解的基本方法，提高解决实际问题的数学能力。
二、教学内容1.不等式的实际应用问题2.不等式的解法和思路3.实际问题的数学建模和求解三、教学重难点教学重点：让学生掌握不等式的解法和实际问题的数学建模方法。
教学难点：让学生学会将实际问题转化为数学问题，以及解决复杂问题的能力。
四、教学方法本课程以教师讲解和学生自主探究相结合的方式进行。
教师将通过例题和实际问题的分析，让学生了解不等式求解的基本思路和方法。
然后将学生分组进行自主探究，通过分析实际问题，设计数学模型，并求解问题。
五、教学过程1. 导入环节教师通过举例引入不等式的实际应用问题，让学生了解不等式求解的重要性和应用价值。
2. 理论授课2.1 不等式的解法和思路教师通过例题，讲解不等式的解法和思路，包括不等式的化简、移项和配方法等。
2.2 实际问题的数学建模和求解教师通过分析实际问题，讲解如何将实际问题转化为数学问题，并设计数学模型和求解问题的方法。
3. 自主探究学生分组进行自主探究，选择一个实际问题，进行数学建模，并求解问题。
教师在学生探究的过程中，给予适当的指导和帮助。
4. 总结归纳学生根据自己的探究结果，进行总结和归纳，让学生了解如何将数学知识应用到实际问题中。
5. 课后作业学生需要根据老师的安排，进行实际问题的解答和报告。
六、板书设计不等式的解法和思路1.化简2.移项3.配方法实际问题的数学建模和求解1.将实际问题转化为数学问题2.设计数学模型3.求解问题七、教学评估1. 学生评估教师可通过作业和报告，来评估学生对于不等式的实际应用问题解决能力。
2. 教师评估教师可通过课堂表现、自主探究的情况、作业和报告，来评估学生的综合能力。
八、教学资源本课程需要的教学资源包括黑板、粉笔、教科书以及实际应用问题的材料等。
九、拓展延伸本课程可以延伸至其他数学应用问题的解决方法，如代数方程求解、函数图像分析等，能够在一定程度上提高学生的数学综合能力。
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3.4不等式的实际应用一、自学教材，思考下列问题1、比较两实数大小的常用方法⒈实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设，将量与量间的关系变成或不等式组．⒉实际问题中的每一个量都有其，必须充分注意定义域的变化．3．由例1可以知道：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变。
若一个假分数呢？试证明之。
导学案一、学习目标（1）知识与技能：通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤。
（2）过程与方法：让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
（3）情感态度价值观：通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
二、学习过程（1）课内探究b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖，则糖水就变甜了，根据此事实提炼一个关系式，师：引例就是不等式在我们的生活中的实际应用，今天，我们一起来学习不等式的实际应用。
（引出课题） （2） 典型例题例⒈某工厂有一面14m 的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房。
工程条件是：①建1m 新墙的费用为a 元；②修1m 旧墙的费用为4a元；③用拆去1m 旧墙所得的材料建1m 新墙的费用为2a元。
现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x ≥14)。
问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？例2．有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？ 分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x 升第一次 ：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度xx 8- 第二次：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（xx 8-）4］， 中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的２８％解答：学生完成。
由例1、例2归纳出解不等式应用题的一般步骤:例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．（1）设n 年内（本年度万第一年）总投入万a n 万元，旅游业总收入万b n 万元，写出a n 、b n 的表达式。
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（3） 当堂检测⒈某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{a n }，n=1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P 1，第三年比第二年增长的百分率万P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，且P 1＋P 2＋P 3＝1。
给出以下数据⑴72，⑵52，⑶31，⑷21，⑸32，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是（ ）Ａ．⑴⑵ Ｂ．⑴⑶ Ｃ．⑵⑶⑷ Ｄ．⑵⑸⒉用一张钢板制作一个容积为4m 3的无盖长方体水箱，可以用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m ）。
若既要够用，分割的块数不超过5，又要所剩最少，则应选择的钢板的规格是（ ）Ａ．2×5 Ｂ．2×5.5 Ｃ．2×6.1 Ｄ．3×5 3光线透过一块玻璃，其强度要减弱101，要使光线的强度减弱到原来的31以下，至少需要这样的玻璃板__________块（lg2=0.3010,lg3=0.4771）．4、某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本。
如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是多少？5、某工人共加工300个零件。
在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务。
问改进操作方法前，每天至少要加工多少个零件？（4） 课堂小结拓展案一．选择题：1.某工厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂家正在改造建设，一月份投入建设资金恰好与一月份利润相等，随着投入资金的逐月增加且每月增加的百分比相同，到12月投入资金又恰好与12月生产利润相同，问全年总利润W 与全年总投入N 的大小关系是（ ）Ａ．W>N Ｂ．W<N Ｃ．W=N Ｄ．不能确定2.生物学指出，生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10％～20％的能量转入到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中，若能使H 6获得10kj 的热量，则需要H 1最多可提供的能量是（ ）Ａ．104kj Ｂ．105kj Ｃ．106kj Ｄ．107kj 3.某商场对顾客实行购物优惠，规定一次购物付款总额：⑴如果不超过200元，则不予优惠；⑵如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；⑶如果超过500元，500元按⑵条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是（ ）元。
Ａ．413.7 Ｂ．513.7 Ｃ．546.6 Ｄ．548.7 二．填空题：4.Rt △ABC 斜边长c=1，那么它的内切圆半径r 的最大值为___________．5.已知ab=1000，a>1，b<1，则b a lg 1lg 1+++的最大值是____________． 三．解答题：6.某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80），每天销售的件数为P ＝25)40(10-x ，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？．7.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可以利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。
⑴现有可围36m 长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？⑵若使每间虎笼面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少参考答案：【一试身手】1．未知数；不等式 2．实际意义；3．大；一个正的假分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变小。
【典例解析】例1． 设利用旧墙的一面矩形边长为x ，则矩形的另一边长度为x126（1）利用旧墙的一段x(x<14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为x 4a∙，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x) 2a ∙，其余的建新墙，费用为（2x+a x∙-⨯)141262 ∴总费用为y= x 4a ∙+(14-x) 2a ∙+（2x+a x ∙-⨯)141262=7a(a xx 35)1364≥-+，当且仅当x=12时等号成立，且此时12<14。
（2) 利用旧墙的一段x(x ≥14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为144a∙，建新墙的费用为（2x+a x ∙-⨯)141262∴总费用为y= 144a ∙+（2x+a x∙-⨯)141262其中，x≥14。
∵xx 126+在x>126时为增函数，∴x>12时，函数增∵x ≥14∴最小值在x=14处取得，此时y=35.5a 。
例2．参考教材。
例3．解析：（1）n 年内总投入为a n =800+800(1-51)+…＋8001)511(--n =4000[1-n)54(]。
n 年内总收入为b n =400+400(1+41)+…＋4001)411(-+n =1600[1)45(-n]。
（2）b n >a n ，即1600[1)45(-n ]>4000[1-n )54(]，设n )54(=x 则5x 2-7x+2>0∴x<52,x>1（舍）即n )54(<52∴n ≥5。
故至少5年。
当堂检测1．B ； 2．C ； 3．11；4．解：设这种书的最高定价应当为x 元？由题意得：[80000-(x-2.5)×20000] ×x ≥200000, 解得：542x ≤≤，所以最高定价为4元。
5．解：设每天至少要加工x 零件？ 由题意得：1002002015x x +<+解得：x >x <-， 设每天至少要加工9个零件。
【课后拓展】一、 1．A ； 2．C ； 3．C 二、 4．212-； 5．10；三、6．解析：利用L ＝(x-50)25)40(10-x = (x-50)100)50(20)50(1025+-+-x x =2050100)50(105+-+-x x ∵x-50>0∴L ≤25002020105=+，当且仅当x=60（舍去x=40）时等号成立。
7．解析：（1）设每间虎笼长为x ，宽为y 则依题意得，4x+6y=36即2x+3y=18。
设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy 。
∵18＝2x+3y ≥2xy y x 6232=∙∴S ≤227当且仅当2x=3y ，即x=4.5，y=3时等号成立。
(2)由条件S ＝xy=24，设钢筋总长为L ，则L ＝4x+6y ≥2xy y x 6464=∙＝48，当且仅当x=6,y=4时等号成立。