排列组合中几个易混淆问题辨析

排列组合中几个易混淆问题辨析
文章来源：现代教育报·思维训练作者：王强芳点击数：1583 更新时间：2007-4-12 14:25:58
１. 分组问题
分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.
１.1 非平均分组问题
在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.
【例１】把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.
（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.
（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.
解：（１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有种不同的分组方法.
（2）先从１２人中任选７人为一组有种选法，再从余下５人中任选３人有种选法，剩下的２人为一组，共有种不同的方法.
【点评】由于各组人数不同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，而第（２）个问题只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的.
易错点：误把（１）的结果表示为
１.2 平均分组问题
上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的.
【例２】有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？
（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.
（２）平均分成三份.
解：（１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有＝９０种分法.
（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有
∴＝１５种不同的分法.
【点评】上面例子可以看出：两个问题都是分成３堆，每堆２本，属于平均分组问题，而（１）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（２）没有给出组名，因而结果是不同的.
一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有种分法.
易错点：错把（１）的结论写为错把（２）的结论写为
１.3 局部平均分组问题
某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.
【例３】（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？
（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？
解析：我们先来研究：“两个无区别的白球与两个无区别的红球排成一排的方法数”问题.
如果这４个球各不相同，则有种排法，由于白球和红球各有种排法，因此两个白球与两个红球排成一排的
排法有种，下面来解决上述问题.
（１）可按下面步骤完成：先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即
有种.
（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因
此，所求的分法数为种.
【点评】两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有
种分配方法，然后把它分给４个人.
在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？
该问题的分法有种分法.
易错点：误把（２）中的结论表示为.
因此，在解决分组问题中，要弄清以下几点：①分配对象是否明确（组名是否给出）？
②是否平均分配？
③是否局部平均分配？
④分配中有无顺序关系？
２. 挡板模型与分组问题
挡板模型是解决排列组合问题的常用方法之一，且效果极佳，但有些分配问题如果不加分析而乱套挡板模型，则极易出现误解.
【例４】５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？
错解：把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.
错因：５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：把５个名额分配给３个班，每班至少有１人.问有几种不同的分法？５个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.
正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有和种，再分到三个
班里，共有＝１５０种.
【点评】类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.
3. 挡板模型与双排问题
在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.
【例５】从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？
错解：选把１０个指标排好，插入９块挡块：０|０|０|０|０|０|０|０|０|０
然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有＝１２６种分法.
错因：问题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班…
正解：因为把１０个指标分成５个部分，只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个元素.当这些元素都有区别时共有种排法.
但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有＝１００１种不同分法（或）.
【点评】当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.
两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的高考中时有出现，应予以重视.。