南通市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案)

南通市通州区2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试题
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin α的值为（）
A.
35
B.35
-
C.
45
D.45
-
2.已知集合{{},ln A x
y B x y x ====∣∣，则A B ⋂等于（
）
A.(]0,1
B.[
)1,∞+ C.[]
0,1
D.{}
13.“2,6k k Z παπ=+
∈”是“1
sin 2
α=”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.心理学家经常用函数()(
)1e kt
L t A -=-测定时间t （单位：min ）内的记忆量L ，其中A 表示需要记忆的
量，k 表示记忆率.已知一个学生在5min 内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆
率k 约为（）()ln0.90.105,ln0.1 2.303≈-≈-A.0.021
B.0.221
C.0.461
D.0.661
5.已知22tan sin 2αα-=，则2tan sin α的值为（）
A.3
B.
13
C.2
D.
12
6.将函数sin y x =的图象向右平移
3
π
个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y f x =的图象，则()f x 的解析式为（）A.sin 23x π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭ B.sin 26x π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭C.1
cos 26x π⎛⎫+
⎪
⎝⎭ D.1
5cos 2
6x π⎛⎫-
⎪
⎝⎭7.已知函数()f x 的定义域为1,2f x ⎛⎫+
⎪⎝
⎭R 为偶函数，()f x 在1,2∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
上单调递增，则不等式()()11f x f +>-的解集为（
）
A.()
2,∞-+ B.()
,2∞-- C.()()
,21,∞∞--⋃+ D.()
2,1-8.设34log 4log 3,345a
a
b
a =++=，则（
）
A.2a b >>
B.2a b >>
C.2
b a >> D.2b a
>>二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分..
9.已知幂函数()y f x =的图象经过点()4,2P ，则（）
A.()x
f x = B.()f x 的定义域为[
)0,∞+C.()f x 的值域为[)0,∞+ D.()2
f x x >的解集为()
0,110.下列命题正确的是（）
A.若a b >，则22a b >
B.若lg lg a c b c >，则a b >
C.若0a b <<，则
11a b > D.若c a b >>，则
a b
c a c b
>
--11.关于x 的不等式()()10a x x a --<的解集可能是（）
A.()()
,1,a ∞∞-⋃+ B.()()
,1,a ∞∞-⋃+ C.()
1,a D.∅
12.对于任意两个正数,()u v u v <，记曲线1
y x
=
与直线,,x u x v x ==轴围成的曲边梯形的面积为(),L u v ，并约定(),0L u u =和()(),,L u v L v u =-，德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）最早发现()1,ln L x x =.关于
(),L u v ，下列说法正确的是（
A.()11,4,842L L ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
B.(
)
()
100
1002
,31002,3L L =C.()
,u
u
L u v
v u
>- D.()2,v u L u v u v
<
-三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知扇形的周长为6，圆心角为1rad ，则该扇形的面积为__________.
14.已知函数()21
log ,0,1,0,2x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫
⎪⎪⎝⎭
⎩ 若()()1f f x =，则x 的值为__________.15.已知(
)
1cos 753
α+=
，且18090α-<<- ，则()
cos 15α-
的值为__________.16.设函数()()
21f x x x =-+，则()f x 在R 上的最小值为__________；若()f x 的定义域与值域都是
[],a b ，则a b +=__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步聚.
17.（10分）求值：
（1）()213
22
2749(3)38π-⎛⎫--⨯+- ⎪
⎝⎭
；.
（2）23ln 2lg0.001(lg5)lg2lg50e +++.
18.（12分）
已知{
}
}
2
650,10A x
x x B x ax =-+=-∣∣ .（1）若1
2
a =
，求()R A B ⋂ð；（2）从①()
R B A ⋃=R ð；②A B A ⋂=；③()
R A B ⋂=∅ð这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若__________，求实数a 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）已知tan 2α=，求()()
cos 2sin cos 2πααπα⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
-+-的值.（2）已知1sin cos ,32παααπ+=
<<，求1
1sin cos αα
-的值.20.（12分）
已知函数()2sin 214f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭（1）求函数()f x 的最小正周期､图象的对称中心及其单调减区间；（2）求函数()f x 在,42ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最值及其对应的x 的值.
已知函数()(01)x
x
f x a ma a -=+<<是奇函数.
（1）求实数m 的值；
（2）已知不等式()()
2
1
22f nx n x a a
-++-
对任意[]2,2x ∈-都成立，求实数n 的取值范围.22.（12分）
已知指数函数()f x 满足()()112f f -=.（1）求()f x 的解析式；
（2）设函数()()()2g x f x kf x =+，若方程()()100g x g x +-+=有4个不相等的实数解1234,,,x x x x .①求实数k 的取值范围；②证明：12344x x x x +++<.
2022～2023学年（上）高一期末质量监测
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1～4 D A A A 5～8 C D C A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．BCD 10．AC 11．ACD 12．ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2 14．0或4
15． 16．94
−；2−54− 四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（10分） 解：（1）()
()
()0
212
3
2
27493π38
−−−⨯+−193171944=−⨯+=．
（2）()2
3ln 2lg0.001lg5lg 2lg50e ++⨯+
()()2
3ln8lg10lg5lg 21lg5e −=++⨯++
()3lg5lg5lg 2lg 28=−+⨯+++ 3lg5lg 28=−+++
3186=−++=． 18．（12分）
解：（1）{}{}26505A x x x x x =−+=≤1≤≤，
当12
a =时，{}
{}1
1022B x x x x =−=≥≥，
所以{}2x B x =<R ð， 所以(){}12x A
B x =<R
≤ð．
（2）选① 因为()B
A =R
R ð，所以A B ⊆．
② 因为A B A =，所以A B ⊆．
③ 因为()A
B =∅R
ð，所以A B ⊆．
数学试卷 第 2 页（共6页）
当0a =时，B =∅，不符合题意，舍；
当0a <时，{}1
B x x a =≤，不符合题意，舍；
当0a >时，{}1
B x x a =≥，
因为A B ⊆，所以1
a ≤1，解得a ≥1．
19. （12分）
解：（1）
()
()()sin cos 2sin tan cos 2sin cos sin cos tan 1
sin cos 2cos cos πα
ααααααααααπααα
+−−=====−+−−+−−+． （2）因为1
sin cos 3
αα+=，
所以()2
1
sin cos 9
αα+=，
即1
12sin cos 9
αα+=，
所以sin cos 4
9
αα=−，
所以()2
17
sin cos 12sin cos 9
αααα−=−=．
因为2
απ<<π，
所以cos sin αα−=
所以11cos sin 3sin cos sin cos 4
9
αααααα−−==
− 20．（12分）
解：（1）函数()f x 的最小正周期2ππ2
T ==．
令π2π4
x k k Z +
∈=，， 解得1π
π28
x k −=，
所以函数()f x 图象的对称中心为()
1ππ128
k k Z −∈，
，． 令ππ3π2π+22π+242
k x k k Z +∈≤≤，，
解得 π5π
π+π+88
k x k ≤≤，
所以函数()f x 的单调减区间为π5ππ+π+()88k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， （2）当ππ
42x −≤≤时，ππ5π2444x −+≤≤，
因为函数sin y x =在ππ42⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在π5π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上单调递减， 所以当ππ244
x +
=−或π52π44x +=，即π4x =−或π2时，()f x 取最小值为
1−
当ππ
242
x +
=，即π8x =时，()f x 取最大值为π()38f =．
21．（12分）
解：（1）方法1：函数()f x 的定义域为R ，
因为函数(01)()x x ma f x a a −=+<<是奇函数，
所以()()f x f x −=−，
所以x x x x a ma ma a −−+=−−，
所以()(1)0x x
a a m −++=，
因为0x x a a −+>，
所以1m =−． 方法2：函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，
所以(0)0f =，解得1m =−， 此时()x x f a x a −=−，
所以)(()x x f f a a x x −−−−==，
所以1m =−符合题意．
（2）()21
(2)2f nx n x a a
−++−≤化为
()2(2)2(1)f nx n x f −++−≤， 因为01a <<，
所以函数()f x 是R 上的减函数，
所以2(2)21nx n x −++−≥，
所以2(2)30nx n x −++≥．
设[]2()(2)322g x nx n x x =−++∈−，
，，则 ()0g x ≥在[]22−，
上恒成立． 由(2)210g n =−≥，得12n ≥． 所以()g x 的对称轴20
2n x n
+=
>，
①2122
22(2)120n n n n n ⎧⎪⎪⎪+⎨⎪
=+−⎪⎪⎩
≥，≤，△≤，
解得2
43
n +≤≤
②122
22(2)210n n n g n ⎧⎪⎪⎪+>⎨⎪
=−⎪⎪⎩
≥，，≥， 解得12
23
n <≤．
综上142
n +≤≤ 所以实数n
的取值范围为142⎡+⎢⎣，．
22．（12分）
解：（1）设()(01)x f x a a a =>≠且，则 1(1)(1)2f f a a
−−=−=，
解得()
11a =． （2）①由（1
）得，()1)x f x =+
，21)(1))x x k g x =++，
所以方程0(0)()1g g x x +−+=化为
221)1)1)1)100x x x x k k −−++++++=，
2
1)1)1)1)80x x x x k −−⎡⎤⎡⎤+++++=⎣⎦⎣⎦，（※）
令1)1)x x t −=++，
则2t ≥，当且仅当0x =时等号成立，
又该函数为偶函数，且在[)0+∞，上单调递增．
由（※）得，280t kt ++=，
因为（※）有四个不相等的实数解，
所以方程280t kt ++=有两个大于2的不相等的实数解，记作12t t ，
． 设2()8g t t kt =++，则 232022(2)2120k k g k ⎧=−>⎪⎪
−>⎨⎪=+>⎪⎩△，
，，
解得6k −<<−，
所以实数k
的取值范围为(6−−，．
②不妨设方程0(0)()1g g x x +−+=的实数解1234x x x x ，
，，满足1234x x x x <<<，
因为函数()1)1)x x t x −=++为偶函数，
所以413200x x x x =−>=−>，
，
不妨设3311)1)x x t −=++
，4421)1)x x t −=++． 由①得128t t =，
即3344
1)1)1)1)8x x x x −−⎡⎤⎡⎤+++=⎣⎦⎣⎦，
所以343434431)1)1)1)8x x x x x x x x +−−−−++++=，
因为34431)1)2x x x x −−+>，
所以34341)1)6x x x x +−−++<，
令341)x x m +=+，得16m m
+< 所以2610m m −+<，
所以3m <+，即341)3x x +<+
所以(34
1)log 32x x +<+=，
因为413200x x x x =−>=−>，
， 所以()12343424x x x x x x +++=+<．。