3.1.3导数的几何意义(课件2)

A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＝f′(xB)
C．f′(xA)＜f′(xB)
D．f′(xA)与 f′(xB)大小不能确定
图 3－1－2
【解析】 由 y＝f(x)的图象可知，kA＞kB，根据导数的几何
意义有：f′(xA)＞f′(xB)．【答案】 A
题目类型二、求曲线的切线方程
例 2、 (1)求曲线 y＝x2＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程． (2)求过点(－1,0)与曲线 y＝x2＋x＋1 相切的直线方程． 【思路探究】 (1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何 求切线方程？若不是切点该怎么办？
2．第 1 题图中割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－ －fx0x0，当点 Pn 无 限趋近于点 P 时，此斜率与切线 PT 的斜率有何大小关系？
【提示】 kn 无限趋近于切线 PT 的斜率．
1．设点 P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线 y＝f(x)上不同的点， 当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0)) 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为 过点 P 的 切线 ，且 PT 的斜率 k＝ fxxnn－ －fx0x0＝f′(x0) ．
＝lim [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2. Δx→0
从而得切线的斜率 k＝3x20， 故切线方程为 y－y0＝3x20(x－x0)．
将点 P(1,1)代入，得 2x30－3x20＋1＝0， 即(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得 x0＝1 或 x0＝－12. 则 y0＝1 或 y0＝－81， 从而切线方程为 y＝3x－2 或 3x－4y＋1＝0.
y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx2－x2＝Δlixm→0
2x·Δx＋Δx2 Δx
＝lim (2x＋Δx)＝2x. Δx→0
∴y′|x＝x0＝2x0，
又由切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
∴2x0＝4，∴x0＝2， ∵P(2，y0)在抛物线 y＝x2 上，∴y0＝4，
是一个 确定的数 ；当 x 变化时，f′(x)是 x 的一个函数，称为 f(x)
fx＋Δx－fx
的导函数，即 f′(x)＝wk.baidu.com′＝Δlixm→0
Δx .
【问题导思】 导函数 f(x)与函数在 x＝x0 处的导数 f′(x0)相同吗？它们有 什么区别与联系？ 【提示】 不相同．(1)两者的区别：由导数的定义知，f′(x0) 是一个具体的值，f′(x)是由于 f(x)在某区间 I 上每一点都存在导 数而定义在 I 上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值， 后者是函数．
3．若 f′(x)是在区间(a，b)上的增函数，则 f(x)的图象是向 下凸的，如题中图 A.若 f′(x)在(a，b)上是减函数，则 f(x)的图 象是向上凸的，如题中图 B.若 f′(x)是在区间(a，b)上的常函数， 则 f(x)图象是一条线段，如题中图 C.
【变式训练】
已知 y＝f(x)的图象如图 3－1－2 所示，则 f′(xA)与 f′(xB) 的大小关系是( )
(2)尽管点 P(1,1)在曲线上，但切点是否为 P(1,1)，答案不一
定．为此我们应该设出切点 Q(x0，y0)，则 y0＝x30.
由 y′＝f′(x)＝lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
x＋Δx3－x3 Δx
＝ lim Δx→0
x3＋3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3－x3 Δx
【自主解答】 因为函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)在[a， b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处 的切线斜率是逐渐增大的，只有 A 选项符合．
【答案】 A
【规律方法】 1．f′(x0)即为过曲线 y＝f(x)上点 P(x0，f(x0))切线的斜率． 2．若曲线 y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零， 可以判断曲线 y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数 y＝f(x) 在(a，b)上单调递增．而若 y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都 小于零，则函数 y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x) 在(a，b)单调递减．当函数 y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零 时，函数 y＝f(x)的图象应为垂直于 y 轴的直线的一部分．
2．导数 f′(x)，是针对某一区间内任意点 x 而言的，函数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一 个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f′(x0)，根据函数的定 义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数 f(x)的导 函数 f′(x).
1．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
＝ lim Δx→0
[2x0＋Δx2－7]－2×x20－7 Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx)＝4x0.
由于 2×32－7＝11≠9，故点 P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0， 故所求的切线方程为 y－y0＝4x0(x－x0)． 将 P(3,9)及 y0＝2x20－7 代入上式，得
【规律方法】 1．求曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线方程的步骤为： (1)求出 P 点的坐标(x0，f(x0))； (2) 求 出 函 数 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 导 数 f′(x0) ＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝k，得到曲线在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率； (3)利用点斜式写出切线方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
【变式训练】 已知曲线 C：y＝x3.求： (1)曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程； (2)(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
【解】 (1)将 x＝1 代入曲线 C 的方程，得 y＝1，
∴切点为 P(1,1)．
∵y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
x＋Δx3－x3 Δx
【自主解答】 (1)y′＝lim Δx→0
x＋Δx2＋x＋Δx＋1－x2＋x＋1 Δx
＝2x＋1，∵(1,3)在曲线上， ∴切线斜率 k＝y′|x＝1＝2×1＋1＝3. ∴所求切线方程为 y－3＝3(x－1)，即 3x－y＝0.
(2)y′＝2x＋1，∵点(－1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0， y0)，
第三章 导数及其应用
§3.1 变化率与导数
3.1.3 导数的几何意义
知识点一、导数的几何意义 【问题导思】 1．如图，当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线 f(x)趋近 于点 P(x0，f(x0))时，割线 PPn 的变化趋势是什么？
【提示】 点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于过点 P 的 切线 PT.
则切线斜率为 k＝2x0＋1＝x0y＋0 1. ∵y0＝x20＋x0＋1，∴x0＝0 或 x0＝－2. 当 x0＝0 时，切线斜率 k＝1，过(－1,0)的切线方程为 y－0 ＝x＋1，即 x－y＋1＝0， 当 x0＝－2 时，切线斜率 k＝－3，过(－1,0)的切线方程为 y －0＝－3(x＋1)，即 3x＋y＋3＝0， 故所求切线方程为 x－y＋1＝0 或 3x＋y＋3＝0.
说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－
2，－8).
错把所给点当作切点致误
例、已知曲线 y＝2x2－7，求曲线过点 P(3,9)的切线方程．
【错解】
f′(3)＝ lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
[23＋Δx2－Δ7]x－2×32－7＝Δlixm→0
(12＋2Δx)＝12.
9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)． 解得 x0＝2，或 x0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为 8x－y－15＝0，或 16x－y－39＝0.
1．函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x) 在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率．也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0)，相应地，切线的方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)两者的联系：在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函数值，因此是函数在某一点处的导数.
题目类型一、导数几何意义的理解
例 1、 若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， 则函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
【思路探究】 (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导 函数在区间[a，b]上是增函数，说明 y＝f(x)图象的切线有什么特 点？
2．函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y ＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处 切线的斜率 ，在点 P 的切线方程为y－ f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ．
知识点二、导函数的概念
从求函数 f(x)在 x＝x0 处导数的过程看到，当 x＝x0 时，f′(x0)
＝ lim Δx→0
3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3 Δx
＝lim [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2， Δx→0
∴y′|x＝1＝3. ∴过 P 点的切线方程为 y－1＝3(x－1)，
即 3x－y－2＝0.
(2)由3y＝x－x3y，－2＝0
可得(x－1)2(x＋2)＝0，
解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为 P(1,1)或 P(－2，－8)．
2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程时需要注意两类 问题．
(1)求曲线在点 P 处的切线方程(此时点 P 为切点)； (2)求曲线过点 P 的切线方程，此时点 P 不一定是切点． 对于过点 P 作曲线的切线(或曲线 y＝f(x)过点 P(x0，f(x0))的 切线)这类问题，无论点 P 在曲线上，还是不在曲线上，我们都 要设出切点，否则极易漏解．
故切线斜率为 12.
由直线的点斜式方程，得切线方程为 y－9＝12(x－3)，
即 12x－y－27＝0.
【错因分析】 点 P 不是切点，故切线斜率不是在 x＝3 处的导数．
【防范措施】 求曲线的切线方程时，一定要判断所给点
是否为切点，否则极易出错．
【正解】
f′(x0)＝ lim Δx→0
Δy Δx
题目类型三、导数几何意义的综合应用
例 3、 抛物线 y＝x2 在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，求 P 点的坐标及切线方程．
【 思 路 探 究 】 设切点Px0，y0 → 求导数y′＝f′x → 由k＝4，求x0 → 确定切点Px0，y0 → 求切线方程
【自主解答】 设 P 点坐标为(x0，y0)，
【变式训练】 (1)求曲线 y＝1x在点 A(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方 程． (2)过点 P(1,1)作曲线 y＝x3 的切线，求此切线方程．
【解】 (1)∵Δy＝f(21＋Δx)－f(21) ＝1＋22Δx－2＝1－＋42ΔΔxx， ∴ΔΔyx＝1＋－24Δx， ∴切线的斜率 k＝y′|x＝12＝Δlixm→0 1＋－24Δx＝－4. ∴切线方程为 y－2＝－4x－12，即 4x＋y－4＝0.
3．(1)曲线 y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关． (2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个， 甚至可以有无穷多个，如图所示．
(3)若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线 l 的倾斜角为π2，那 么切线平行于 y 轴，导数不存在．依据切线的定义直接得切线 方程为 x＝x0.
∴点 P 的坐标为(2,4)，
∴切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
【规律方法】 1．导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求 斜率，反过来，已知斜率也可以求切点． 2．导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求 导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最 值、斜率的范围等关系求解相应问题．