八年级数学人教版(上册)小专题(十一)等腰直角三角形常见的解题模型
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第十三章 轴对称
小专题(十一) 等腰直角三角形常见的解题模型
模型 1 等腰直角三角形＋斜边的中点，常连接直角顶点和斜 边中点
如图，在等腰 Rt△ABC 中，D 为斜边的中点，则连接 AD⇒AD ＝BD＝DC，∠B＝∠DAF＝45°.常结合已知条件，通过证明△BDE ≌△ADF 或△ADE≌△CDF 得出相关结论.
【变式】 将第 3 题中的“∠AEB＝45°”改为“∠AEC＝ 135°”，第 3 题中的结论还成立吗？并说明理由.
解：第 3 题中的结论仍然成立. 理由：如图，过点 A 作 AF⊥AE，交 CE 的延长线于点 F， 则∠BAE＝90°＋∠CAE＝∠CAF. ∵∠AEC＝135°， ∴∠AEF＝45°.
1.如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点， E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BE＝AF.求证：△DEF 为等腰直 角三角形.
证明：连接 AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 BC 的中点， ∴AD＝BD＝CD，且 AD 平分∠BAC． ∴∠BAD＝∠CAD＝45°＝∠B．
模型 2 变式 等腰直角三角形及 8 字模型中只有一个直角，过 等腰直角三角形的顶点作垂线段构造直角
如图，已知等腰 Rt△ABC，∠AEB＝45°，常过点 A 作 AF⊥ AE，则∠FAE＝90°，∠1＝∠2.
3.(T2 变式)如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， AB＝AC，D 是 AC 上一点.若∠AEB＝45°，求证：CE⊥BD．
∵∠BAD＝∠CED＝90°，∠ADB＝∠EDC，
∴∠ABF＝∠ACE. AB＝AC，
在△ABF 和△ACE 中，∠ABF＝∠ACE， BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE(SAS).
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE. ∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝∠BAF＋∠CAF＝∠BAC＝90°.
∴△AEF 是等腰直角三角形. ∴∠AEB＝45°.
∴△AEF 为等腰直角三角形，AE＝AF. AB＝AC，
在△BAE 和△CAF 中，∠BAE＝∠CAF， AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS).
∴∠BEA＝∠CFA＝45°.
∴∠BEC＝∠AEC－∠BEA＝135°－45°＝90°.
∴CE⊥BE.
证明：过点 A 作 AF⊥AE 交 BE 于点 F，∴∠EAF＝∠BAC＝90°. ∴∠BAF＝∠CAE. ∵∠AEB＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF. ∴AE＝AF. 又∵BA＝CA， ∴△ABF≌△ACE(SAS).
∴∠ABE＝∠ACE. 又∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠BEC＝∠BAC＝90°. ∴CE⊥BD．
∴AD＝BD，AD⊥BC．∴∠DAC＝∠ABD＝45°. ∴∠DAF＝∠DBE＝135°. 又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE(SAS). ∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB． ∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°. ∴△DEF 仍为等腰直角三角形.
模型 2 等腰直角三角形＋8 字模型中有两个直角，常用截长补 短法构造全等三角形
在△BDE 和△ADF 中，
BD＝AD， ∠B＝∠DAF， BE＝AF， ∴△BDE≌△ADF(SAS).
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
∵∠BDE＋∠ADE＝90°， ∴∠ADF＋∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°.
∴△EDF 为等腰直角三角形.
【变式 1】 如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E，F 分别在 AC，AB 上，且 DE⊥DF.试判断 DE，DF 的数量关系，并说明理由.
解：DE＝DF，理由如下：
连接 AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点， ∴CD＝AD，∠C＝∠DAF＝45°，AD⊥CD． 又∵DE⊥DF， ∴∠CDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°.
∴∠CDE＝∠ADF. ∠C＝∠DAF，
在△CDE 和△ADF 中，CD＝AD， ∠CDE＝∠ADF，
∴△CDE≌△ADF(ASA).
∴DE＝DF.
【变式 2】 如图，若 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，仍 有 BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？ 证明你的结论.
解：△DEF 仍为等腰直角三角形. 证明：连接 AD， ∵AB＝AC， ∴△ABC 为等腰三角形. ∵∠BAC＝90°，D 为 BC 的中点，
如图，已知等腰 Rt△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°.若 BE⊥ CE，则有∠1＝∠2.常通过在 BE 上取点 F，使得 BF＝CE⇒△ABF ≌△ACE.
2.如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，
D 是 AC 上一点.若 CE⊥BD 于点 E，连接 AE，求证：∠AEB＝45°. 证明：在 BE 上截取 BF＝CE，连接 AF.
小专题(十一) 等腰直角三角形常见的解题模型
模型 1 等腰直角三角形＋斜边的中点，常连接直角顶点和斜 边中点
如图，在等腰 Rt△ABC 中，D 为斜边的中点，则连接 AD⇒AD ＝BD＝DC，∠B＝∠DAF＝45°.常结合已知条件，通过证明△BDE ≌△ADF 或△ADE≌△CDF 得出相关结论.
【变式】 将第 3 题中的“∠AEB＝45°”改为“∠AEC＝ 135°”，第 3 题中的结论还成立吗？并说明理由.
解：第 3 题中的结论仍然成立. 理由：如图，过点 A 作 AF⊥AE，交 CE 的延长线于点 F， 则∠BAE＝90°＋∠CAE＝∠CAF. ∵∠AEC＝135°， ∴∠AEF＝45°.
1.如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点， E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BE＝AF.求证：△DEF 为等腰直 角三角形.
证明：连接 AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 BC 的中点， ∴AD＝BD＝CD，且 AD 平分∠BAC． ∴∠BAD＝∠CAD＝45°＝∠B．
模型 2 变式 等腰直角三角形及 8 字模型中只有一个直角，过 等腰直角三角形的顶点作垂线段构造直角
如图，已知等腰 Rt△ABC，∠AEB＝45°，常过点 A 作 AF⊥ AE，则∠FAE＝90°，∠1＝∠2.
3.(T2 变式)如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， AB＝AC，D 是 AC 上一点.若∠AEB＝45°，求证：CE⊥BD．
∵∠BAD＝∠CED＝90°，∠ADB＝∠EDC，
∴∠ABF＝∠ACE. AB＝AC，
在△ABF 和△ACE 中，∠ABF＝∠ACE， BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE(SAS).
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE. ∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝∠BAF＋∠CAF＝∠BAC＝90°.
∴△AEF 是等腰直角三角形. ∴∠AEB＝45°.
∴△AEF 为等腰直角三角形，AE＝AF. AB＝AC，
在△BAE 和△CAF 中，∠BAE＝∠CAF， AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS).
∴∠BEA＝∠CFA＝45°.
∴∠BEC＝∠AEC－∠BEA＝135°－45°＝90°.
∴CE⊥BE.
证明：过点 A 作 AF⊥AE 交 BE 于点 F，∴∠EAF＝∠BAC＝90°. ∴∠BAF＝∠CAE. ∵∠AEB＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF. ∴AE＝AF. 又∵BA＝CA， ∴△ABF≌△ACE(SAS).
∴∠ABE＝∠ACE. 又∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠BEC＝∠BAC＝90°. ∴CE⊥BD．
∴AD＝BD，AD⊥BC．∴∠DAC＝∠ABD＝45°. ∴∠DAF＝∠DBE＝135°. 又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE(SAS). ∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB． ∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°. ∴△DEF 仍为等腰直角三角形.
模型 2 等腰直角三角形＋8 字模型中有两个直角，常用截长补 短法构造全等三角形
在△BDE 和△ADF 中，
BD＝AD， ∠B＝∠DAF， BE＝AF， ∴△BDE≌△ADF(SAS).
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
∵∠BDE＋∠ADE＝90°， ∴∠ADF＋∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°.
∴△EDF 为等腰直角三角形.
【变式 1】 如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E，F 分别在 AC，AB 上，且 DE⊥DF.试判断 DE，DF 的数量关系，并说明理由.
解：DE＝DF，理由如下：
连接 AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点， ∴CD＝AD，∠C＝∠DAF＝45°，AD⊥CD． 又∵DE⊥DF， ∴∠CDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°.
∴∠CDE＝∠ADF. ∠C＝∠DAF，
在△CDE 和△ADF 中，CD＝AD， ∠CDE＝∠ADF，
∴△CDE≌△ADF(ASA).
∴DE＝DF.
【变式 2】 如图，若 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，仍 有 BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？ 证明你的结论.
解：△DEF 仍为等腰直角三角形. 证明：连接 AD， ∵AB＝AC， ∴△ABC 为等腰三角形. ∵∠BAC＝90°，D 为 BC 的中点，
如图，已知等腰 Rt△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°.若 BE⊥ CE，则有∠1＝∠2.常通过在 BE 上取点 F，使得 BF＝CE⇒△ABF ≌△ACE.
2.如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，
D 是 AC 上一点.若 CE⊥BD 于点 E，连接 AE，求证：∠AEB＝45°. 证明：在 BE 上截取 BF＝CE，连接 AF.