空间角专题练习(题型汇总)

空间角专题练习
步骤：
一、 两条异面直线所成的角 1、定义： 2、范围：
3、⎪⎩
⎪
⎨⎧况）法三：证垂直（特殊情法二：向量法法一：平移法方法
4、典例分析：
例1、 90=∠∆BCA ABC Rt 中，，现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量平移到
111C B A ∆位置，已知111111111,,,,AF BD F D C A B A CC CA BC 与求的中点取==所成角
的余弦值
例2、已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ） A 、43 B 、45 C 、47 D 、4
3
例3、在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =, 则B C AB 11与与所成的角的大小为（ ）
A 、 60
B 、 90
C 、 105
D 、 75
二、 直线与平面所成的角 1、定义： 2、范围：
3、⎪⎩
⎪
⎨⎧法三：向量法法二：等体积法法一：定义法方法
4、典例分析：
例1、正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为
a 2，求
111A ABB AC 与侧面所成的角
例2、正四棱锥ABCD S -，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是（ ） A 、 30 B 、 45 C 、 60 D 、 75
三、平面与平面所成的角 1、定义 2、范围：
3、⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨⎧⎩⎨⎧法六：射影面积法
法五：找交线法法四：找垂面法法向量法方向向量法法三：向量法法二：三垂线法法一：定义法方法
4、典例分析：
例1、过正方形ABCD 的顶点A 作线段ABCD PA 面⊥，设PA=AB=a ， （1） 求二面角B-PC-D 的大小
（2） 求平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小
例2、已知ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD ，
120=∠=∠DBC CBA ,求
（1） 直线AD 与平面BCD 所成角的大小
（2） 直线AD 与直线BC 所成角的大小 （3） 二面角A-BD-C 的余弦值
例3、把矩形ABCD 沿对角线BD 折成锐二面角A-BD-C ，若AB=1，AD=2
7
3=
AC 且,则二面角A-BD-C 的余弦值为（ ） A 、2
1
B 、22
C 、23
D 、0
例4、几何体ABC-ADE 是由正三棱柱111C B A ABC -被面ADE 截得的，若CE=BC=2BD ，求截面AED 与底面ABC 所成的角
练习：已知：直角梯形OABC 中，，面OABC OS AOC BC OA ⊥=∠,90,// 且OS=OC=BC=1，OA=2，求
（1） 异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值 （2） OS 与面SAB 所成角的余弦值 （3） 二面角B-AS-O 的余弦值
如何建系：
例1、 在棱锥P-ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，
底面ABCD 是菱形，且 60=∠ADC M 为PB 的中点 （1） 求证：CD PA ⊥
（2） 求二面角P-AB-D 的大小
例2、(2009山东理) 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、
AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

7
E
A
B
C
F
E 1 A 1
B 1
C 1
D 1
D
例3、（08山东理）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，
,60 =∠⊥ABC ABCD PA ，底面E,F 分别是BC 、PC 的中点
（1）证明：PD AE ⊥
(2)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为2
6
，求二面角E-AF-C 的余弦值。