【数学】成对数据的统计相关性学案-2023-2024学年高二下人教A版(2019)选择性必修第三册

第八章成对数据的统计分析

8.1成对数据的统计相关性

【教学目标】

1．解变量间的相关关系，会画散点图.．

2．会用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系和线性相关关系．

3．了解样本相关系数的统计含义，会求样本相关系数．

4．能利用样本相关系数判断多组成对样本数据相关程度的大小．

【自主学习】

1．相关关系

两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．

2．散点图

为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．

3．相关关系的分类

(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．

①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；

②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．

(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．

①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；

②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变

量非线性相关或曲线相关．

4．样本相关系数

统计学里，一般用r 1

2

2

1

1

()()

()()n

i

i i n

n

i

i

i i x

x y y x

x y

y ===----∑∑∑1

22

22

1

1

(n

i i

i n

n

i

i

i i x y

nxy

x

nx y

ny ===---∑∑∑

来衡量y 与x 的线性相关性强弱，这里的r 称为线性相关系数(简称为相关系数)．

可以证明，相关系数r 具有以下性质： (1)|r |≤1.

(2)当r >0时，称成对样本数据正相关；当r <0时，称成对样本数据负相关．

(3)|r |越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；|r |越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱．特别地，|r |＝1时，说明成对样本数据都落在一条直线上． 【课内探究】

例1. (1)(多选)下列两个变量存在相关关系的为( )

A ．扇形的半径与面积之间的关系

B ．降雪量与交通事故的发生率之间的关系

C ．人的身高与体重之间的关系

D ．家庭的支出与收入之间的关系 (2)(多选)下列说法正确的是( )

A ．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系

B ．同一物体的加速度与作用力的关系是函数关系

C ．产品的成本与产量的关系是函数关系

D ．广告费用与销售量的关系是相关关系

例2. 某种树木的体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：

树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积

30

34

40

60

55

62

70

(1)请作出这些数据的散点图；

(2)你能由散点图发现树木的体积与树木的树龄存在怎样的关系吗？

例3.对四组成对样本数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是()

A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3

C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3

例4.某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：

x2468

y30405070

①画出(x，y)的散点图；

②计算x与y之间的样本相关系数，并刻画它们的相关程度．

【课后检测】

1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()

A．正方体的面积与棱长B．单位圆中圆心角的度数和所对弧长

C．学生的学籍号与学生的数学成绩D．日照时间与水稻的亩产量

2．给定y与x的一组成对样本数据，求得样本相关系数r＝－0.690，则()

A．y与x非线性相关B．y与x正线性相关

C．y与x负线性相关D．以上都不对

3.如图，有6组数据，去掉哪组数据后，剩下的5组数据的线性相关性最强()

A．A B．B

C．C D．D

4.(多选)在下列各图中，每个图中的两个变量具有相关关系的是()

5.已知r1表示变量X与Y之间的样本相关系数，r2表示变量U与V之间的样本相关系数，且r1＝0.837，r2＝－0.957，则() A．变量X与Y正相关，且X与Y之间的相关程度强于U与V之间的相关程度

B．变量X与Y负相关，且X与Y之间的相关程度强于U与V之间的相关程度

C．变量U与V负相关，且X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度

D．变量U与V正相关，且X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度

6.水稻产量与施化肥量的一组观测数据：

施化肥量15202530354045

水稻产量320330360410460470480

①将上述数据制成散点图；

②你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量存在什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？

7.现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如表所示：

学生号12345678910

x12010811710410311010410599108

y84648468696869465771

计算y与x之间的样本相关系数．(精确到0.001)