第六讲高等数学习题课(两个重要的公式)

o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1,

f (0 ) 1

1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 个不存在 振荡间断点
练习
1. 讨论函数 间断点的类型.
型，往往需要先通分，化简，再求极限，
对于无理分式，分子、分母有理化， 消去公因式，再求极限，
0 0
对分子、分母进行因式分解，再求极限， 对于当 x 时的
型，可将分子分母同时
除以分母的最高次幂，
然后再求极限．
3.利用无穷小的性质求极限
例3 求下列函数的极限
x 1 （1） lim x 1 x 1
2
2
小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母， 也可代换分子或分母中的因式，但当分子或 分母为多项式时，一般不能代换其中一项。 否则会出错．
tan x sin x xx 如上题 lim sin 3 x lim x3 0 x0 x0
, 即得一错误结果．
6.利用函数的连续性求极限
2
小结 利用“函数连续的极限值即为函数值” 可求连续函数的极限。 在一定条件下复合函数的极限， 极限符号与函数符号可交换次序．
五、 函数连续性的定义*****
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
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例6. 求下列极限：
(1) lim (sin x 1 sin x )
x
(2)
1 x 2 lim sin x x 1
(3)
1 x cot x lim 1 x x 0
提示: (1) sin x 1 sin x
x 1 x x 1 x 2 sin cos 2 2 1 x 1 x 2 sin cos 2( x 1 x ) 2
x
x 4
四、主要解题方法
求函数极限方法*****
1.利用极限存在的充分必要条件求极限
x2 例1 求下列函数的极限： lim 2 x 2 x 4 x2 2 x 1 解 xlim x 2 4 xlim ( x 2)( x 2) 4 2 2 x2 x2 1 lim 2 lim x 2 x 4 x 2 ( x 2)( x 2) 4
sin x lim 1 求极限时，函数的特点是 x0 x
1 x 用 lim (1 ) 求极限时，函数的特点 x x
1

型幂指函数，其形式为
1 ( x)
1 ( x)
型,
x 为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数；
用两个重要极限公式求极限时， 往往用三角公式或代数公式进行恒等变形 或作变量代换， 使之成为重要极限的标准形式。
习题课一
第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限， 无穷小量，无穷大量，等价无穷小， 在一点连续，连续函数，间断点， 第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）， 第二类间断点.
2.基本公式
sin口 lim 1 口 0 口
0 注意能求的极限形式 0,
因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．
小结
对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处 的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在 且相等时极限才存在，否则，极限不存在．
例如习题二 P31 2
2.利用极限运算法则求极限
例2 求下列函数的极限：
2 x2 3 (1) lim x 1 x 1 x2 9 (2) lim x 2 5 x 6 x 3
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结束
3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小:
sin x～ x ;
～
～
arcsin x～ x ;
～
1 x2 ; 1 cos x～ 2
～
～ e 1 x ;
4. 两个重要极限 5. 求极限的基本方法
x
～ (1 x) 1 x ;

6. 判断极限不存在的方法
lim x sin x （1） 2 x x e 1 x2 x 2 sin x 解 (1) 因为 ex 1 x2 x 2 处有定义，所以
2
例6 求下列函数的极限
是初等函数，在
x 2 sin x 4 sin 2 lim 2 2 2 x 2 e e 5 1 x
lim arcsin( x 2 x x) （2）
二、学法建议 1．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念， 特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分 知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习． 2．本章概念较多，且互相联系， 例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系， 才能对它们有深刻的理解， 因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系． 3．要深刻理解在一点的连续概念， 即极限值等于函数值才连续． 千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性．

⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号 可交换次序的特性求极限；
⑻ 利用“无穷小与有界函数之积 仍为无穷小量”求极限.
4.定理
左右极限与极限的关系， 单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性， 极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关 系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定 理，无穷小与无穷大的关系 初等函数的连续性，闭区间上连续函数的 性质.
无穷小 有界
机动 目录 上页 下in x
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
o 1
x
x , x 1 (4) y f ( x) 1 2 , x 1
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1
1 2
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
1 x （2）lim (1 2 ) x x
1 x 1 x 1 x 1 x 1 lim (1 ) (1 ) lim (1 ) lim [(1 ) ] x x0 x x x x x
=
ee
1
1
小结
利用
0 0
sin u ( x) 型，满足 lim u ( x )0 u ( x ) u x 为同一变量； 的形式，其中
cos x cos 3x （1） lim 2 x0 x
1 x （2）lim (1 2 ) x x
解（1）分子先用和差化积公式变形， 然后再用重要极限公式求极限
cos x cos 3x 2 sin x sin 2 x lim = lim 2 2 x0 x0 x x sin x sin 2 x = lim x lim (4 2 x ) 1 4 4 x0 x
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . 2. 设 时 为
连续函数.
提示:
作业：教材习题一
(补充）三、 极限
1. 极限定义的等价形式 (以 x x0 为例 )
" "
(即 f ( x) A 为无穷小)
有 2. 极限存在准则及极限运算法则
5. 利用等价无穷小代换求极限
常用等价无穷小:
sin x～ x ;
～
～
arcsin x～ x ;
～
1 x2 ; 1 cos x～ 2
～
～ e 1 x ;
x
～ (1 x) 1 x ;

tan x sin x （2） lim 3 x 0 x
例5 求下列函数的极限 （1） 1 cos x lim 2 x0 3x
三、例题精解 例1 求下列极限: lim ( x 2 sin 2 x (cos x) 2 tan x ) (1) π
2 x 3 x1 ) (2) lim ( x 2 x 1 1 x (3) lim 3 x 1 1 x sin x 1 (4) lim ( x sin ) x0 x x (5) lim sin( x 2 x )
2
（2）
x
lim
x sin x 1 x
3
（2）不能直接运用极限运算法则，因为当
x 时分子，极限不存在，但 sin x
sin x 1 而
1 x 0 1 1 3 x x lim lim 3 x 1 x x
是有界函数，即
因此当
x 时
，
x 3 为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积 1 x
有定义 , 即
存在 ;
存在 ;
六、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 不连续 : 无定义 ; 之一函数 f (x) 在点 (1) 函数 在
(2) 函数
(3) 函数
在
在
x x0
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
不存在; 存在 , 但
lim f ( x) f ( x0 )
x
函数
arcsin( x 2 x x) 看成由
2
y sin u, u x x x