圆锥曲线中切线问题的妙解

圆锥曲线中 切线问题的妙解
在高中数学中圆锥曲线是一个重点也是一个难点，我们只有深刻理解圆锥曲线，掌握通性通法，才能更好地解决这一难题。

平时我们还要多归纳、多总结还可以得到一系列的结论。

下面我们利用一些结论来巧妙地解决圆锥曲线中的切线问题。

结论一．过圆锥曲线上一点的切线方程
1.设圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
上有一点P (x 0，y 0)，则过P 点的切线方程为(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2
.
2.(1)椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为＋＝1 (2)双曲线－＝1(a ，b ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为－＝1. (3)抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为y 0y ＝2p
例1：求双曲线x 2
－＝1在点(，)处的切线方程.
解 ：由双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是－＝1，∴双曲线x 2
－＝1在点(，)处的切线方程为x －＝1，即2x －y －＝0.
例 2：已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点Q . (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若O 为坐标原点，P 为直线l ：x ＝2上的一动点，过点P 作直线l ′与椭圆相切于点A ，若△POA 的面积S 为，求直线l ′的方程.
解 (1)由题意得：椭圆C 的标准方程为＋y 2
＝1.
(2)设A (x 0，y 0)，则切线l ′的方程为＋yy 0＝1，即y ＝－x ，
则直线l ′与x 轴交于点B ，∵P ，∴S △POA ＝··＝，即＝，∴＝±，即或解得x 0＝1，y 0＝－或x 0＝1，y 0＝(x 0＝0，y 0＝±1不合题意舍)，∴直线l ′的方程为y ＝－x ＋或y ＝x －.
结论二：过圆锥曲线外一点作曲线的切线
1.过椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)外一点P (x 0，y 0)，作椭圆的两条切线，则两切点的连线方程为＋＝1(a ＞b ＞0).
2过双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)外有一点P (x 0，y 0)，作双曲线的两条切线，则两切点的连线方程为－＝1.
3.过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)外有一点P (x 0，y 0)，作抛物线的两条切线，则两切点的连线方程为y 0y ＝2p
例3：已知P (1，1)是双曲线外一点，过P 引双曲线x 2
－＝1的两条切线PA ，
PB ，A ，B 为切点，求直线AB 的方程.
解： 利用结论2得直线AB 的方程为x －＝1，即2x －y －2＝0.
例4 ：已知曲线C ：y ＝，D 为直线y ＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .则直线AB 过定点
解：设D ，抛物线方程为 ，则过D 点作抛物线的两条切线，则两
切点的连线方程为 得，直线AB 的方程为 整理得：
2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点
在圆锥曲线中我们如果能够熟记这些结论，再结合常规方法，那就可以快速的找到解决切线问题解题思路，从而可以快速求得答案。