2024届高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第七节二项分布超几何分布正态分布课件

则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为
X 0
1
2
3
4
16
32
8
8
1
P
81
81
27
81
81
若方案二比方案一更“优”,则 E(Y)=6-4x<4,解得
即 x=(1-p)
1
>2,解得
2
所以当 0<p<1-
0<p<1-
2
.
2
2
时,方案二比方案一更“优”.
2
1
x>2,
方法总结二项分布的解题策略
对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病
机变量X服从超几何分布
可以用二项分布近似
3.正态分布
(1)正态曲线
1
函数f(x)=
2π
2
(-)
e 22
,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函
数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.
(2)正态曲线特点
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.
当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
②曲线与x轴之间的区域的面积为1.
③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
1
④曲线在 x=μ 处达到峰值(最大值)
.
2π
⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示
第十一章
第七节 二项分布、超几何分布、正态分布
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数
字特征,并能解决简单的实际问题.
1.二项分布及
2.了解超几何分布及其均值,并能解决简
其应用
单的实际问题.
2.超几何分布
3.了解服从正态分布的随机变量,借助频
1×3+4×1
P(A)=
12×8
=
7
.
96
(2)完成套卷数不少于 4 的学生共 8 人,其中男生人数为 4,故 X 的取值为
0,1,2,3,4.
由题意可得
C 04 C 44
P(X=0)= C 4
8
C 24 C 24
P(X=2)= 4
C8
=
36
70
=
=
1
C 14 C 34
;P(X=1)= C 4
70
8
(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人,记
ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和均值.
解 (1)由已知数据可得中位数为 76,样本中
8
70 分以上的占比例为
12
估计该校测试成绩在 70 分以上的人数为 3
2
000×3=2
000.
(2)由题意可得 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4.
结果之和,它就服从或近似服从正态分布.(
)
1
2.设随机变量 X~B 6, 2 ,则 P(X=3)=(
5
A.16
3
B.16
5
C.8
)
3
D.8
答案 A
解析 因为 X~B
A.
1
6,
2
3
1
,所以由二项分布可得,P(X=3)=C63
2
1 3
12
=
5
.故选
16
3.(2022新高考Ⅱ,13)随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,
则将该组中各个样本再逐个化验;若混合样本呈阴性,则该组各个样本均为
阴性.现有以下两种方案:方案一,逐个化验;方案二,平均分成两组化验.在该
疾病爆发初期,由于检测能力不足,化验次数的期望值越小,则方案越“优”.
(1)若
1
p= ,求这
3
4 例疑似病例中呈阳性的病例个数 X 的分布列;
(2)若将该4例疑似病例样本进行化验,且方案二比方案一更“优”,求p的取值
若样本指标呈阳性,说明该样本携带病毒;若样本指标呈阴性,说明该样本
不携带病毒.根据统计发现,每个疑似病例的样本呈阳性(即样本携带病毒)
的概率均为p(0<p<1).现有4例疑似病例,分别对其进行血液样本检测.多个
样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验,混合
样本中只要携带病毒,则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性,
(2)试验可以独立重复进行n次.
微思考两点分布(0—1分布)和二项分布有什么关系?
提示 两点分布是一种特殊的二项分布,即是n=1的二项分布;二项分布可
以看作两点分布的一般形式.
2.超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件
(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
2
女生人数
0
1
3
3
1
(1)从这个小组的学生中任选一名男生、一名女生,求这两名学生完成套卷
数之和为4的概率;
(2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男生人数为X,求随
机变量X的分布列.
解 (1)设事件A为“从这个小组的学生中随机选取一名男生、一名女生,这
两名学生完成套卷数之和为4”,由题意可知
1 1
毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 ,
,现已进
2 3
入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用
甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物.如果试用组中,甲种抗病毒药物
治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.
(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;
1 2
P(B1)=2× ×
3 3
4
,故一个试用组为“甲类组”的概率为
9
=
=
1
1
1
,P(A2)=2 × 2
2
=
4 1
4
1
4
1
P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=9 × 2 + 9 × 4 + 9 × 4
1
2
2
,P(B0)=3 × 3
4
=
4
.
9
=
4
,
9
(2)η 的可能取值为 0,1,2,3,且 η~B
及其应用
率分布直方图的几何直观,了解正态分布
3.正态分布及
的特征.
其应用
4.了解正态分布的均值、方差及其含义.
数学建模
数据分析
数学运算
强基础 增分策略
知识梳理
1.n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做 伯努利试验
.
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利
64
729
考点二
超几何分布及其应用
典例突破
例2.某高中学校德育处在全校组织了知识问卷测试,并从中随机抽取了12
份问卷,得到其测试成绩(百分制)如下:
52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.
(1)写出该样本的中位数,若该校共有3 000名学生,试估计该校测试成绩在
70分以上的人数;
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
若随机变量X服从两点分布,则E(X)=
若X~B(n,p),则E(X)= np
,D(X)=
p
,D(X)= p(1-p) .
np(1-p)
.
微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:
(1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;
(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列和
均值.
解 (1)设 Ai 表示事件“一个试用组中,服用甲种抗病毒药物有效的有 i 人”,
i=0,1,2,Bj 表示事件“一个试用组中,服用乙种抗病毒药物有效的有 j 人”,
j=0,1,2.依题意有
1 1
P(A1)=2×2 × 2
X=μ对称”和“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.
2.在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取
[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
微思考正态分布函数中的μ,σ的含义是什么?
提示 若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
1 4
P(η=1)=C3 9
4
3, 9
,则
P(η=0)=C30
4 2 100
2 4 2
1 − 9 =243,P(η=2)=C3 9
4
1−9
80
4 3 64
=243,P(η=3)= 9 =729,
故 η 的分布列为
η 0
P
4
E(η)= .
3
1
125
729
2
100
243
3
80
243
4 3 125
1 − 9 =729,
2
8
35
3
18
35
1
8
18
8
1
E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× =2.
70
35
35
35
70
4
8
35
1
70
方法总结求超几何分布的分布列的步骤
对点训练2为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某
数学小组的所有学生进行了调查,调查结果如下表.
人数
套数
1
2
3
4
5
男生人数
1
4
3
2
(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n展开式的通项,其中
a=p,b=1-p.( × )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分
布.(
)
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均
值,σ是正态分布的标准差.(
)
(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用
-
C C-
P(X=k)=
C
,k=m,m+1,m+2,…,r,
其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分
布.
微点拨超几何分布与二项分布的关系
不同点
联系
假设一批产品共有N件,其中有M件次
范围.
解(1)由题意知,X~B
则
P(X=0)=C40
P(X=1)=C41
P(X=2)=C42
P(X=3)=C43
P(X=4)=C44
×
1
4, 3
1 4
13
1
3
× ×
×
1 2
3
×
1 3
3
×
1 4
3
1 3
13
,
=
16
,
81
=
32
,
81
×
1 2
1- 3
×
1
1- 3
=
1
.
81
=
=
24
81
8
,
81
=
8
,
27
18
C 34 C 14
;P(X=3)= 4
35
C8
=
16
70
=
=
16
70
=
8
;
35
8
C 44 C 04
;P(X=4)= 4
35
C8
=
1
.
70
所以随机变量X的分布列为
X 0
P
1
1
70
2
8
35
3
18
35
4
8
35
1
70
考点三
正态分布及其应用(多考向探究)
考向1.正态分布的概率计算
典例突破
例3.(1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且
试验.
实际原型是有放回地抽样检验问题
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),
用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= C pk(1-p)n-k,
k=0,1,2,…,n,如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服
从二项分布,记作 X~B(n,p) .
随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示
随机变量X的分布比较分散,如图2所示.
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=
X服从正态分布,记为
1
2π
2
ห้องสมุดไป่ตู้
(-)
e 22
,x∈R,则称随机变量
X~N(μ,σ2) .
服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量
C04 C44
P(ξ=0)=
C48
C24 C24
P(ξ=2)=
C48
=
1
C14 C34
,P(ξ=1)=
70
C48
=
36
70
=
=
16
70
18
C34 C14
,P(ξ=3)= 4
35
C8
=
8
,
35
=
16
70
=
8
C44 C04
,P(ξ=4)= 4
35
C8
=
1
.
70
=
2
,故可
3
所以ξ的分布列为
ξ 0
P
1
1
70
1
P(X<1)·P(X>3)=9,则 P(1≤X≤2)=(
1
A.
6
1
B.
4
)
1
C.
3
1
D.
2
(2)某校在一次月考中有900人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布
X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110
分之间的人数约为总人数的 3 ,则此次月考中数学考试成绩不低于110分
二项分布和超几何分布都可
品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示 以描述随机抽取n件产品中次
抽取的n件产品中的次品数,若采用有
品的分布规律,并且二者的均
放回抽样的方法抽取,则随机变量X服
值相同.对于不放回抽样,当n
从二项分布,即X~B(n,p)(其中p=
M
N
);若 远远小于N时,每抽取一次后,
采用不放回抽样的方法随机抽取则随 对N的影响很小,超几何分布