2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练29 分组分解法因式分解

专题29 分组分解法因式分解
【例题讲解】
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；
（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；
（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：
（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；
（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；
（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．
【综合解答】
1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．
mx nx my ny +++
()()mx nx my ny =+++
()()x m n y m n =+++
()()m n x y =++；
也可以mx nx my ny +++
()()mx my nx ny =+++
()()m x y n x y =+++
()()m n x y =++．
以上分解因式的方法称为分组分解法，
(1)请用分组分解法分解下列因式：
①2()--+a x y x y
②2244x y x --+
(2)拓展延伸
①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；
②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？
2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
()()()()
ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：2244a a b --+；
(2)分解因式：267x x --；
(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．
3．先阅读材料：
分解因式：22326a b a b -+-．
解：22326a b a b -+-
()223(26)a b a b =-+-
2(3)2(3)a b b =-+-
()2(3)2b a =-+
以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．
4．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如
22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，
过程如下：
22216x xy y -+-
2()16x y =--
(4)(4)x y x y =-+--．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：226925a ab b -+-；
(2)因式分解：22424x y x y --+．
5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，
()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++
(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；
(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值．
6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．
①分解因式：1ab a b --+；
②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；
（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332
s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．
7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：244x xy x y -+-
()2(44)x xy x y =-+-（分成两组） ()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）
()(4)x y x =-+．
乙：2222a b c bc --+
()2222a b c bc =-+-（分成两组）
22()a b c =--（直接运用公式）
()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）32248m m m --+
（2）2229x xy y -+-．
8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：
326xy x y +++
(3)(26)xy x y =+++
(3)2(3)x y y =+++
(2)(3)x y =++
我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．
【尝试应用】借助上述方法因式分解
①5420xy x y +++=__________；
②8972ab a b +--=__________；
③xy ax by ab +++=___________；
【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值．
9．用分组分解法分解下列因式：
（1）2a ab ac bc -+-
（2）222ax by cx ay bx cy ++---
（3）22am am bm bm +--
（4）321a a a --+
（5）222a ab b a b -++-
（6）22296x z y xy -+-
10．把下列多项式分解因式：
（1）22442a ab b ac bc ++--
（2）222ax bx bx ax cx cx +++++
（3）222222a b x y ay bx --+-+
（4）()()()22
2241211y x y x y +--+- 11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
（1）am an bm bn +++
=()()am an bm bn +++
=()()a m n b m n +++
=()()m n a b ++
（2）2221x y y ---
=()
2221x y y -++ =()2
21x y -+
=()()11x y x y ++--
（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=
(_____________)(_____________)；
22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=
(_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：
①ab ac b c -+-；
②222496b a ac c -+-+．
12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.
例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.
解法1：am ＋an ＋bm ＋bn
＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）
＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）
＝（m ＋n ）（a ＋b ）.
解法2：am ＋an ＋bm ＋bn
＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）
＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）
＝（a ＋b ）（m ＋n ）.
根据你的发现，把下面的多项式分解因式:
(1)mx －my ＋nx －ny ；
(2)2a ＋4b －3ma －6mb.
13．先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得
()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．
这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，
因此有
+++
am an bm bn
()()
=+++
am an bm bn
()()
a m n
b m n
=+++
()()
=++．
m n a b
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
请用上面材料中提供的方法因式分解：
()2
-+-
1ab ac bc b
()()
=（请你完成分解因式下面的过程）
---
a b c b b c
=______
()2
-+-；
2m mn mx nx
()222
--+．
x y x y y
3248
专题29 分组分解法因式分解
【例题讲解】
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；
（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；
（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：
（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；
（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；
（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．
【综合解答】
1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．
mx nx my ny +++
()()mx nx my ny =+++
()()x m n y m n =+++
()()m n x y =++；
也可以mx nx my ny +++
()()mx my nx ny =+++
()()m x y n x y =+++
()()m n x y =++．
以上分解因式的方法称为分组分解法，
(1)请用分组分解法分解下列因式：
①2()--+a x y x y
②2244x y x --+
(2)拓展延伸
①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；
②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？ ①222x xy -22xy y ++)(24y x +-)20y =，(②2512x xy -2412x xy -
()23x y -(23x y ∴-23x y ∴=83
y ∴=-，2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
()()()()
ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：2244a a b --+；
(2)分解因式：267x x --；
(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．
【答案】(1)(2)(2)a b a b +---
(2)(7)(1)x x -+
(3)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；
（2）把-6x 拆成-7x +x ，再用分组分解法进行解答；
（2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a 、b 、c 之间的关系便可．
【解答】（1）2244a a b --+
=a 2-4a +4-b 2
=（a -2）2-b 2
=（a +b -2）（a -b -2）；
（2）267x x --
=x 2-7x +x -7
=x （x -7）+（x -7）
=（x -7）（x +1）
（3）∵a 2-ab -ac +bc =0，
∴a （a -b ）-c （a -b ）=0，
∴（a -b ）（a -c ）=0，
∴a -b =0或a -c =0，
∴a =b 或a =c ，
∴△ABC 是等腰三角形．
【点评】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．
3．先阅读材料：
分解因式：22326a b a b -+-．
解：22326a b a b -+-
()223(26)a b a b =-+-
2(3)2(3)a b b =-+-
()2(3)2b a =-+
以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．
【答案】见解析
【分析】仿照例题，利用分组分解法因式分解，然后利用公式法和提公因式法因式分解即可求解．
【解答】解：2233x x y y +-+
()
()2233x y x y =-++ ()()()3x y x y x y =+-++
()()3x y x y =+-+
【点评】本题考查了因式分解，理解例题中的分组分解法是解题的关键．
4．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如
22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，
过程如下：
22216x xy y -+-
2()16x y =--
(4)(4)x y x y =-+--．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：226925a ab b -+-；
(2)因式分解：22424x y x y --+． 【答案】(1)()()3535a b a b ---+
(2)()()222x y x y -+-
【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；
（2）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可．
（1）
解：226925a ab b -+-，
()22=6925a ab b -+-，
()2
2=35a b --， ()()3535=a b a b ---+；
（2）
解：22424x y x y --+，
()()22=42-4x y x y --，
()()()=2+22-2x y x y x y --，
()()222=x y x y -+-．
【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，
()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++
(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；
(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值． 【答案】(1)①(x +y )(x -y +1)；②(a -1)(b -1)
(2)12或18
【分析】（1）模仿例题，利用分组分解法进行因式分解即可；
（2）利用（1）题结论进行讨论，即可求解．
(1)
解：①原式=(x +y )(x -y )+ (x +y )
=(x +y )(x -y +1)；
②原式=a (b -1)- (b -1)
=(a -1)(b -1)；
(2)
解：由（1）②可知，(a -1)(b -1)=7，
∵a ，b 都是正整数，
∴a -1，b -1都是整数，
∴1117a b -=⎧⎨-=⎩或1711a b -=⎧⎨-=⎩
， 解得28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩
， 当a =2，b =8时，2a +b =2×2+8=12；
当a =8，b =2时，2a +b =2×8+2=18；
∴2a +b 的值为12或18．
【点评】此题考查了因式分解以及利用因式分解求代数式的值的能力，关键是正确地对整式进行因式分解．
6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：
()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．
①分解因式：1ab a b --+；
②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；
（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225
332
s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．
7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：244x xy x y -+-
()2(44)x xy x y =-+-（分成两组）
()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）
()(4)x y x =-+．
乙：2222a b c bc --+
()2222a b c bc =-+-（分成两组）
22()a b c =--（直接运用公式）
()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）32248m m m --+
（2）2229x xy y -+-． 【答案】（1）2(2)(2)m m -+；（2）(3)(3)x y x y -+--
【分析】（1）先分组因式分解，再提公因式即可求解；
（2）先分组因式分解，再利用平方差公式即可求解．
【解答】解：（1）原式22(2)4(2)(2)(2)m m m m m =---=-+；
（2）原式2()9(3)(3)x y x y x y =--=-+--．
【点评】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据题中的方法进行灵活运用进行因式分解．
8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：
326xy x y +++
(3)(26)xy x y =+++
(3)2(3)x y y =+++
(2)(3)x y =++
我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．
【尝试应用】借助上述方法因式分解
①5420xy x y +++=__________；
②8972ab a b +--=__________；
③xy ax by ab +++=___________；
【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值． 【答案】[尝试应用] ①()()45x y ++；②()()98a b -+；③()()x b a y ++；[拓展提高] x =1，y =-1
【分析】[尝试应用] ①②③利用分组分解法解答即可；
[拓展提高]原方程变形为：（2x -3）（3y +2）=1，根据题意有2x -3=1，3y +2=1，或2x -3=-1，3y +2=-1，即可求出方程的整数解．
【解答】解：[尝试应用]
①5420xy x y +++
=()()545x y y +++
=()()45x y ++；
9．用分组分解法分解下列因式：
（1）2a ab ac bc -+-
（2）222ax by cx ay bx cy ++---
（3）22am am bm bm +--
（4）321a a a --+
（5）222a ab b a b -++-
（6）22296x z y xy -+-
【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()2x y a b c --+；（3）()()1m a b m -+；（4）()()2
11a a +-；（5）()()1a b a b --+；（6）()()33x y z x y z -+--
【分析】利用分组分解法运算即可．
【解答】解：（1）2a ab ac bc -+-
=()()a a b c a b -+-
=()()a c a b +-；
（2）222ax by cx ay bx cy ++---
=222ax bx cx by ay cy -++--
=()()2a b c x y a b c -+--+
=()()2x y a b c --+；
（3）22am am bm bm +--
=22am bm am bm -+-
=()()2
a b m a b m -+- =()()1m a b m -+；
（4）321a a a --+
=()()321a a a ---
=()()2211a a a ---
=()()211a a +-；
（5）222a ab b a b -++-
=()()2a b a b -+-
=()()1a b a b --+；
（6）22296x z y xy -+-
=22296x xy y z -+-
=()2
23x y z --
=()()33x y z x y z -+--
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．
10．把下列多项式分解因式：
（1）22442a ab b ac bc ++--
（2）222ax bx bx ax cx cx +++++
（3）222222a b x y ay bx --+-+
（4）()()()222241211y x y x y +--+- 【答案】（1）()()22a b c a b +-+；（2）()()1x x a b c +++；（3）()()x a b y x a b y ---++--；（4）
()2
221x y x y -++ 【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；
（4）利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）22442a ab b ac bc ++--
=()()2
22a b c a b +-+
=()()22a b c a b +-+；
（2）222ax bx bx ax cx cx +++++
=()()222ax bx cx ax bx cx +++++ =()()2a b c x a b c x +++++
=()()1x x a b c +++；
（3）222222a b x y ay bx --+-+
=()222222a ay y b x bx -+-+-
=()()22
a y
b x ---
=()()()()a y b x a y b x -+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=()()x a b y x a b y ---++--；
（4）()()()222241211y x y x y +--+- =()()()()22
2412111y x y y x y +-+-+-
=()()2211y x y ⎡⎤+--⎣⎦ =()2
221x y x y -++ 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．
11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
（1）am an bm bn +++
=()()am an bm bn +++
=()()a m n b m n +++
=()()m n a b ++
（2）2221x y y ---
=()
2221x y y -++ =()2
21x y -+
=()()11x y x y ++--
（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=
(_____________)(_____________)；
22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=
(_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：
①ab ac b c -+-；
②222496b a ac c -+-+．
【答案】（1）ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①()()1-+b c a ；②()()3232-+--a c b a c b
【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；
②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；
【解答】解：（1）ax ay bx by --+=(ax ay -)-(bx by -)=()a x y --()-b x y = (x y -)(a b -)；
22x y x y -+-=(22x y -)+(x y -)=()()x y x y -+ +(x y -)=()()1-++x y x y
故答案为：ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；
（2）①ab ac b c -+-
=()()-+-a b c b c
=()()1-+b c a
②222496b a ac c -+-+
=()
222496-+-+b a ac c =()2
234--a c b
=()()3232-+--a c b a c b
【点评】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.
例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.
解法1：am ＋an ＋bm ＋bn
＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）
＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）
＝（m ＋n ）（a ＋b ）.
解法2：am ＋an ＋bm ＋bn
＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）
＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）
＝（a ＋b ）（m ＋n ）.
根据你的发现，把下面的多项式分解因式:
(1)mx －my ＋nx －ny ；
(2)2a ＋4b －3ma －6mb.
【答案】（1）（x －y ）（m ＋n ）；（2）（a ＋2b ）（2-3m ）
【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果；
(2)分组后提取公因式即可得到结果．
【解答】解：(1)解法一：
原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)
解法二：
原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y)
(2)解法一：
原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)
解法二：
原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)
【点评】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．
13．先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得
()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．
这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有
am an bm bn +++
()()am an bm bn =+++
()()a m n b m n =+++
()()m n a b =++．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
请用上面材料中提供的方法因式分解：
()21ab ac bc b -+-
()()a b c b b c ---=（请你完成分解因式下面的过程）
=______
()22m mn mx nx -+-；
()2223248x y x y y --+． 【答案】(1)()()a b b c --；(2) （m +x ）（m -n ）；(3) （y -2）（x 2y -4）．
【分析】如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解．
【解答】解：（1）ab -ac +bc -b 2
=a （b -c ）-b （b -c ）
=（a -b ）（b -c ）；
故答案为（a-b）（b-c）．
（2）m2-mn+mx-nx
=m（m-n）+x（m-n）
=（m+x）（m-n）；
（3）x2y2-2x2y-4y+8
=x2y（y-2）-4（y-2）
=（y-2）（x2y-4）．
【点评】考查了因式分解-提公因式法，因式分解-分组分解法，本题采用两两分组的方式．。