浙教数学八上《证明》同课异构教案 (3)

证明

教学目标1、进一步体会证明的含义；

2、探索并理解三角形内角和定理的几何证明；

3、通过一些简单命题的证明，训练学生的逻辑推理能力（掌握推理的基本方法与思路、要求），进一步熟练证明的方法和表述；

4、让学生体验从实验几何向推理几何的过渡。

教学重点本节教学的重点是探索三角形内角和定理的证明，进一步掌握证明的方法和表述。

教学难点而例题是由较复杂的题设条件得出若干结论，用到多个定理，学生的思路通常不易形成，是本节教学的难点。

教学过程备注

一、合作交流，探究新知

（一）通过一个简单的例子“三角形任何两边之和大于第三边”的证明过程，向学生简介把一个由实验得到的几何命题经过推理的方法加以论证，让学生体验实验几何向推理几何的简单过渡。——可以通过“两点之间线段最短”来说明上述命题。

（二）利用命题“邻补角的平分线互相垂直”的证明过程让学生加深体会。

已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB， OF

平分∠BOC。求证：OE⊥OF。

证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC；

∴∠1=1

2

∠AOB，∠2=

1

2

∠BOC

又∠AOB、∠BOC互为邻补角；∵∠AOB+∠BOC=180°

∴∠1+∠2=1

2

(∠AOB+∠BOC)=90°∴ OE⊥OF

∴∠1+∠2=1

2

(∠AOB+∠BOC)=90°∴ OE⊥OF

（二）探究新知

问题：三角形内角和定理是什么？——求证：三角形三内角和等于180°。

注意：在强调证明的必要性时，不要否定实验、归纳的重要性。在数学上，要判断一个命题是否正确，需要经过证明，但要发现一个真理，实验、观察和归纳始终是一条重要的途径。因此本题的教学要先让学生对实验得到三角形内角和定理有基本的认识，后再进行证明的思路进行教学，符合数学定理得到的过程

让学生思考：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起，这些线中哪些线容易产生相等的角？（学生小组之间相互合作，讨论学习，时间可稍长）。

根据学生的回答，添辅助线并引导学生梳理推理的过程（此处可引

导学生在不同的顶点处添加辅助线）。之后师生共同完成推理过程．

启发学生再思考，除了选三角形顶点作平行线之外，还有没有其他

方法，比如选三角形边上一点（此处也可让学生相互讨论并尝试），师

生共同探究出证明过程：

1、在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A

处，他过点A作直线DE//BC，（如图）。他的想法可行吗？

证明过点A作DE∥BC。则∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）

∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE ＝∠DAE＝180º（平角的定义）

2、证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）；∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）。

∵∠1+∠2+∠ACB＝180°∴∠A+∠B+∠ACB＝180°

3、可在BC边上任意取一点P，作PD∥AB，交AC于点D；作PE∥AC，交AB于点E。

证明：∵PD∥AB（已知）∴∠DPC=∠B；∠CDP=∠A(两直线平行，同位角相等)

又∵PE∥AC∴∠EPB=∠C(两直线平行，同位角相等)

∴∠EPB+∠EPD+∠DPC=∠C+∠A+∠B=180°(等量代换)

得到三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。即△ABC中，∠A+∠B+∠C=180 ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形：

∠A=180°-(∠B+∠C)；∠B=180°–(∠A+∠C)；∠C=180°–(∠A+∠B)；

∠A+∠B=180°-∠C；∠B+∠C=180°-∠A；∠A+∠C=180°-∠B；

4、小结关于辅助线：

辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画

成虚线），它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出

来，起到牵线搭桥的作用。添加辅助线，可构造新图形，形成新

关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添

法没有一定的规律，要根据需要而定，平时做题时要注意总结。

（三）设问：三角形内角和外角之间有什么关系？（学生讨

论，试着给出证明过程）

一、运用新知，体验成功

1、在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120º，∠B＝15º，求∠C的度数。

2、如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断

四、疏理过程，形成小结

（1）本节课你的最大收获是什么？

（可根据学生的回答大概归纳为：三角形内角和定理的证明方法――作平行线法；

常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路――分析法。）

板书设计：作业安排：

教学反思：

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