“数列的求和”例题解析

“数列的求和”例题解析
例1． 求下列数列的前n 项和S n ：
(1)(2)13(3)111111221431812
23132313231323
121214121412
234562121，，，…，，…；，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．()n n n n n ++++++-- 解 (1)S =112=(123n)n +++++++++2143181212141812
…＋＋＋…＋＋…()()n n n =n(n +1)2=1+--+-12112112
1212
()()n n n n ＋ (2)S =13=(13+13++13)+(23+23++23
)n 32n-1242n ++++++-2313231323234212………n n =13()()()11311323113113
58113
222222--+--=-n n n （3）先对通项求和
a =1 S =(222)(1+14++12
)n n n-1++++=---1214122121211…∴＋＋…＋－＋…n n
=2n (1+14++12)=2n 2n-1－＋
…－＋12121n - 例2．求和：
(1)
11+123+134+(2)11(3)12···…···…···…2115137159121235158181113132++++++-+++++-+n n n n n n ()
()()
()() 解 (1)1n(n +1)=-+=-+-+-++-+111111212131314111
n n S n n n ∴…()()()() =-+=+11
1
1
n n n (2)1(2n 1)(2n +3) S =n -=--+-+-+-++--++--+14121123
1411513171519123
121121123
()[]n n n n n n ∴… =141131211234532123[]()()()
+-+-+=+++n n n n n n (3)1(3n 1)(3n +2) S =13n -=--+-+-+-++--+131311321215151818111131132
()[()()()()]n n n n ∴… =13()1213264
-+=+n n n
例3． 求下面数列的前n 项和：
1147(3n 2)＋，＋，＋，…，＋－，…11121a a a
n - 分析：将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以
a
1为公比的等比数列，另一个数组成以3n －2为通项的等差数列，分别求和后再合并。

解 设数列的通项为a n ，前n 项和为S n 则＋∴…＋＋＋＋…＋－a =1
a (3n 2)
S =[147(3n 2)]n n 1n ---++++()111121a a a
n 当时，＋·当≠时，a =1S =n a 1S =11a 11a
n n n [()]()()132232
1322131221
+-=+--++-=--+--n n n n n n a a a n n n n n 说明 等比数列的求和问题，分q=1与q ≠1两种情况讨论。

例4．【例4】
a =k (k N*)a a a k 设＋＋…＋∈，则数列，，，12357222123
…的前n 项之和是（ ） A B C D ．．．．613161612
n
n n
n n n n n ++-++()
() 解 b b =n n 设数列，，，…，的通项为．则35721123
a a a n a n
+
又∵＋＋…＋＋＋∴ a =12n =n(n 1)(2n 1) b =6n(n +1)=6(1n 1n +1
)n 222n 16-
数列{b n }的前n 项和S n =b 1＋b 2＋…＋b n
=6=6=6n n +1(A)[()()]()1121311213111
111
+
+++-+++++-+……选．n n n n
例5． 求在区间[a ，b]（b ＞a ，a ，b ∈N ）上分母是3的不可约分数之和。

解法一 [a b]3a 1a 2b 1区间，上分母为的所有分数是
，，，＋，，，＋，…，－，，，它是以为首项，以为公差的等差数列．33313323
34335332331333
3313a a a a a b b b a ++++--
项数为－＋，其和－＋＋3b 3a 1S =12
(3b 3a 1)(a b) 其中，可约分数是a ，a ＋1，a ＋2，…，b
其和′－＋＋S =12
(b a 1)(a b) 故不可约分数之和为
S S =
12
(a b)[(3b 3a 1)(b a 1)]－′＋－＋－－＋ =b 2－a 2
解法二 ∵… S =3a +13+3a +23+3a +43+3a +53++3b 23+3b 13
-- ∴＋＋＋＋＋＋＋＋…＋－＋－而又有－＋－＋－＋－＋…＋＋＋＋ S=(a )(a )(a )(a )(b )(b )S=(b )(b )(b )(b )(a )(a )132343532313
1323435323
13
两式相加：2S=（a ＋b ）＋（a ＋b ）＋…＋（a ＋b ）
其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数。

即3（b －a ）＋1－（b －a ＋1）=2（b －a ）
∴ 2S=2（b －a ）（a ＋b ）
∴ S=b 2－a 2
例6． 求下列数列的前n 项和S n ：
（1）a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…，（a ≠0、1）；
（2）1，4，9，…，n 2，…；
（3）1，3x ，5x 2，…，（2n －1）x n-1，…，（x ≠1）
(4)1224382
，，，…，，…．n n 解 （1）S n =a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n
∵ a ≠0
∴ a S n =a 2＋2a 3＋3a 4＋…＋（n －1）a n ＋na n +1
S n －a S n =a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n +1
∵ a ≠1
∴()()()()1111111
2
1
-=---=----++a S a a a na S a a a na a n n n n n n （2）S n =1＋4＋9＋…＋n 2
∵ （a ＋1）3－a 3=3a 2＋3a ＋1
∴ 23－13=3×12＋3×1＋1
33－23=3×22＋3×2＋1
43－33=3×32＋3×3＋1
……
n 3－（n －1）3=3（n －1）2＋3（n －1）＋1
（n ＋1）3－n 3=3n 2＋3n ＋1
把上列几个等式的左右两边分别相加，得
（n ＋1）3－13=3（12＋22＋…＋n 2）＋3（1＋2＋…＋n ）＋n
=3(123n )n 2222＋＋＋…＋＋
＋312
n n ()+ ∴ 12＋22＋32＋…＋n 2 =[(n 1)1n]=[n 3n 3n n]3321331213312
＋－－－＋＋－－n n n n ()()++
=
n(2n 3n 1)=n(n 1)(2n 1)21616＋＋＋＋ （3）∵ S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋（2n －1）x n -1
∴ x S n =x ＋3x 2＋5x 3＋…＋（2n －3）x n -1＋（2n －1）x n
两式相减，得
（1－x ）S n =1＋2x （1＋x ＋x 2＋…＋x n -2）－（2n －1）x n
=1(2n 1)x =(2n 1)x S =(2n 1)x n n+1n n+1－－＋∴211
2111211112
x x x n x x x
n x x x n n n ()()()()()()-----+++---+++- (4) S =12n ∵……++++=+++++22322121222322
232341n S n n n n 两式相减，得
12121212122
12112112
22311S n n n n n n n =++++-=---++…() =-
--+-11221221
1n n n n n n ∴－ S =2n 说明 求形如{a n ·b n }的数列的前n 项和，若其中{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想。