§2已知幂势平行截面面积求体积

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2 由平行截面面积求体积
一、已知平行截面面积函数的一般体积公式：
设一几何体夹在x ＝a 和x ＝b （a<b ）这两个平行平面之间，用垂直于X 轴的平面去截此几何体，设载面与X 轴交点为（x ，0），可得的截面面积为S （x ），如果S(x)是[a,b]上的（R ）可积函数，则该几何体的体积V 等于：()b
a V S x dx =⎰。

注：利用微元法推导公式
例1 求由两个圆柱面 222a y x =+ 和 222a z x =+所围立体体积 . ( 33
16a ) 例2 求由椭球面2222221x y z a b c ++=所围的几何体体积。

(a,b,c>0) ( abc π3
4 ) 祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子，齐梁时人，大约在五世纪下半叶到六世纪初 )
补例1 求底面积为S ，高为h 的斜柱体的体积V 。

补例2 求底面积为S ，高为h 的圆锥体的体积V 。

二、旋转体的体积
定义旋转体并推导出体积公式.
设y ＝y(x)于[a,b]（R ）可积，曲线y ＝y(x)，a ≤x ≤b ，绕x 轴产生旋转体的截面积为S(x)＝2
()y x π，则 V 旋体＝2()b b
a a S x dx y dx π=⎰⎰ 注：利用微元法推导公式
例3 推导高为h , 底面半径为r 的正圆锥体体积公式.
例4求由圆)0(,)(222R r r R y x <<≤-+绕X 轴一周所得旋转体体积.
特别有 25)20(22≤-+y x 对应的面积为10002π
补例3 求抛物线22y x =，0≤x ≤1分别绕x 轴和y 轴所产生的旋转体体积。

补例4 求由曲线02
=-y x 和0=-y x 所围平面图形绕X 轴旋转所得立体体积.
补例5 ,0 , :==-x e y D x X 轴正半轴 . D 绕X 轴旋转 . 求所得旋转体体积.
作业 P 246：1，2（1）、（2）、（3）、5*。