北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0a
b c d a
-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（ ） A ．4
B ．
92
C ．322
D ．2
2．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（ ） A ．x +y +1=0
B ．x -y -1=0
C ．x -y +1=0
D ．x +y -1=0
3．已知直线2y x b =+与函数2,0
()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩
的图象相切，且有两个不同的切
点，则实数a 的值为（ ）． A ．ln 2 B ．2 C ．2ln 2- D ．2ln 2+
4．①若直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的
切线；
②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；
③若'
0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线； ④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'
0()f x 必存在.
则以上论断正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．函数()2221sin cos 622
x x
f x x =
+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．已知()ln f x x =，217
()(0)22
g x x mx m =
++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( )
A ．2-
B ．3-
C ．4-
D ．1-
7．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．
2016
2017
B ．
2017
2018
C ．
2018
2019
D ．
2019
2020
8．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则
||AB 的最小值为
A ．1
B ．2
C D 9．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
B ．[0，π)
C ．3,44ππ⎡⎤⎢
⎥⎣
⎦ D ．[0，
4π]∪[2π，34
π
]
10．下列导数运算正确的是
A ．()sin 'cos x x =-
B ．()
3'3x x
=
C ．()21log 'ln2x x =
⋅ D ．211'x x
⎛⎫
= ⎪⎝⎭ 11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的
前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．
2020
2021
B ．
2019
2020
C ．
2018
2019
D ．
2017
2018
12．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2e
B ．e
C ．
1
ln 22
D ．2ln 2
二、填空题
13．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________.
14．已知2
2
1111x x
f x x
--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)f
处的切线的斜率为
___________．
15．已知函数4
()ln 2f x x x x
λλ=+
-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则x 1+x 2的取值范围为_______．
16．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______ 17．对于曲线4
()1
x f x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线1l ，总存在在曲线2
21()ln 2
g x ax x x x =-+上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围是____________.
18．已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，则4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为__________． 19．已知1()sin cos f x x x =+，记211()(),,()(),
,n n f x f 'x f x f 'x +==
则1232017()()()()333
3
f f f f πππ
π
+++
+=_________________
20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2
()32(2)f x x xf ，则
(3)f '=_______．
三、解答题
21．已知函数()2
ln f x x ax ax =+- ，其中a R ∈ .
（1）当1a = 时，求函数()f x 在1x = 处的切线方程；
（2）若函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()e 2(x
f x x e =--是自然对数的底数）．
（1）求函数()f x 的图象在点()0,1A -处的切线方程；
（2）若k 为整数，且当0x ＞时，(1)()10x k f x x '-+++>恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值． 23．设函数()ln 2f x x ax =-.
（I ）若函数()y f x =的图象在点()()
1,1f 处的切线为直线l ，且直线l 与圆
()
2
211x y ++=相切，求a 的值；
（II ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间. 24．已知函数3()f x x x
=-
． （1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
25．已知平面向量(sin 2,cos2),(sin 2,cos2)a x x b ϕϕ==，设函数()f x a b =⋅（ϕ为常数且满足0πϕ-<<），若函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
图象的一条对称轴是直线8x π
=.
（1）求ϕ的值；
（2）求函数4y f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值：
（330y -+=与函数4y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象不相切． 26．已知函数()()
1ln 1x f x x
++=
和()()1ln 1g x x x =--+
（1）若()f x '是()f x 的导函数，求(1)f '的值 （2）当0x >时，不等式()
()0g x f x k
x
'->恒成立，其中()g x '是()g x 导函数,求正整数k 的最大值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
引入点(,)P a b ，(,)Q c d ，利用点P 在曲线ln x
y x
=
上，Q 在直线2y x =+上，只要求得PQ 的最小值即可得，为此可利用导数求出曲线ln x
y x
=上切线斜率为1的切点坐标，此点即为取最小值时的Q 点，从而计算后可得结论． 【详解】 ∵ln |2|0a b c d a -
+-+=，∴ln a
b a =，2d
c =+，设(,)P a b ，(,)Q c
d ，则点P 在曲线ln x
y x
=
上，Q 在直线2y x =+上， 设曲线ln x
y x
=
上切线斜率为1的切点为00(,)x y ， 2
1ln x
y x -'=
， (0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x =递增，(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln x
y x
=递减，max ln 1
e y e e
=
=，
直线2y x =+在曲线ln x
y x
=上方， 由
2
1ln 1x x -=，即2
00ln 10x x +-=，记2()ln 1f x x x =+-，显然()f x 在(0,)+∞上是增函数，而(1)0f =，∴01x =是()0f x =的唯一解．
0ln1
01y =
=，0(1,0)Q ，点0Q 到直线2y x =+
的距离为h ==， ∴22()()a c b d -+-的最小值为2
9
2
h =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标：(,)P a b ，
(,)Q c d ．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线
上与直线平行的切线的切点坐标，距离的最小值就易求得．
2．C
解析：C 【分析】 求出()'
f
x ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.
【详解】
()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-，
()'12111f ∴=⨯-=.
∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，
即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.
3．D
解析：D 【分析】
先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切，再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解． 【详解】
由題意，知直线2y x b =+与函数()f x 在(,0]-∞，(0,)+∞上的图象均相切， 由直线2y x b =+与2y x =-的图象相切得，
联立方程组2
2y x y x b
⎧=-⎨=+⎩，整理得220x x b ++=，
由440b ∆=-=，解得1b =，此时切点为(1,1)A --，直线方程为21y x =+， 设直线21y x =+与ln y x a =+的图象切于点()00,B x y ， 由函数ln y x a =+，则1
y x '=
，所以012x =，所以012x =， 所以点B 的坐标为1,ln 22
a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
因为点B 在直线21y x =+上，所以1
ln 2212
a -=⨯+，解得2ln 2a =+． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了分段函数与导数的几何意义，考查考生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，运算求解能力．
4．B
解析：B 【分析】
根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】
对于①中，根据函数在点A 处的切线定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A ，这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线. 直线0y =与曲线
22(0)y px p =>有且只有一个公共点，但直线0y =不是切线．注：曲线的切线与曲线的
公共点不一定只有一个，例1y =是正弦曲线sin y x =的切线，但切线1y =与曲线
sin y x =有无数多个公共点，所以不正确； 对于②中，根据导数的定义： （1）导数：'
()()
()lim
x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，
（2）左导数：'
()()
()lim x f x x f x f x x -
-∆→+∆-=∆，
（3）右导数：'
()()
()lim x f x x f x f x x
+
+∆→+∆-=∆，
函数()f x 在点0x x =处可导当且仅当函数()f x 在点0x x =处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数3y x =在0x =处的切线0y =，所以不正确； 对于③中，切线与导数的关系：
（1）函数()f x 在0x x =处可导，则函数()f x 在0x x =处切线一定存在，切线方程为
'000()()()y f x f x x x -=-
（2）函数()f x 在0x x =处不可导，函数()f x 在0x x =处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；
对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则
'0()f x 必存在，所以是正确的.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
5．C
解析：C 【分析】
将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1
sin 3
f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像. 【详解】 因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =
+-=-，()1
sin 3
f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1
sin 03
f x x x '=+>； 当3x >时，
113x >，1sin 1x -≤≤，则()1
sin 03
f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1
sin 03
f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C. 【点睛】
本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．A
解析：A 【分析】
先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】 1()f x x
'=
， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，
∴其斜率为k f ='（1）1=， ∴直线l 的方程为1y x =-．
又因为直线l 与()g x 的图象相切，
∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩
，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，
得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去）， 故选A 【点睛】
本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.
7．D
解析：D 【分析】
根据切线斜率可求得b ；进而可得到()1f n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前
2019项的和.
【详解】
由题意得：()2f x x b '=+ ()123f b '∴=+=，解得：1b =
()2
f n n n ∴=+ ()()211111
11
f n n n n n n n ∴
===-+++ 2019111111112019
112233420192019120202020
S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查裂项相消法求数列前n 项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.
8．B
解析：B 【分析】
利用导数求出与直线23y x =+平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得. 【详解】
1y x '=
,令12x =可得12x =，所以切点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 根据题意可知1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0m =，所以3,02A ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，此时2AB =.故选B. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.
9．A
解析：A
【解析】
由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，
3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππ
αααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.
10．C
解析：C 【分析】
根据基本导数公式判断即可． 【详解】
()sin 'cos x x =，()3'3ln 3x
x
= ，()21log 'ln2x x =
⋅，'
211x x
⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】
本题考查了基本导数公式，属于基础题
11．A
解析：A 【分析】
由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点
(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到
()2
()1f x x x x x =+=+，则()1111
()11
f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】
因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，
因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，
所以()2
()1f x x x x x =+=+，
数列()1111()11
f n n n n n ==-++， 所以202011111111
(12233420202021)
S =-
+-+-++-， 12020120212021=-
=. 故选：A 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中
档题.
12．B
解析：B 【解析】
()()00ln 1,ln 12f x x f x x ''=+=+=,解得0x e =,故选B. 二、填空题
13．2【分析】设出切点坐标根据切点的纵坐标等于曲线在处的函数值以及导数的几何意义求解出的值从而的值可求【详解】设切点为则由得所以解得所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知曲线的切线方程求解参数值的步骤：（
解析：2 【分析】
设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求. 【详解】
设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+， 由()001
1f
x x a
'
=
=+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2. 【点睛】
思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：
（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值
()0f x ，得到第一个方程；
（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.
14．【分析】利用官员发先求得函数的解析式再求得导函数即可求得在点处的切线的斜率【详解】已知令则所以则∵求得导函数可得∴由导数几何意义可知在点处的切线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解 解析：29
-
【分析】
利用官员发先求得函数()f x
的解析式，再求得导函数，即可求得在点)f
处的
切线的斜率.
【详解】
已知2
2
1111x x f x x
--⎛⎫= ⎪++⎝⎭， 令11x
t x
-=
+，则11t x t -=+，
所以()2
2211211111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则()2
21x
f x x =+
∵求得导函数可得()()
2
2
2221x f x x -'=
+，
∴29
f '
=-.
由导数几何意义可知在点)f
处的切线的斜率为2
9
-， 故答案为：2
9
- 【点睛】
本题考查了利用换元法求函数解析式，由导数几何意义求得切线斜率，属于中档题.
15．【分析】求出导函数根据题意转化为对恒成立即可得解【详解】曲线上总存在两点M （x1y1）N （x2y2）使曲线在MN 两点处的切线互相平行即所以对恒成立所以x1+x2的取值范围为故答案为：【点睛】此题考查
解析：()8+∞，
【分析】
求出导函数24()1f x x x λ
'=--，根据题意转化为()()2
12121244
x x x x x x λλ++=<对
2λ≥恒成立，即可得解.
【详解】
4()ln 2f x x x x λλ=+
-≥，，24
()1f x x x
λ'=--， 曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，
即121212()(),,0,0f x f x x x x x ''=≠>>，
221
122
44
11x x x x λ
λ-
-=--，
22121244x x x x λλ
-=-，()()2
12121244
x x x x x x λλ++=<
所以1216
x x λ
+>
对2λ≥恒成立
所以x 1+x 2的取值范围为()8+∞，. 故答案为：()8+∞，
【点睛】
此题考查导数的几何意义，根据导数的几何意义解决切线斜率相等的问题，求切点横坐标之和的取值范围，利用基本不等式构造不等关系求解.
16．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线 解析：330x y --=
【分析】
求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】
由题：(1)ln(32)0f =-=，3
()32
f x x '=
-， 所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，
所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=. 【点睛】
此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.
17．【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域进而将已知转化为两个值域存在包含关系进而可得答案详解：∵∴∵故∵∴g′′（x ）=2（lnx+1）当x ∈（0）时g′′（x ）＜0g′（x ）为减函数；当x ∈（
解析：2,1e ⎛⎤-∞-
⎥⎝
⎦. 【解析】
分析：分别求出两个函数导数函数的值域，进而将已知转化为两个值域存在包含关系，进而可得答案．
详解：∵()41
x f x e =+，∴()244
1(1)2x x x x
e f x e e e --==
+'++
∵11224x x
x x
e e e
+
+≥+=,故()[)'10f x ∈﹣， ∵()2
21ln 2
g x ax x x x =-
+,∴()'2g x a xlnx =+， g′′（x ）=2（lnx+1）， 当x ∈（0，1
e
）时，g′′（x ）＜0，g′（x ）为减函数； 当x ∈（1
e
，+∞）时，g′′（x ）＞0，g′（x ）为增函数； 故当x=
1e 时，g′（x ）取最小值a ﹣2e ，即g′（x ）∈[a ﹣2
e
，0） 若对于曲线()4
1
x
f x e =
+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线l 1， 总存在在曲线()2
21ln 2
g x ax x x x =-+上一点处的切线l 2，使得l 1∥l 2， 则[﹣1，0）⊆[a ﹣2e ，0）,即a ﹣2
e
≤﹣1． 解得：a ∈2,
1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
， 故答案为：2,
1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．
18．【解析】解得故故答案为 解析：1
【解析】
()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫
=-⋅+ ⎪⎝⎭，''sin cos 4444f
f ππππ⎛⎫
⎛⎫
∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得
'14f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，故)
'cos sin 11444422
f f ππππ⎛⎫⎛⎫
=+=
+
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故答案为1.
19．【解析】以此类推可得出即函数是周期为的周期函数又故答案为
【解析】
()()()()'213cos ,cos 'cos f x f x x sinx f x x sinx sinx x ==-=-=--，
()()45cos ,cos f x x sinx f x sinx x =-+=+，以此类推，可得出()()4n n f x f x +=，即函
数()1n f x +是周期为4的周期函数，又
()()()()12340f x f x f x f x +++=，
1232017...3333f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
20171cos 3333f f sin ππππ⎛⎫⎛⎫
===+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
20．-6【解析】则解得则故答案为
解析：-6 【解析】
()()()()232'2,'62'2f x x xf f x x f =+∴=+ ，则()()'2622'2f f =⨯+ ，解得()'212f =- ，则()()'624,'318246f x x f =-∴=-=- ，故答案为6- . 三、解答题
21．(1)1y x =- ；(2)0a < . 【解析】 试题分析：
(1)首先利用导函数求得切线的斜率为1，然后利用点斜式可得切线方程为1y x =-； (2)求解函数的导数，然后讨论函数()2
21t x ax ax =-+的性质可得实数a 的取值范围是
0a < .
试题
（1）当()0,ln a f x x ==则()10f = 又()1
,f x x
'=
则切线的斜率1k =， 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-．
（2）()2
ln f x x ax ax =+-，0x >，则()221
ax ax f x x
'-+=，
令()2
21t x ax ax =-+，
①若0a =，则()2
2110t x ax ax =-+=>，故()'0f x >，函数()f x 在()0+∞，
上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，
上无极值点，故0a =不符题意，舍去； ②若0a <，()2
2
11212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝
⎭，该二次函数开口向下，对称轴
14x =
，111048t a ⎛⎫
=-> ⎪⎝⎭
，
所以()0t x =在()0+∞，上有且仅有一根2
084a a a x a
--=，故()0'0f x =， 且当00x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()00x ，
上单调递增； 当0x x >时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()0x +∞，
上单调递减； 所以0a <时，函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点2084a a a x a
--=
，符合题
意；
③若0a >，()2
211212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝
⎭，该二次函数开口向上，对称轴1
4
x =
． （ⅰ）若111048t a ⎛⎫=-≥
⎪⎝⎭，即08a <≤，()104t x t ⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭
，故()'0f x ≥，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故08a <≤不符
题意，舍去； （ⅱ）若111048t a ⎛⎫=-<
⎪⎝⎭
，即8a >，又()010t =>，所以方程()0t x =在()0+∞，上有两根2184a a a x a --=，2284a a a x a
+-=，故()()12''0f x f x ==，且 当10x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()10x ，
上单调递增； 当12x x x <<时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()12x x ，
上单调递减； 当2x x >时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()2x ，
+∞上单调递增； 所以函数()f x 在()0+∞，
上有两个不同的极值点，故8a >不符题意，舍去， 综上所述，实数a 的取值范围是0a <．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22．（1） 1.y =-；（2）3. 【解析】
试题分析：（1）切线的斜率就是该点处的导数，即'(0)k f =；（2）当
时，
10x e ->，不等式()(1)10x k f x x '-+++>为(1)(1)10x
x k e x -+-++>，即
111x x k x e +<
++-，这样k 小于1
11
x
x x e +++-的最小值，因此下面只要求1()11x x g x x e +=++-的最小值.2
(2)'()(1)
x x x e e x g x e --=-，接着要讨论()2x h x e x =--的零点，由于()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0,(2)0h h ，因此()h x 在(0,)+∞上有唯一零点，即
在
上存在唯一的零点，设其为α，则'()0,(1,2)g αα=∈，可证得
()g α为最小值，()2(3,4)g αα=+∈，从而整数k 的最大值为3.
试题
（1）()2,x f x e x x R =--∈，/()1,x f x e x R =-∈， 2分
/(0)0f = 曲线()f x 在点
处的切线方程为 1.y =- 4分
（2）当
时，10x e ->，所以不等式可以变形如下：
/1
(1)()10(1)(1)1011
x x x x k f x x x k e x k x e +-+++>⇔-+-++>⇔<
++- ① 6分 令()1
11
x
x g x x e +=++-，则 函数在
上单调递增，而
所以()h x 在上存在唯一的零点，故
在
上存在唯一的零点.
设此零点为α，则. 当时，；当
时，
； 所以，
在
上的最小值为()g α.由
可得 10分
所以，()()23,4.g αα=+∈由于①式等价于.
故整数k 的最大值为3. 12分
考点：导数与切线，不等式恒成立，导数与单调性，函数的零点. 23．（I ）12
a =；（II ）在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭是减函数.
【分析】
（I ）利用导数求出切线斜率，利用圆心到直线距离等于半径列方程可得1
2
a =
；（II ）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，
()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；
【详解】
（I ）依题意有1
()2f x a x
=
-'， 所以切线斜率为 12a -， 切线方程()()2121y a a x +=--
即()2110a x y -++=
又已知圆的圆心为()1,0-，半径为1，
1=
解得12
a =
（II ）依题意知()ln 2f x x ax =-的定义域为()0,∞+ 又知1
()2f x a x
=
-' 因为0,0a x >>，令
1
20a x
-> 由120ax ->，得102x a
<<； 由120ax -<，得12x a
>
所以在10,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭是增函数
在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
是减函数 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率
k ,即求该点处的导数()0
k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()1
1
,,A x f x 即解方程()1
f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()1
1
,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点
()()00,,A x f x 利用()()()10010
f x f x k f x x x -'=
=-求解.
24．（1）7
34
y x =-（2）见解析 【分析】
（1）由导数的几何意义求解即可；
（2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程，求出切线与直线0x =和直线y x =的交点，根据三角形面积公式，即可得出答案. 【详解】 （1）31(2)222
f =-
=
23()1f x x '=+
，37(2)144
f '
∴=+= 则曲线()y f x =在2x =处的切线方程为17
(2)24
y x -
=-，即734y x =-
（2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程为
231()y n x m m ⎛
⎫-=+- ⎪⎝⎭
即2331()y m x m m m ⎛⎫⎛⎫--
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令0x =，得6
y m
=-
令y x =，得2y x m ==
从而切线与直线0x =的交点为60,m ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，切线与直线y x =的交点为(2,2)m m ∴点(,)P m n 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积
16
|2|62S m m
=⋅-⋅=，为定值.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.
25．(1) 38
ϕπ=- (2) 最大值和最小值分别为2
和-1. (3)证明见解析 【分析】
（1）利用向量的数量积求得函数()f x 、()4y f x π
=-的表达式，从而利用三角函数性质求
得ϕ的值；
（2）结合x 的取值范围求得函数最值；
（3）利用导函数求得三角函数的切线斜率取值范围，然后去判断直线与()4y f x π
=-图象
的关系． 【详解】
(1)可知()sin 2sin 2cos2cos2cos(22)f x a b x x x ϕϕϕ=⋅=+=-， 所以cos 22sin(22)44
f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为8
x π=是函数4y f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭图象的一条对称轴， 所以22()8
2
k k Z π
π
ϕπ⨯
+=+
∈，得1()28
k k Z π
ϕπ=
+∈
因为0πϕ-<<，所以31,8
k ϕπ=-=- (2)所以3sin 244y f x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以332,444x πππ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以函数4y f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为2和1-. (3)因为32cos 24y x π'
⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
所以2y '≤即函数4y f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
图象的切线斜率的取值范围为[2,2]-，
30y -+=
2>，
30y -+=与函数4y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象不相切. 【点睛】
本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．（1）1
ln 22
--；（2）3 【分析】
（1）求出导函数，代入x 的值即可得到结果； （2）不等式()()0g x f x k x
-'>恒成立等价于[]
(1)1ln(1)x x k x
+++<
对于0x >恒成立.
【详解】
（1）由题意可得()()2
ln 11
1x
x x f x x +=
'--+ ∴()1
1ln 22
f '=--；
（2）当0x >时，不等式()
()0g x f x k x
'->恒成立 即[]
(1)1ln(1)x x k x +++<
对于0x >恒成立 设[]
(1)1ln(1)()x x h x x
+++=
，则2
1ln(1)
()x x h x x --+'=
1()1011
x g x x x '=-
=>++，()1ln(1)g x x x =--+在区间()0,∞+上是增函数，
且()0g x =存在唯一实数根a ,满足(2,3)a ∈，即1ln(1)a a =++ 由x a >时，()0,()0g x h x '>>；0x a <<时，()0,()0g x h x '<< 知()(0)h x x >的最小值为[]
(1)1ln(1)()1(3,4)a a h a a a
+++==+∈
故正整数k 的最大值为3. 【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。