江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题03

江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题03
一、选择题
1．已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )
A.}1,1{-
B.}3{
C.}3,2{
D. }3,2,1{ 【答案】D 【解析】
试题分析：}1{<∈=x R x B ,则A
B =}1{-,阴影部分表示的集合为}3,2,1{，选D.
【考点定位】1.绝对值不等式的解法；2.集合的运算.
2．设R d c b a ∈,,,，则“d c b a >>,”是“bd ac >”成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】
4．已知复数
21i
z i =
+，则z 的共轭复数z 是( )
A.i -1
B.i +1
C.i
D.i - 【答案】A 【解析】
试题分析：∵21i z i =
+＝2(1)(1)(1)
i i i i -+-＝1i +，∴1z i =-，故选A ． 【考点定位】1、复数的运算；2、共轭复数． 5．在复平面内，复数52i
z i
=
-的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限角 D.第四象限
6．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则B
B
3sin sin 等于（ ） A ．
c a B ．b c C ．a
b
D ．c b 【答案】D 【解析】
试题分析：3C A B B ππ∠=-∠-∠=-∠，所以sin sin(3)sin3C B B π=-=，
sin sin sin 3sin B B b B C c
==.
【考点定位】三角形的内角和，正弦定理. 7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2
||π
ϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图
象，则只需将g(x)=sin2x 的图象（ ）
A. 向右平移
6
π
个长度单位 B. 向左平移
6
π
个长度单位
C. 向右平移3
π
个长度单位 D. 向左平移
3
π
个长度单位
【
答
案
】
B
8．已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) (A)
322 (B)3152 (C)-322 (D)-315
2
【答案】A
【解析】AB =(2,1), CD =(5,5),设AB ,CD 的夹角为θ,则AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos θ=
AB CD CD
⋅=
1552
=32
2.故选A. 【考点定位】向量的坐标运算及向量的投影.
9．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =（ ） A.8 B.12 C.8或8- D.12或12-
10．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量
(,)m a b =与向量(1,1)n =-垂直的概率为
（A ）
16 （B ）13 （C ）14 （D ）1
2
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意可知(,)m a b =有：
(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5).共12个.
m n ⊥即0,m n ⋅=所以1(1)0,a b ⨯+⨯-=即a b =，有(3,3)，(5,5)共2个满足条件.
故所求概率为1
6
.
【考点定位】古典概型
11．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）
A．
3
2
B．
3
4
C．1 D．
1
2
【答案】B
【解析】
12．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
【答案】C
【解析】选项A中也可以l∥β，选项B中也可以l∥β，选项D中也可以l⊂β，l∥β或l 与β斜交．
【考点定位】空间直线与平面的位置关系.
13．已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )
36
36
则12PF F S
=
12|PF 1||PF 2|sin60°=1
2
|F 1F 2||y|, 解得|y|=62.故选B.
【考点定位】双曲线.
14．已知椭圆
11022
2=-+-m
y m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于 （ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【答案】A 【解析】
试题分析：因为焦距为4,所以242c c ===,因为椭圆
22
1210x y m m
+=--的焦点在x 轴上,所以2
2
2,10a m b m =-=-,根据22221248c a b m m =-⇒-=⇒=,故选A. 【考点定位】椭圆 焦点
15．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ）
A ．3
B ．126
C ．127
D ．128
二、填空题 16．命题
:p 对0x ∀≥，都有310x -≥，则p ⌝是____________________.
【答案】“0
0x ∃<，使得3010x -<”
【解析】试题分析：试题分析：由命题的否定概念可知，p ⌝是“00x ∃<，使得3
010x -<”.
【考点定位】命题的否定. 17．已知2tanα·sinα＝3，－
2π＜α＜0，则cos(α－6
π
)＝____________．
19．曲线ln y a x =(0)a >在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a = . 【答案】1
(,]2
-∞ 【解析】
20．设实数x,y 满足条件：10,0x y ≥≥；2360x y --≤；320x y -+≥，目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则
23
a b
+的最小值是 【答案】
256
【解析】
试题分析：约束条件036020
x y o
x y x y ⎧⎪≥⎪⎪
≥⎨⎪--≤⎪-+≥⎪⎩的可行域如图所示，
目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=
632
b
-，（
23a b +）（2a+3b ）,4+9+66b a a b +25≥，（当56a b ==时，等号成立），所以23a b +25
6≥，即
23a b +的最小值是256
. 【考点定位】1.线性规划；2.基本不等式的性质.
21．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是．
三、解答题
22．空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数确定。

空气质量指数越高，代表空气污染越严重：
空气质量指数0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 ≥250
空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
经过对某市空气质量指数进行一个月（30天）监测，获得数据后得到条形图统计图如图：
（1）估计某市一个月内空气受到污染的概率（规定：空气质量指数大于或等于75，空气受到污染）；
（2）在空气质量类别为“良”、“轻度污染”、“中度污染”的监测数据中用分层抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在这6数据中任取2个数据，求这2个数据所对应的空气质量类别不都是轻度污染的概率.
【答案】（1）3
5
；（2）
4
5
.
【解析】
（2）由分层抽样方法抽取“良”、“轻度污染”、“中度污染”的监测数据的分别为2,3,1 7分
设它们的数据依次为21,a a 、321,,b b b 、1c ，则抽取2天数据的基本事件总数为
),(),,(),,(),,(),,(1131211121c a b a b a b a a a ,),(),,(),,(),,(),,(2112322212b b c a b a b a b a
),(),,(),,(),,(),,(1312321131c b c b b b c b b b 共15种 9分
设这2天的空气质量类别不都是轻度污染为事件A ，则A 中的基本事件数为12种 所以5
4
1512)(==
A P ，即这2天的空气质量类别都不是轻度污染的概率为45 12分
【考点定位】1.条形图应用；2.古典概型.
23．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2
2C ＋c cos 22A ＝32
b .
(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；
(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．
【考点定位】1、解三角形；2、等差数列. 24．已知函数f (x )＝2cos
2
2
x
－3sin x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若α为第二象限角，且f ()3π
α-
＝13，求
21 2 2cos cos sin α
αα
＋－的值． 【答案】（1）最小正周期为2π，值域为[－1,3]（2）
122
2
－
所以原式＝ 2 cos sin cos ααα＋＝1221223
3223
－＋
－＝－ 【考点定位】三角函数及三角恒等变形. 25．已知数列}{n a 的前n 项和是n S ，且)(12
1
*N n a S n n ∈=+． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设*31log (1)()n
n b S n N +=-∈，求适合方程51
25
1111322
1=+
⋅⋅⋅+++n n b b b b b b 的正整数n 的值．
【答案】（1）1
2()3
n n a =•；（2）100n =. 【解析】
试题分析：本题考查数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识，考查思维能力、分析问题与解决问题的能力.第一问，利用11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧
=⎨-≥⎩求解，可以推出{}n a 为等比数列；
第
二
问
，
先
利用
已
知
把
n
S 求
（2）111()23n n n s a -=
=，13131
log (1)log ()13
n n n b s n ++=-==-- 9分
11111
(1)(2)12n n b b n n n n +==-
++++ 11分
1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++ 13分
解方程
1125
2251
n -=
+，得100n = 14分 【考点定位】1.已知n S 求n a ；2.等比数列的通项公式；3.裂项相消法求和.
26．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，
43b S =.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=
，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：11
32
n T ≤<. 【答案】（1）1
2n n a -=，1(1)221n b n n =+-⨯=-；（2）证明过程详见解析.
【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力.第一问，先利用n a 是n S 和1的等差中项，得到
21
n n S a =-，由
n
S 求
n
a ，
（2）111111
()(21)(21)22121
n n n c b b n n n n +===--+-+ 7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121
n n
T n n n n =
-+-++-=-=
-+++ 9分 ∵*n N ∈,∴111
12212
n T n ⎛⎫=
-< ⎪+⎝⎭ 10分 ()()
111
021212121n n n n T T n n n n ---=
-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列 ∴113
n T T ≥=. 综上所述，
11
32
n T ≤< 12分 【考点定位】1.等差中项；2.由n S 求n a ；3.等比、等差数列的通项公式与求和公式；4.裂项相消法求和.
27．如图，一简单组合体的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ADE ； （2）若2AB =，1BC =，3
tan 2
EAB ∠=
，试求该简单组合体的体积V ． 【答案】（1）详见解析；（2）该简单几何体的体积1V =． 【解析】
（2）所求简单组合体的体积：E ABC E ADC V V V --=+ ∵2AB =，1BC =， 3
tan 2
EB EAB AB ∠== ∴3BE =
223AC AB BC -=分
∴111
362
E ADC ADC V S DE AC DC DE -∆=
⋅=⋅⋅= 111
362
E ABC ABC V S EB AC BC EB -∆=⋅=⋅⋅=
∴该简单几何体的体积1V = 12分
【考点定位】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
28．椭圆c ：22
221x y a b
+=（a>b>0）的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1，
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A ，B ，点P 是直线x=1上的动点，直线PA 与椭圆的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆的另一个交点为N ，求证：直线MN 经过一定点.
【答案】（1）14
22
=+y x ；（2）证明详见解析 【解析】
联立解答弦长为a b 2
2＝１， 2分
所以椭圆的方程1422
=+y x . 4分
（2）设Ｐ（１，ｔ）
3210t t k PA =
+-=
，直线)2(3:+=x t
y l PA ，联立得：
同理得到222
82,41
4.41N N t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
8分
由椭圆的对称性可知这样的定点在x 轴， 不妨设这个定点为Ｑ
()0,m ， 10分
又m t t t t k MQ
-+-+=948189412222，m t t t t
k NQ -+-+=1
42
81442
22 ， NQ
MQ k k =，
()28326240m t m --+=，
4m =. 12分
【考点定位】1.椭圆方程的性质；2.点共线的证法.
29．已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()x
g x e '=，且(0)(1)g g e '=，其中e 为自然对数的底数． （1）求()f x 的极值；
（2）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式3
()x m g x x
-+<
成立，试求实数m 的取值范围； （3）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-． 【答案】(1)当0a ≥时，()f x 没有极值； 当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a =-时，11
()()ln()1f x f a a
=-=--极大. (2)3m <. (3)见解析. 【解析】
当0a <时，1
()
()a x a f x x
+'=，若1(0,)x a ∈-时，()0f x '>；若1(,)x a ∈-+∞时，()0f x '< ()f x ∴存在极大值，且当1x a
=-时，11
()()ln()1f x f a a
=-=--极大
综上可知：当0a ≥时，()f x 没有极值；当0a <时，()f x 存在极大值，且当1
x a
=-
时，11
()()ln()1f x f a a
=-=--极大 4分
(2)
函数()g x 的导函数()x
g x e '=，()x
g x e c ∴=+
(0)(1)g g e '=，(1)c e e ∴+=0c ⇒=，()x g x e = 5分
当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()
x ϕ
在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t
x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-
(1)10e ϕ'=->，1()20
2ϕ'=<，1(,1)2
t ∴∈
由于()2t
t e t ϕ=+-在1(,1)2
t ∈上为增函数，
1
2
min 11
()()222022
t
x t e t e ϕϕ∴==+->+->-=
()()2f x g x ∴<- 14分
【考点定位】应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，应用导数证明不等式.
30．已知函数2
1()(3)3ln 2
f x x m x m x =
-++，m ∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；
(Ⅱ)设1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x 为函数()f x 的图象上任意不同两点，若过A ，B 两点的直线l 的斜率恒大于3-，求m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)120≤≤m . 【解析】
试题分析：(Ⅰ)先求出函数2
1()(3)3ln 2
f x x m x m x =-++的定义域为()0,+∞，再对函数求导得(3)()
()x x m f x x
--'=
.对m 分0m ≤，3m = ，03m <<，3m >四种情况进行讨
论，求得每种情况下使得()0f x '>的x 的取值范围，求得的x 的取值集合即是函数的单调增区间；(Ⅱ)先根据两点坐标求出斜率满足的不等式，对1x 、2x 的取值进行分类讨论，然后将问题“过A ，B 两点的直线l 的斜率恒大于3-”转化为“函数2
1()3ln 2
g x x mx m x =-+在()0,+∞恒为增函数”，即在()0,+∞上，3()0m
g x x m x
'=-+
≥恒成立问题，即是2()30h x x mx m =-+≥在),0(+∞∈x 恒成立问题，然后根据不等式恒成立问题并结合
当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞；当03m <<时，函数()f x 的单调递增区间是()0,m ，()3,+∞；当3m =时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当3m >时，函数()f x 的单调递增区间是()0,3，(),m +∞. 6分。