2020《金版新学案》高三数学一轮复习 4-3 两角和与差

第4章 第3节

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．cos α＋3sin α化简的结果是

( ) A.12sin(π6＋α) B ．2sin(π3＋α)

C ．2sin(π6＋α) D.12sin(π3＋α)

【解析】 cos α＋3sin α＝2(12cos α＋3

2sin α)

＝2(sin π6cos α＋cos π

6sin α)

＝2sin(π

6＋α)．故选C.

【答案】 C

2．(2008年海南、宁夏卷)3－sin 70°

2－cos 2 10°＝

( ) A.1

2 B.2

2

C ．2 D.3

2

【解析】 原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2

＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2，故选C.

【答案】 C

3．在△ABC 中，已知2sin A ·cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是

( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

【解析】 ∵2sin A cos B ＝sin(A ＋B )，且A ，B ∈(0，π)

∴sin(A －B )＝0，且－π<A －B <π

∴A ＝B 为等腰三角形．

【答案】 B

4．已知cos(π－2α)sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－2

2

，则cos α＋sin α等于

( )

A ．－

72 B.72 C.12 D ．－12

【解析】 由已知可得cos(π－2α)sin ⎝⎛⎭⎫α－π

4＝－cos 2α2

2(sin α－cos α)

＝－(sin α＋cos α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝sin α＋cos

α

22

＝－22⇒sin α＋cos α＝－1

2.

【答案】 D

5．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是

( ) A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin β

B ．cos(α＋β)＞cos αcos β

C ．sin(α＋β)＞sin(α－β)

D ．cos(α＋β)＞cos(α－β)

【解析】 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β＞0，

故sin(α＋β)＞sin(α－β)．

【答案】 C 6．若sin ⎝⎛⎭⎫π

3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π

3＋2α＝ ( )

A ．－7

8 B ．－1

4

C.14

D.7

8

【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π

3－α＝1

4，

∴cos ⎝⎛⎭⎫2π

3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π

3－α＝1－2×⎝⎛⎭⎫1

42＝7

8.

∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π

3－2α

＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π

3－2α＝－7

8.

【答案】 A

二、填空题(每小题6分，共18分)

7.cos 2α1＋sin 2α·1＋tan α1－tan α

的值为 ( )

【解析】 原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋sin αcos α1－sin αcos α

＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α

＝1. 【答案】 1

8．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．

【解析】 原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30° ＝tan 45°(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝1.

【答案】 1

9．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35

， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭

⎫α＋π4＝________. 【解析】 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以(α＋β)∈⎝⎛⎭

⎫3π2，2π， 所以cos(α＋β)＝45

. 因为⎝⎛⎭⎫β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513

. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦

⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－5665

. 【答案】 －5665

三、解答题(共46分)

10．(15分)计算csc12°·(3tan12°－3)4cos 212°－2

的值． 【解析】 原式＝3sin12°－3cos12°2cos12°sin12°(2cos 212°－1)

＝23(12sin12°－32cos12°)sin24°cos24°

＝23sin(12°－60°)12

sin48°