高数数学经济应用题

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高等数学应用题
1、 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c ，每台电视机的销售价格为p ，销售量为x ，假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。

根据市场预测，销售量x 与销售价格p 之间有下面的关系：
(0,0)p
x Me M αα-= >>，其中M 为市场最大需求量，α是价格系数。

同时，生产部门根据生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c 有如下测算：
0ln (0,1)c c k x k x =- >>，其中0c 是只生产一台电视机时的成本，k 是规模系数。

根据上述条件，应如何确定电视机的售价p ，才能使该厂获得最大利润？
解：设厂家获利为u ，则()u p c x =-。

作拉格朗日函数
0(,,)()()(ln ).p L x p c p c x x Me c c k x αλμ-=-+-+-+
令
()000x p
p c L p c k x L x Me
L x αμλλαμ-⎧
=-++=⎪⎪=+=⎨⎪=-+=⎪⎩
解之得
01
ln *.1c k M k p k
α
α-+
-=
-
因为最优价格必定存在，所以*p 是电视机的最优价格。

2 某企业分批生产某产品q 吨，固定成本８万元，总成本函数为
23
8)(kq q C +=
其中k 为待定系数，已知批量q = 9吨时，总成本Ｃ= 62万元，问批量是多少时，使每批产品的平均成本最低？
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解：将9,62q C ==代入38)(kq q C +=，得2k =则平均成本为，
()(
)8
C q C q q q
=
=+ (
)28C q q '
=-
(
)2
80,0,C q q '=-+=则得4q =
所以批量为4吨时，每批平均成本最低。

3生产某产品的边际成本为x x C 8)(='(万元／百台)，边际收入为x x R 2100)(-='(万
万元／百台)，某中x 为产量，若固定成本为10万元，问(1)产量为多少时，利润最大？
(2)从利润最大时的产量再生产２百台，利润有什么变化？ 解：()284C x xdx c x ==+⎰
，
又固定成本为10万元，则()2410C x x =+ ()()2
1002100R x x
d x x c
x
=
-=-+⎰ 因为0x =时R=0，所以C=0，则()2100R x x x =- ()()(
)210051
0L x R x C x x x =-=-- ()10010L x x
'=-，令()0L x '=，有10x = 所以产量为10百台时利润最大。

此时最大利润为()10100050010490L =--=（万元） 此时再生产2百台，利润为()212120051047012L =-⨯-=（万元）
4设某工厂生产A 和B 两种产品同时在市场销售，售价分别为1
p 和2
p
，需求函数分别为
11221240225q p p q p p =-=+-+，，假设企业生产两种产品的成本为
22
1222
C q q q q =++，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？ 解：总收入函数：22
1122121122659022R p q p q p p p p p p =+=+---
2222121122112222
121122
659022.
6590233L R C p p p p p p p p p p p p p p p p =-=+----++=+---（） 12(,)L p p 现在求二元函数的最大值.由极值的必要条件解方程组
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12121265430
90360
p p L p p L p p =--=⎧⎪⎨
=--=⎪⎩得唯一驻点(8,11)，由问题的实际意义知最大利润存在，故当128,11p p ==时，厂家获得最大日利润.最大日利润为755.
5 已知连续复利为0.05，现存入a 万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…
第n 年取出10+9n 万元，问a 至少为多少时，可以一直取下去？ 解：由题得
0.050.0520.050.050.0511
0.05
0.050.05
1
1928(109) 109 1091n n
n
n n n
n a e e n e e
ne e ne e --⨯-∞
∞--==-∞
--=≥+++++
=+=+-∑∑∑
设0.051
()9nx
n f x ne
∞
-==
∑
两边求积分
0.050.050
01
1
0.051
11
()99(
)0.050.05 180180
x
x
nt
nx n n nx n f t dt n e
dt n e n n
e ∞
∞
--==∞
-===---=+∑∑⎰
⎰∑
由0x >，
0.050.050
()180(1)1x
x
x
e f x dx e
--=--⎰
对上式两边求导0.050.050.0520.052
0.059()180(1)(1)
x x
x x e e f x e e ----==-- 令1x =，则0.05
0.050.052
1
9()9(1)(1)
n
n e f x ne
f e -∞
--==
==-∑ ∴0.050.050.050.1
0.050.0520.052
10919103794.291(1)(1)e e e e a e e e --------≥
+==--- 所以a 至少应为3795.
6设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；
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(II) 推导
)1(d E Q dP
dR
-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. (I) P
P
dP dQ Q P E d -=
=20. (II) 由R = PQ ，得
)1()1(d E Q dP
dQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=
P
P
E d ，得P = 10.
当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dP
dR
，
故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.
【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dP
dQ
Q P dP dQ Q P E d -
==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：
Qdp E dR d )1(-=，
Q E dp dR d )1(-=，p E dQ dR d
)1
1(-=， d E Ep
ER
-=1(收益对价格的弹性). 7已知某产品的边际成本34)(-='q q C （万元/百台），q 为产量（百台），固定成本为18
（万元），
求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本． 解（1）183218)34()()(20
00
+-=+-=+'=
⎰⎰q q q C dq q C q C q
q
总成本
∴平均成本函数 q
q q q C C 18
32)(+-==
（说明：若要求产量q=10时的总成本与平均成本，则只要把q=10代入就可以。

即
5
94
1018310218818103102)10(102=+
-⨯=+⨯-⨯==）（平均成本为，
＝时总成本为q C C q
（2）2182q C -
='，令018
22
=-='q
C ，解得唯一驻点3=x 因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为300台时，可使平均成本达到最低。

∴最低平均成本为93
18
332)6(=+
-⨯=C （万元/百台） 8
生产某产品的边际成本为x x C 5)(=' (万元/百台)，边际收入为x x R -='120)(（万元/百台），其中x 为产量，问（1）产量为多少时，利润最大？
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（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解：'='-'L x R x C x ()()()x x x 61205)120(-=--=
令'=L x ()0 得 20=x （百台），可以验证20=x 是是L x ()的最大值点，即当产
量为20（百台）即2000台时，利润最大．
从利润最大时的产量再生产2百台，利润变化为x x x x L L d )6120(d )(22
20
2220
⎰⎰-='=
12)
3120(22
20
2-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少12万元
9 经济学中有Cobb-Donuglas 生产函数模型:α
α-=1),(y
Cx y x Q ,式中x 表示劳动力的
数量,y 表示资本数量,C 与α(10<<α)是常数,由不同企业的具体情形决定.函数值表示生产量.现已知某生产商的Cobb-Donuglas 生产函数为4
14
380),(y x y x Q =,若每单位劳力需600元,每单位资本是2000元,工厂对该产品的劳力和资本的投入总预算是40万元,试求最佳资金投入分配方案.
解:设产出为4
14
380),(y x y x Q =,约束方程为x 600+000,4002000=y . 构造辅助函数)000,4002000600(80),(4
143-++=y x y x y x F λ, 3分
解 ⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=+=+⨯='=+⨯='--.000,4002000600,02000
4180,
060043804
3
434
1
41y x y x F y x F y x λλ 5分 得500=x ,50=y 为唯一驻点. ８分
由实际问题知必存在最大产出量,所以当投入500个劳力单位和50个资本单位时,可使产出量最大,是最佳资金投入方案.
10 某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对
这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求： （1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？
解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．
因为 q p =-100010，即p q =-
1001
10
， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(1001
10-q )q =100110
2q q -．
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（2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =100110
2
q q -
-(60q +2000) = 40q -110
2
q -2000 且 'L q ()=(40q -
110
2
q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．
11某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2
（元），单位销售
价格为p = 14-0.01q （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少. 解 由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==
利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，
且最大利润为
1230
125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 12
已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++2502010
2
（万元）．问：要使平
均成本最少，应生产多少件产品？
解 （1） 因为 q ()=
C q q ()=2502010
q q
++ q ()=(
)2502010q q ++'=-+
2501
10
2q 令'C q ()=0，即-
+=2501
10
02q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去）
， q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．
所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．。