高三北师大文科数学课时作业 第讲 函数的奇偶性与周期性A 含解析

课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性]
(时间：35分钟 分值：80分)
基础热身
1．[2012·九江模拟] 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧1－2－x （x ≥0），2x －1（x <0），则该函数是( ) A ．偶函数，且单调递增
B ．偶函数，且单调递减
C ．奇函数，且单调递增
D ．奇函数，且单调递减
2．函数f (x )＝a 2x －1a x (a >0，a ≠1)的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
3．[2012·哈尔滨师范大学附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
4．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．
能力提升
5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭
⎫－134＝( ) A.32 B ．－32
C.12 D ．－12
6．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
7．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2
的图像关于原点对称，则f a 2＝( ) A.33 B ．－33
C ．1
D ．－1 8．[2012·鹰潭模拟] 设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的( )
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．
10．[2013·南昌一中、十中联考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．
①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）
＝－1. 11．[2012·南京三模] 若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．
12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72
. (1)求m 的值；
(2)判定f (x )的奇偶性；
(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
难点突破
13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a
是奇函数． (1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．
课时作业(六)A
【基础热身】
1．C [解析] x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；x <0时，f (－x )＝1－2x ＝－f (x )．所以f (x )
为奇函数，又由图像知为增函数．故选C.
2．A [解析] 因为f (－x )＝a －x －1a
－x ＝－(a x －a －x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图像关于原点对称．故选A.
3．A [解析] 依题意当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(2x 2＋x )，所以f (1)＝－3.故选A.
4．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数． 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，
∴f (1)＝－1，
则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3.
【能力提升】
5．A [解析] 依题意f －134＝f －54＝f 34＝32
.故选A. 6．A [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，所以f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)－f (4)＝－1.故选A.
7．A [解析] 函数f (x )定义域为{x |－2<x <2}，依题意函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，
得a ＝－2，所以f a 2＝f (－1)＝|－1－2|－24－1
＝33.故选A. 8．A [解析] 判断出函数f (x )为奇函数和增函数．故选A.
9．1.5 [解析] 由f (x ＋1)＋f (x )＝3得f (x )＋f (x －1)＝3，两式相减得f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (－2 005.5)＝f (－1.5)＝f (－2＋0.5)＝f (0.5)＝1.5.
10．①②③ [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以①正确，由f (－x )＋f (x )＝0，可推得选项②③正确，④中，要求f (－x )≠0，故④错误．
11．(－1－3，＋∞) [解析] 由函数f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )＝x 2－ax ，所以a ＝－2.
当x <0时，f (x )>a 即－x 2－2x >－2⇒x 2＋2x －2<0，解得－1－3<x <0；当x ≥0时，f (x )>－2恒成立．
综上，满足f (x )>a 的x 的取值范围是(－1－3，＋∞)．
12．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72
，所以m ＝1. (2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，
又f (－x )＝－x －2－x ＝－x －2x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．
(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)1＋2x 1x 2
， 因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，1＋2x 1x 2
>0， 所以f (x 1)>f (x 2)，
所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．(或用求导数的方法)
【难点突破】
13．解：(1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，
即－1＋b 2＋a ＝0，所以b ＝1.所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a
.
又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a
，所以a ＝2. (2)方法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2
＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (－2t 2＋k )． 因f (x )是减函数，所以t 2－2t >－2t 2＋k .
即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.
从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13
. 方法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2
，又由题设条件得 －2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2
<0， 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0.
整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.
上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13
.。