江苏省宿迁中学2007—2008学年度高三第一学期

江苏省宿迁中学2007—2008学年度高三第一学期
数 学 试 卷
一、选择题：
1、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2
y x =,值域为{1,4}的“同族函数”共有 （ ） A ．9个 B ．8个 C ．5个 D ．4个
2．已知22
{|1},{|1}M x y x N y y x ==-==-，那么M
N =
（ ）
A ．∅
B ．M
C ．N
D ．R
3．设θ是第二象限角,且cos ,sin
cos
2
2
t θ
θ
θ=<,则sin
2
θ
的值是 （ ）
A
B
C ．
D ． 4．若222sin sin 2sin 0αβα+-=，则22cos cos αβ+的取值范围是 （ ）
A ．[1,5]
B ．[1,2]
C ．9[1,]4
D ．[1,2]-
5．若函数f (x)满足1
(1)()
f x f x +=
，且(1,1]时,(),x f x x ∈-=则函数y=f(x)的图象与函数 3
l o g y x =的图象的交点的个数为
（ ）
A ． 3
B ． 4
C ． 6
D ． 8
6．已知偶函数y =f (x )在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则
（ ）
A ．(sin )(cos )f f αβ>
B ．(sin )(cos )f f αβ<
C ．(sin )(sin )f f αβ>
D ．(cos )(cos )f f αβ>
7、若2log 3a =，3log 2b =，13
log 2c =，2
1
log 3
d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ） A ．a b c d <<< B ．d b c a <<< C ．d c b a <<< D ．c d a b <<<
8．已知定义在R 上的奇函数()满足()2
y f x y f x π
==+为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述，
（1）()y f x =是周期函数 （2）x π=是它的一条对称轴 （3）(,0)π-是它图象的一个对称中心 （4）当2
x π
=
时，它一定取最大值
其中描述正确的是
（ ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（4）
D ．（2）（3）
二、填空题：
9.幂函数()f x
的图象经过点，则()f x 的解析式是
__．
10．y =f(x)是关于x=3对称的奇函数，f （1）=1
,cos sin x x -=，则15s i n 2[]
cos()
4
x f x π+= ； 11．在△ABC 中，a,b,c 分别为∠A ．∠B ．∠C 的对边，若a,b,c 成等差数列，sin B =45
且△ABC 的面积为32
，则b = .
12、命题“存在x ∈Z 使x 2+2x +m ≤0”的否定是 ． 13、设,a b R ∈，集合{1,,}{0,
,}b
a b a b a
+=，则b a -= ． 14、2
)2(lg 50lg 2lg 25lg ++= ． 15、若1,0a b ><,
且b
b
a a
-+=则b b a a --的值等于 ．
16、已知f (x)=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为 ． 三、解答题：
17、集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ⊆A ，且A∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．
18
．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
． （1）求()f x 的最大值和最小值；
（2）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求实数m 的取值范围．
19．已知函数2
1()2sin 1[]2
f x x x x θ=+- ∈。

（1）当6
π
θ=
时，求()f x 的最大值和最小值。

（2）若()f x 在1
[]22
x ∈上是单调函数，且[0,2)θπ∈，求θ的取值范围。

20．设函数()log (3)(0且1)a f x x a a a =->≠，当点(,)P x y 是函数()y f x =的图象上的点时，点(2,)
Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点。

（1）求出函数()y g x =的解析式；
（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -≤，试确定a 的取值范围。

21、已知f (x )＝x
x
a
-+11log (a >0, a ≠1) （1）求f (x )的定义域；
（2） 判断f (x )的奇偶性并给予证明； （3）求使f (x )>0的x 的取值范围．
22、设函数,223,2
)1(,)(2
b c a a
f c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4
330-<<
->a b a 且； （2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设21,x x 是函数)(x f 的两个零点，则.4
57||221<
-≤x x
一．选择题：1.A 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B
二．填空题：9.___1
2
x _________;10.______-1_____;11._________2___________;
12._20x Z x m ∀∈++>2
，都有x ;13._____2____;14.__2_____;15.___-2_____16.__a b αβ<<<____; 三、解答题：
17．解：由A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，B ⊆A ，得a 2=3．或a 2=a ．
当a 2=3时，a =，此时A∩B ≠｛1，a ｝；
当a 2=a 时，a =0或a =1，a =0时，A∩B=｛1，0｝；a =1时，A∩B ≠｛1，a ｝． 综上所述，存在这样的实数a =0，使得B ⊆A ，且A∩B=｛1，a ｝．
18． 解：（1）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．
又
ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
∵，
ππ2π2633
x -∴≤≤，即
π21
2s i n 2
3x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭≤≤，
max min ()3,()2f x f x ==∴．
（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．
19． 解：（1）6π
θ=
时，2
215()1()24f x x x x =+-=+-。

由1[]2x ∈，当12
x =-时，()f x 有最小值为54-
，当12x =时，()f x 有最大值为1
4
-。

（2）2()2sin 1f x x x θ=+-的图象的对称轴为sin x θ=-，由于()f x 在1
[]2
x ∈上是单调函数，所以
sin θ-≤或1sin 2θ
-≥
，即sin θ≥或1sin 2θ≤-，所求θ的取值范围是
2711[,][,]3366
ππππ 20． 解： （1）设'
'
(,)Q x y ，则''
''
22x x a x x a
y y y y ⎧⎧=-=+⎪⎪⇒⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩
，又log (3)a y x a =-， 则''
log (23)a y x a a -=+-，所以()log ()a g x x a =--。

（2）|()()||log (3)log ()|1a a f x g x x a x a -=-+-≤，定义域为30
(3,)0x a x a x a ->⎧⇒∈+∞⎨
->⎩
，又[2,3
x a a ∈++，则有23101a a a a +>⇒<⇒<<， 所以|()()||log (3)()|1a f x g x x a x a -=--≤1log (3)()1,[2,3]a x a x a x a a ⇒-≤--≤ ∈++，
令2222
()(3)()43(2)u x x a x a x ax a x a a =--=-+=--
22()a a u x <+ ∴在区间[2,3]a a ++上单调增，1()a u x a
∴≤≤
2222
430143x ax a a
a x ax a a ⎧-+≥⎪
∴⇒<≤⎨-+≤⎪
⎩
21．解：(1) 由
11x
x
+-＞0，解得x ∈（–1，1）． (2) f (－x )＝x
x
a
+-11log ＝－f (x ), 且x ∈（－1，1）∴函数y ＝f (x )是奇函数． (3)若a >1, f (x )>0则
11x x +-＞1， 解得0<x <1；若0<a <1, f (x )>0则0＜11x
x
+-＜1，解得－1<x <0,. 22．证明：（1）2
)1(a
c b a f -=++= 0223=++∴c b a
又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a 又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b ∵a ＞0 4
3
3-<<
-∴a b （2）∵f （0）=c ，f （2）=4a +2b+c=a －c
①当c ＞0时，∵a ＞0，∴f （0）=c ＞0且02
)1(<-
=a
f ∴函数f （x ）在区间（0，1）内至少有一个零点 ②当c ≤0时，∵a ＞0 0)2(02
)1(>-=<-
=∴c a f a
f 且 ∴函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点.
综合①②得f （x ）在（0，2）内至少有一个零点
（3）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点则0,2
21=++c bx ax x x 是方程的两根 ∴a
b a
c x x a b x x --==-
=+23,2121 2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴a
b
a b a b x x x x x x
4
3
3-<<
-a b 457||221<-≤∴x x。