直线与圆的位置关系分类与应用

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直线与圆的位置 关系分类与应用
安徽省蚌埠五中 杨明正
直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容之一，我们通常将这部分内容与平面几何、 直 线的斜率和截距以及圆等知识结合起来进行综合考查， 同时考查数形结合 、 函数与方程等数学 思想和数学方法。

为了帮助同学们更好地学习直线与圆的位置关系， 本文从以下几个方面谈谈 直线与圆的位置关系的分类及应用。

一 、直线与圆的位置关系分类
可以从形与数两个角度来把握。

直线与圆有三种位置关系， １．几何角度。

记圆心到直线的距离为d， 圆的半径为r。

直线与圆无公共点， 则直线与圆相离， 此时d>r； 直线与圆仅有一个公共点， 则直线与圆相切， 此时d=r； 直线与圆有两个相异的公共点， 则直线与圆相交， 此时d<r， 直线被圆截得的线段称为圆的弦。

根据消元后所得方程的解的情况来判断， 2.代数角度。

将表示直线的方程代入圆的方程中， 即将l的方程Ax+By+C=0 （A、 ） 代入圆方程 （x-a ）+ 消去x或y， 不妨设消去 （y-b ）=r 中， B不同时为0 记Δ=b -4ac。

y后得到的方程为ax +bx+c=0， 直线与圆相交； ①当Δ>0时， 直线与圆相切； ②当Δ=0时， 直线与圆没有公共点， 即相离。

③当Δ<0时，
例1 如果直线 l:y=kx+2 与圆O:x +y =1没有公共点 ，求k的取值范围 。

2 2 2 2 2 2 2
解析 （几何法 ） 由题意知， 直线与圆相离， 则圆心到直线的距离大于圆的半径， 即d>r，
１ １
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代入数据得d=
· |k 0-0+2|
姨k +1
2 2 x +y =1， ） 联立 （1+k ） （代数法 消去y可得二元一次方程 x +4kx+3=0， y=kx+2，
%
2
化简得k +1<4， 解得k∈ （- 姨 3 ， 。

>1， 姨 3）
2
%
%
∈
2
2
则方程的判别式Δ=16k -12 即4k <12， 解得k∈ （- 姨 3 ， 。

直线与圆相离， （1+k ） <0， 姨 3）
点评 本题采用了两种方法 ， 其中代数方法 （ 方程思想 ） 是通性通法 ， 适用于直线与其他曲 线的位置关系以及圆与圆的位置关系问题 。

由于圆自身的特性 ， 很多情况下用几何法解决此类 问题更简便快捷 。

练习 1
2
2
2
%
%
求下列情况下a的取值： 已知直线l:x+y-a=0和圆O： x +y =2，
2
2
（1 ） 直线和圆相交； （2 ） 直线和圆相切； （3 ） 直线和圆相离。

答案 （1 当-2<a<2时， 直线l与圆O相交。

）
（2 ） 当a=±2时， 直线l与圆O相切。

（3 ） 当a>2或a<-2时， 直线l与圆O相离。

二 、直线与圆的位置关系题型剖析
1.圆上的点到直线的距离问题
例2 分析 求圆 C：（x-1 ） +（y-1 ） =4上的点到直线 l:x-y-5=0 的最远和最近距离 。

2 2
（一般都是相离 ） ， 首先判断直线与圆的位置关系
l P A C B
结合圆的特性找出距离该直线最远和最近的点， 再计算出最 远和最近距离。

解
%
因为圆心 C （1， ） ， 半径r=2， 而圆心 C到直线的距离 1
5 2 故直线与圆相离。

如图， 过圆心C作CP垂直于 d= 姨 >2=r， 2 直线l， 交圆C于点A， 反向延长AC交圆C于点B， 则圆C上的点 5 2 +4 到直线l的最远距离为|BP|=|CP|+|CB|=d+r= 姨 ， 2 5 2 -4 最近距离为|AP|=|CP|-|CA|=d-r= 姨 。

2
点评
% %
此类问题要结合图形和圆的性质才好解决 ， 何时取得最大或最小值 ， 要观察 + 分析 +
猜测 +验证多措并举 。

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2.有关圆的切线 、切点弦问题 （1 ） 圆x +y =r 上一点P （x0， 处的切线方程为l:x0x+y0y=r ； 若P点在圆外， 则l 常见的有两类： ） y0 为过P点的与圆相切的两条切线的切点弦所在的直线。

（2 ） 圆 （x-a ）+ （x0， 处 ） （y-b ）=r 上一点P y0 的切线方程为l（ ） （x0-a （y0-b 若P点在圆外， 则l为过P点的与圆相切的两条切线 ） （y-b ） ） : x-a + =r ； 的切点弦所在的直线。

例3 分析 求过点 P（3，4） 的圆 （x-1 ） +（y+1 ） =4的切线方程 。

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
切线必有两条， 可以先把直线设出来， 再根据条件列方程求 过圆外一点作圆的切线，
出待定参量。

解
第一步， 设切线的点斜式方程： （x-3 ） ， 即： 第二步， 利用圆心到直线 y-4=k kx-y-3k+4=0。

|k+1-3k+4|
% 2
的距离等于半径， 列方程： 即 d=r，
求出斜率k= =2，
姨k +1
21 所以其中一条切线方程为21x， 20
其方程为： 20y+17=0。

还有一条切线由于斜率不存在， x=3。

············· ···· 点评 对于圆外一点 P （x0 ，y0 ）， 若求出的斜率只有唯一的值 ， 则另外一条切线方程必为 ：x=
x0；若求出的斜率有两个值 ，则直接代入切线方程的点斜式 ，最后将切线方程化为一般式 。

例4 解 点评 过点 P（3，4） 向圆 C:x +y =1作切线 ， 切点分别为 E、F，求过点 E、F的直线方程 。

2 2
应该是3x+4y=1。

过点E、 F的直线方程即切点弦所在的直线方程，
此类问题 ， 按照常规思路应该把两条切线方程求出来 ， 再用方程思想求出切点 ， 最后
用两点式写出切点弦所在的直线方程 ， 比较烦琐 。

利用上述方法更显简洁 。

3.有关圆的弦长问题 直线与圆相交通常会涉及弦长问题， 求弦长的方法一般有两种： 由直线方程和圆的方程联 立解得交点坐标， 然后利用两点间距离公式求得， 这种方法计算量较大； 利用由半弦 、 半径和圆 心到直线的垂线构造直角三角形去解决， 这种方法比较简单。

例5 解 设直线 ax-y+3=0 与圆 （x-1 ） +（y-2 ） =4相交于 A 、B两点 ，且弦 AB 的长为 2 姨 3 ，求a值 。

2 2 %
因为半弦长为 姨 3 ， 半径长为2， 半弦、 半径和圆心到直线的垂线可构造成直角三角形， |a-2+3|
% 2
%
所以圆心 （1， ） 到直线的距离等于1， 即有 2
练习 2
2 2
解得a=0。

=1，
姨a +1
直线x+2y=0被圆x +y -6x-2y-15=0截得的弦长为% 。

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%
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答案
4姨 5
4.有关直线与圆的位置关系综合应用问题 对于有关直线与圆的一些稍难的问题， 我们可以结合圆的性质， 抓住问题的本质， 充分利用 数形结合、 转化归纳及分类讨论等思想方法加以解决， 往往可以收到事半功倍的效果。

例6 已知圆 C：（x-1 ） +（y-2 ） =25 ， 动直线 l ：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0 （m∈R ）。

求证 ： 无论
2 2
实数 m 取何值 ，动直线 l 与圆 C总相交于两点 。

分析
通常情况下， 我们在研究直线与圆的位置关系时， 可联立直线与圆的方程构成方程
组， 消元整理成关于x或y的一元二次方程， 借助判别式判断方程解的情况， 确定直线与圆的位置 关系， 但这种方法运算量很大。

其实我们还可以将圆心到直线的距离与半径进行比较来确定。

而 本题中的距离的最值求解相当复杂， 为此抓住动直线过定点这一几何性质， 通过比较定点到圆 心的距离与圆的半径 （点与圆的位置关系 ） 来解决问题。

证明 （2m+1 ） （m+1 ） （2x+y-7 ） x+ y-7m-4=0可化为 m+x+y-4=0。

由
∈
2x+y-7=0， x=3， （3， ） 。

解得 可知动直线l过定点P 1 x+y-4=0， y=1，
∈
2
（3-1 ）+ （1-2 ） = 姨 5 <5=r， 即点P在圆C的内部。

故无论实数m取何值时， 动直线l与圆 PC= 姨 C总相交于两点。

练习 3
%
2
%
直线被圆截得 已知圆C： x +y -6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0。

求当k取什么值时，
2
2
的弦最短， 并求这条最短弦的长。

答案
（4， ） ， 直线过定点P 3 kPC=
3-4 可以证明过 P点且与 PC垂直的直线被圆截得的弦 =-1， 4-3 |3-4-1| 姨2
%
因此直线的斜率为1， 其方程为 y -3= x -4 ， 即 x - y -1=0 ， 即 k =1 。

| PC |= AB最短， 以 | AB |=2 姨| AC | -| PC | =2 姨 2 。

荨
% 2 2 %
所 =姨 2 ，
%
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。