第一讲 行程问题1--五年级数学思维拓展含参考答案

第1讲行程问题1
系是: 路程=速度×时间
如果用字母s表示路程，t表示时间，v表示速度。

那么，上面的数量关系可用字母表示为: s=vt。

行程问题的内容丰富多彩、千变万化。

主要有一个物体的运动和两个或几个物体的运动两大类。

两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。

这一讲我们讨论一个物体运动的问题和一些简单的相遇问题。

例1小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分钟，如果他往返都坐车，全部行
程需30分钟。

如果他往返都步行，需多少分钟?
【思路点拨】根据“往返都坐车，全部行程需30分钟”可以算出单程坐车需15分钟。

再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分钟”可以算出单程步行需要的时间:90-15=75(分)。

应用上述两个条件，求出了单程步行需要的时间，就可算出往返都步行需要多少分钟了。

例2甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。

汽车行驶了一半路
程后，在中途停留30分钟。

如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原来的时速加快多少?
【思路点拨】要求汽车比原来的时速快多少，应知道汽车行驶后半段的时速和原来的时速。

原来的时速可以用280÷8求出。

要求行驶后半段的时速，关键是搞清楚行驶后半段所用的时间。

行驶前半段用去4小时，又在中途停留30分钟，行驶后半段只剩3.5小时了，用(280÷2)÷3.5
即可求出行驶后半段的时速。

例3一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米。

1小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午6时两车相遇。

甲、乙两站相距多少千米?
【思路点拨】将两列火车各自所行驶的路程加起来就是甲、乙两站相距多少千米。

也可以这样思考:因为这两辆列车是从两站面对面行驶，可运用相遇问题的解法来求解。

具体思路是:速度和×相遇时间(两车同时行驶的时间)=共行总路程。

一列火车先行1小时后，两车行驶可看作相遇问题。

下午 2时30分至下午6时这段时间就是两列火车同时行驶的时间也就是相遇时间(3.5小时)。

总路程等于两车共行的路程加上第一列火车先行的1小时路程。

例4甲、乙两车相距516千米，两车同时出发相向而行，乙车行驶6小时后停下修理车子，这时两车相距72千米。

甲车保持原速继续前进，经过 2小时与乙车相遇。

求乙车的速度。

【思路点拨】根据题意可知，两车后来相距的72千米，是甲车2小时单独行的。

这样便可以算出甲车的速度。

具体解法是:先求甲车的速度72÷2=36(千米/时),甲车先后共行了6+2=8(时)，可求出甲车共行了36×8=288(千米)，由于两车是相向而行.用总路程减去甲车共行的路程，得到乙车行的总路程516-288=228(千米)。

求乙车的速度只要用乙车行的总路程除以乙车行驶的时间即可。

这道题是两车相向而行，所以还可用相遇问题的思路来求速度。

即:相遇总路程÷相遇时间=速度和。

再用:速度和-甲车速度=乙车速度。

例5中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车由同一个车库出发。

已知中巴车先开出，30分钟后小轿车沿着中巴车的路线开出，小轿车经过多少时间能追上中巴车?
【思路点拨】两车由同一个地点出发，中巴车先行驶了一段路程，然后小轿车追上了中巴车。

这里首先要求出中巴车先行了多少路程。

中巴车先开出30分钟，可求出小轿车出发时中巴车已行了60×(30÷60)=30(千米)。

即中巴车已在小轿车前方30千米处。

这两辆车是同向行驶，可用追及问题的思路解决。

由于小轿车每小时比中巴车多行(84-60)=24(千米)，小轿车追上中巴车所用的时间，就是小轿车比中巴车多行30千米所需要的时间，即追及时间。

追及问题的具体思路是:速度差×追及时间 =多行路程(即追及路程)。

1.小王、小李从相距50千米的两地相向而行，小王下午2时出发步行，每小时行4.5千米。

小李下午3时30分骑自行车出发，经过
2.5小时两人相遇。

小李骑自行车每小时行多少千米?
2.A 、B 两地相距60千米。

两辆汽车同时从A 地出发前往B 地。

甲车比乙车早30分钟到达B 地。

当甲车到达B 地时，乙车离B 地还有10千米。

甲车从A 地到B 地共行了几小时?
3.一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距255千米的两地相向而行，公共汽车每小时行33千米，面包车每小时行35千米。

行了几小时后两车相距51千米?再行几小时两车又相距 51千米?
4.A 、B 两地相距20千米，甲、乙两人同时从A 地出发去B 地。

甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米。

甲在中途停了一段时间修车。

乙到达B 地时，甲比乙落后2千米。

甲修车用了多长时间?
5.A 、B 两地相距1000千米，甲列车从A 地开出驶往B 地，2小时后，乙列车从B 地开出驶往A 地，经过4小时与甲列车相遇。

已知甲列车比乙列车每小时多行10千米。

甲列车每小时行多少千米
?
同步精练
6.小李由村里到县城办事，每小时行4千米，到预定到达的时间时，离县城还有1.5千米。

如果小李每小时行5.5千米，到预定到达的时间时，又会多走4.5千米。

村里距县城多少千米?
7.甲、乙两人分别从东、西两地同时出发，相向而行。

2小时后两人相距96千米，5小时后两人相距36千米。

东、西两地相距多少千米?
8.甲、乙两人骑车从同一地点向相反方向出发，甲车每小时行13千米，乙车每小时行12千米。

如果甲先行2小时，那么，乙行几小时后两人相距699千米？
9.哥哥放学回家，以每小时 6千米的速度步行，18分钟后，弟弟也从同一所学校放学回家，弟弟骑自行车以每小时 15 千米的速度追哥哥。

经过几分钟弟弟可以追上哥哥?
10.两辆卡车为王村送化肥，第一辆以每小时30千米的速度由仓库开往王村，第二辆晚开12分钟，以每小时40千米的速度由仓库开往王村，结果两车同时到达。

仓库到王村的路程有多少千米?
课后作业
1.甲、乙两城相距360千米,客车从甲城出发向乙城开去,每小时行80千米,1小时后货车从乙城出发向甲城开去,每小时行60千米。

货车开出后几小时两车在路上相遇?
2.从王叔叔家到县城有60千米。

王叔叔骑自行车上县城办事,原定用5小时达县城。

骑了一半路程后,车子坏了,花了半个小时修车。

如果王叔叔还想按预定时间到达县城,那么后半段路程应比原来的速度每小时快多少千米？
3.芳芳和红红家相距540米,两人约定同时出发向对方家走去。

芳芳走了3分钟后遇到同学,于是停下来聊天,这时两人相距240米。

红红用原来的速度继续往前走,4分钟后与芳芳会合。

那么芳芳每分钟走多少米?
4.六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。

男同学骑自行车先从校门口出发，每小时行12千米,2小时后,女同学坐汽车从校门口出发,每小时行60千米。

那么经过多少时间女同学可以追上男同学?
5.六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。

男同学骑自行车先从校门口出发每小时行12千米,2小时后,女同学坐汽车从校门口出发,经过半小时追上了男同学。

汽车每小时行多少千米?
6.明明去外婆家,如果去时坐车,回来时步行,那么来回路上一共花80分钟;如果他往返都步行,那么来回路上一共花120分钟。

如果明明往返都坐车,那么来回路上一共要多少时间?
7. 姐姐和妹妹同时从家里出发,如果反向而行,那么5分钟后两人相距480米;如果同向而行,那么8分钟后,姐姐在妹妹前面32米。

请问:姐姐和妹妹每分钟各行多少千米?
8.王老师从学校到教育局开会。

如果用每分钟60米的速度前进会迟到8分钟;如果用每分钟100米的速度前进会提早4分钟到。

学校到教育局有多少米?
9.王师傅和李师傅各加工240个相同的零件。

他们约定同时开始做,结果王师傅比李师傅提前1小时完成任务。

当王师傅完成任务时,李师傅还有30个没有完成。

那么王师傅完成这批零件一共用了多少小时?
10.甲、乙两地相距600千米,客车和货车同时从两地出发,相向而行,客车每小时行120千米,货车每小时行80千米。

几小时后两车相距200千米?
第1讲行程问题1
系是: 路程=速度×时间
如果用字母s表示路程，t表示时间，v表示速度。

那么，上面的数量关系可用字母表示为: s=vt。

行程问题的内容丰富多彩、千变万化。

主要有一个物体的运动和两个或几个物体的运动两大类。

两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。

这一讲我们讨论一个物体运动的问题和一些简单的相遇问题。

例1小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分钟，如果他往返都坐车，全部行
程需30分钟。

如果他往返都步行，需多少分钟?
答案：150分钟
【思路点拨】根据“往返都坐车，全部行程需30分钟”可以算出单程坐车需15分钟。

再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分钟”可以算出单程步行需要的时间:90-15=75(分)。

应用上述两个条件，求出了单程步行需要的时间，就可算出往返都步行需要多少分钟了。

例2甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。

汽车行驶了一半路
程后，在中途停留30分钟。

如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原来的时速加快多少?
答案：5千米/时
【思路点拨】要求汽车比原来的时速快多少，应知道汽车行驶后半段的时速和原来的时速。

原来的时速可以用280÷8求出。

要求行驶后半段的时速，关键是搞清楚行驶后半段所用的时间。

行驶前半段用去4小时，又在中途停留30分钟，行驶后半段只剩3.5小时了，用(280÷2)÷3.5
即可求出行驶后半段的时速。

例3一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米。

1小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午6时两车相遇。

甲、乙两站相距多少千米?
答案：480千米
【思路点拨】将两列火车各自所行驶的路程加起来就是甲、乙两站相距多少千米。

也可以这样思考:因为这两辆列车是从两站面对面行驶，可运用相遇问题的解法来求解。

具体思路是:速度和×相遇时间(两车同时行驶的时间)=共行总路程。

一列火车先行1小时后，两车行驶可看作相遇问题。

下午 2时30分至下午6时这段时间就是两列火车同时行驶的时间也就是相遇时间(3.5小时)。

总路程等于两车共行的路程加上第一列火车先行的1小时路程。

例4甲、乙两车相距516千米，两车同时出发相向而行，乙车行驶6小时后停下修理车子，这时两车相距72千米。

甲车保持原速继续前进，经过 2小时与乙车相遇。

求乙车的速度。

答案：38千米/时
【思路点拨】根据题意可知，两车后来相距的72千米，是甲车2小时单独行的。

这样便可以算出甲车的速度。

具体解法是:先求甲车的速度72÷2=36(千米/时),甲车先后共行了6+2=8(时)，可求出甲车共行了36×8=288(千米)，由于两车是相向而行.用总路程减去甲车共行的路程，得到乙车行的总路程516-288=228(千米)。

求乙车的速度只要用乙车行的总路程除以乙车行驶的时间即可。

这道题是两车相向而行，所以还可用相遇问题的思路来求速度。

即:相遇总路程÷相遇时间=速度和。

再用:速度和-甲车速度=乙车速度。

例5中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车由同一个车库出发。

已知中巴车先开出，30分钟后小轿车沿着中巴车的路线开出，小轿车经过多少时间能追上中巴车?
答案：1.25时
【思路点拨】两车由同一个地点出发，中巴车先行驶了一段路程，然后小轿车追上了中巴车。

这里首先要求出中巴车先行了多少路程。

中巴车先开出30分钟，可求出小轿车出发时中巴车已行了60×(30÷60)=30(千米)。

即中巴车已在小轿车前方30千米处。

这两辆车是同向行驶，可用追及问题的思路解决。

由于小轿车每小时比中巴车多行(84-60)=24(千米)，小轿车追上中巴车所用的时间，就是小轿车比中巴车多行30千米所需要的时间，即追及时间。

追及问题的具体思路是:速度差×追及时间 =多行路程(即追及路程)。

1.小王、小李从相距50千米的两地相向而行，小王下午2时出发步行，每小时行4.5千米。

小李下午3时30分骑自行车出发，经过
2.5小时两人相遇。

小李骑自行车每小时行多少千米? 答案：每小时行 12.8 千米
2.A 、B 两地相距60千米。

两辆汽车同时从A 地出发前往B 地。

甲车比乙车早30分钟到达B 地。

当甲车到达B 地时，乙车离B 地还有10千米。

甲车从A 地到B 地共行了几小时? 答案：2.5 小时
3.一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距255千米的两地相向而行，公共汽车每小时行33千米，面包车每小时行35千米。

行了几小时后两车相距51千米?再行几小时两车又相距 51千米?
答案：3 小时，1.5 小时
4.A 、B 两地相距20千米，甲、乙两人同时从A 地出发去B 地。

甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米。

甲在中途停了一段时间修车。

乙到达B 地时，甲比乙落后2千米。

甲修车用了多长时间?
答案：2.2 小时
5.A 、B 两地相距1000千米，甲列车从A 地开出驶往B 地，2小时后，乙列车从B 地开出驶往A 地，经过4小时与甲列车相遇。

已知甲列车比乙列车每小时多行10千米。

甲列车每小时行多少千米?
答案：每小时行 104 千米
6.小李由村里到县城办事，每小时行4千米，到预定到达的时间时，离县城还有1.5千米。

如果小李每小时行5.5千米，到预定到达的时间时，又会多走4.5千米。

村里距县城多少千米? 答案：1
7.5千米
7.甲、乙两人分别从东、西两地同时出发，相向而行。

2小时后两人相距96千米，5小时后两人相距36千米。

东、西两地相距多少千米?
答案：136 千米或 184 千米(提示:第一种情况是行 5小时后，两人没有相遇;第二种情况是行 5小时后，两人已经相遇)
8.甲、乙两人骑车从同一地点向相反方向出发，甲车每小时行13千米，乙车每小时行12千米。

如果甲先行2小时，那么，乙行几小时后两人相距699千米？
答案：26.92 小时
9.哥哥放学回家，以每小时 6千米的速度步行，18分钟后，弟弟也从同一所学校放学回家，弟弟骑自行车以每小时 15 千米的速度追哥哥。

经过几分钟弟弟可以追上哥哥?
答案：12分钟
10.两辆卡车为王村送化肥，第一辆以每小时30千米的速度由仓库开往王村，第二辆晚开12分钟，以每小时40千米的速度由仓库开往王村，结果两车同时到达。

仓库到王村的路程有多少千米
?
同步精练
答案：24 千米
课后作业
1.甲、乙两城相距360千米,客车从甲城出发向乙城开去,每小时行80千米,1小时后货车从乙城出发向甲城开去,每小时行60千米。

货车开出后几小时两车在路上相遇?
[答案] 2小时相遇。

提示:由于客车先出发1小时,所以两辆车同时行的路程是360-80=280(千米),根据“相遇路程=速度和=相遇时间”,可以求出相遇时间:280=(80+60)=2(小时),即货车开出后2小时两车相遇。

2.从王叔叔家到县城有60千米。

王叔叔骑自行车上县城办事,原定用5小时达县城。

骑了一半路程后,车子坏了,花了半个小时修车。

如果王叔叔还想按预定时间到达县城,那么后半段路程应比原来的速度每小时快多少千米？
[答案] 应比原来速度快3千米/时。

提示:可以把路程分段进行分析。

(1) 行驶前半段的速度:60:5=12(千米/时);
(2) 行驶后半段路程所用的时间:5=2-0.5=2(时):
(3) 行驶后半段路程的速度:60=2=2=15(千米/时):
(4) 行驶后半段路程比原来快的速度:15-12=3(千米/时)。

3.芳芳和红红家相距540米,两人约定同时出发向对方家走去。

芳芳走了3分钟后遇到同学,于是停下来聊天,这时两人相距240米。

红红用原来的速度继续往前走,4分钟后与芳芳会合。

那么芳芳每分钟走多少米?
[答案] 芳芳每分钟走40米。

提示:根据题意可以知道,240米是红红单独走的,因此可以先求出红红的速度。

(1)红红的速度:240=4=60(米1分);
(2) 红红一共行的路程:60x(3+4)=420(米);
(3) 芳芳行的路程:540-420=120(米);
(4)芳芳的速度:120=3=40(米/分)。

4.六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。

男同学骑自行车先从校门口出发，每小时行12千米,2小时后,女同学坐汽车从校门口出发,每小时行60千米。

那么经过多少时间女同学可以追上男同学?
[答案] 经过0.5小时就可追上。

提示:先要算出汽车要追的路程和两种交通工具的速度差。

(1) 汽车所要追及的路程:12x2=24(千米);
(2) 汽车与自行车的速度差:60-12=48(千米/时);
(3)追及的时间:24=48=0.5(时)。

5.六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。

男同学骑自行车先从校门口出发每小时行12千米,2小时后,女同学坐汽车从校门口出发,经过半小时追上了男同学。

汽车每小时行多少千米? [答案] 汽车每小时行60千米。

提示:(1) 汽车所要追及的路程:12x2=24(千米);
(2) 汽车与自行车速度差:24=0.5=48(千米/时);
(3) 汽车的速度:12+48=60(千米/时)。

6.明明去外婆家,如果去时坐车,回来时步行,那么来回路上一共花80分钟;如果他往返都步行,那么来回路上一共花120分钟。

如果明明往返都坐车,那么来回路上一共要多少时间?
[答案] 共要40分钟提示:根据“如果他往返都步行,那么来回路上一共花120分钟”,可以求出明单程步行需要的时间,120=2=60(分)。

再根据“如果去时坐车,回来时行,那么来回路上一共花80分钟”,可以求出坐车一个单程所需的时间:8060=20(分),从而可以进一步求出坐车往返所需的时间:20x2=40(分)。

7. 姐姐和妹妹同时从家里出发,如果反向而行,那么5分钟后两人相距480米;如果同向而行,那么8分钟后,姐姐在妹妹前面32米。

请问:姐姐和妹妹每分钟各行多少千米?
[答案] 姐姐每分钟行50米,妹妹每分钟行46米。

提示:这道题可以用和差问题的思路来分析姐妹两人的速度和:480=5=96(米/分);
姐妹两人的速度差:32=8=4(米1分);
姐姐的速度:(96+4)=2=50(米1分);
妹妹的速度:(96-4)=2=46(米1分)
8.王老师从学校到教育局开会。

如果用每分钟60米的速度前进会迟到8分钟;如果用每分钟100米的速度前进会提早4分钟到。

学校到教育局有多少米?
[答案] 学校到教育局有1800米。

提示:这道行程问题可以转化成盈亏问题。

“如果用每分钟60米的速度前进会迟到8分钟”,即“如果用每分钟60米的速度前进,会少走60x8=480(米)”为“亏”;“如果用每分钟100米的速度前进会提早4分钟”,即“如果用每分钟100米的速度前进会多走100x4=400(米)”,为“盈”。

根据公式“(盈数+亏数)-两次分配相差数=参加分配的数”，可求出开会时间:(480+400)=(100-60)=22(分),再求出路程是:60x(22+8)=1800(米)。

9.王师傅和李师傅各加工240个相同的零件。

他们约定同时开始做,结果王师傅比李师傅提前1小时完成任务。

当王师傅完成任务时,李师傅还有30个没有完成。

那么王师傅完成这批零件一共用了多少小时?
[答案] 王师傅用了7小时。

提示:分析题意可知,李师傅1小时可以加工30个零件,那么可先求出李师傅要几小时能完成任务,再求出王师傅完成任务的时间。

240:30-1=7(小时)。

10.甲、乙两地相距600千米,客车和货车同时从两地出发,相向而行,客车每小时行120千米,货车每小时行80千米。

几小时后两车相距200千米?
[答案] 2小时或4小时后两车相距200千米。

提示:要注意有两种情况。

(1) 没有相遇时两车相距200千米,即两车共行了600-200=400(千米)。

(600-200)=(120+80)=2(小时)。

(2)相遇后两车继续行走了一段时间后再次相距200千米,此时两车共行了600+200=800(千米)。

所以(600+200)=(120+80)=4(小时)。

7. 姐姐和妹妹同时从家里出发,如果反向而行,那么5分钟后两人相距480米;如果同向而行,那么8分钟后,姐姐在妹妹前面32米。

请问:姐姐和妹妹每分钟各行多少千米?
5。