内蒙古包头市包钢一中高一数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年内蒙古包头市包钢一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈}，则A∩B=（）
A． B．（1，3）C．，则函数y=f（log2x）的定义域为（）
A． B． C． D．
3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A．f（x）=B．f（x）=x3C．f（x）=D．f（x）=3x
4．设f（x）=，则f（f（5））=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
5．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）
A．y=cos2x，x∈R B．y=log2|x|，x∈R且x≠0
C．y=D．y=x3+1，x∈R
6．已知且f（4）=5，则f（﹣4）=（）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．6
7．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票的股价相当于四天前的涨跌情况是（）
A．跌了1.99% B．涨了1.99% C．跌了0.98% D．涨了0.98%
8．函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a=f（﹣），b=f （log3），c=f（），则a、b、c的大小关系是（）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
10．设f（x）=x2﹣bx+c满足f（0）=3，且对任意x∈R，有f（x）=f（2﹣x），则（）A．f（b x）≤f（c x）B．f（b x）＜f（c x）
C．f（b x）≥f（c x）D．f（b x）与f（c x）不可比较
11．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）
A．（1，10） B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．对于函数f（x）=x﹣2﹣lnx，我们知道f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，用二分法求函数f（x）在区间（3，4）内的零点的近似值，我们先求出函数值f（3.5），若已知ln3.5=1.25，则接下来我们要求的函数值是f （）．
14．函数f（x）=在定义域R上不是单调函数，则a的取值范围
是．
15．已知a∈{x|（）x﹣x=0}，则f（x）=log a（4+3x﹣x2）的单调减区间为．
16．给出下列四个命题：
（1）函数f（x）=2x﹣x2只有两个零点；
（2）已知集合A={x∈R|x2﹣4ax+2a+6=0}，B={x∈R|x＜0}，若A∩B≠∅，则实数a∈（﹣∞，﹣2]；
（3）设x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，则；
（4）已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．
其中正确的序号的是．（把正确的序号全部写上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（1）计算：；
（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣2x2+3x+1，求f（x）的解析式．
18．已知集合，，C={x|m+1≤x≤3m﹣1}．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆A，求实数m的取值范围．
19．某专卖店经销某种电器，进价为每台1500元，当销售价定为1500元～2200元时，销售量（台）P与销售价q（元）满足P=
（1）当定价为每台1800元时，该专卖店的销售利润为多少？
（2）若规定销售价q为100的整数倍，当销售价q的定价为多少时，专卖店的利润最高？20．已知函数
（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1）且f（0）=0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围．
（Ⅲ）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知f（x）是定义在上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈，m+n≠0时有
＞0．
（1）判断f （x）在上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+）＜f（）；
（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈，a∈恒成立，求实数t的取值范围．
2015-2016学年内蒙古包头市包钢一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈}，则A∩B=（）
A． B．（1，3）C．}={y丨1≤y≤4}，
则A∩B={x丨1≤y＜3}，
故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．
2．已知函数y=f（2x）的定义域为，则函数y=f（log2x）的定义域为（）
A． B． C． D．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】根据y=f（2x）的定义域求出f（x）的定义域，再根据f（x）的定义域求出y=f（log2x）的定义域．
【解答】解：因为函数y=f（2x）的定义域为，
即﹣1≤x≤1，，
即y=f（x）的定义域为．
，解得
故选D．
【点评】本题考查了函数的定义域的求法，是基础题．
3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A．f（x）=B．f（x）=x3C．f（x）=D．f（x）=3x
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，要求找到符合“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；分析选项．再根据指数函数的单调性即可得答案
【解答】解：对于选项A：≠=，∴选项A不满足f（x+y）=f（x）•f（y）；对于选项B：（x+y）3≠x3y3，∴选项B不满足f（x+y）=f（x）•f（y）；
对于选项C： =，∴选项C满足f（x+y）=f（x）•f（y）；y=
为单调递减函数，
对于选项D：3x•3y=3x+y，∴选项D满足f（x+y）=f（x）•f（y）；y=3x为单调递增函数
故选D．
【点评】本题考查了有理指数幂的运算性质，考查了基本初等函数的运算性质，是基础题．4．设f（x）=，则f（f（5））=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知条件利用分段函数的性质得f（5）=log2（5﹣1）=2，从而f（f（5））=f（2）=22﹣2=1．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（5）=log2（5﹣1）=2，
f（f（5））=f（2）=22﹣2=1．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
5．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）
A．y=cos2x，x∈R B．y=log2|x|，x∈R且x≠0
C．y=D．y=x3+1，x∈R
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间（1，2）内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案．
【解答】解：对于A，令y=f（x）=cos2x，则f（﹣x）=cos（﹣2x）=cos2x=f（x），为偶函数，
而f（x）=cos2x在上单调递减，在上单调递增，
故f（x）=cos2x在（1，]上单调递减，在B． C． D．
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．
【解答】解：当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．
∴当x＞0时，．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，．
∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．
故实数a的取值范围是．
故选：B．
【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．对于函数f（x）=x﹣2﹣lnx，我们知道f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，用二分法求函数f（x）在区间（3，4）内的零点的近似值，我们先求出函数值f（3.5），若已知ln3.5=1.25，则接下来我们要求的函数值是f （ 3.25 ）．
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】函数f（x）=x﹣2﹣lnx在区间（3，4）上连续且单调递增，f（3）=1﹣ln3＜0，f （4）=2﹣ln4＞0，f（3）f（4）＜0，由此可得函数的零点所在的初始区间，再计算函数值f （3.5），即可得出接下来我们要求的函数值．
【解答】解：函数f（x）=x﹣2﹣lnx在区间（3，4）上连续且单调递增，
f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，f（3）f（4）＜0，
故用二分法求函数f（x）=x﹣2﹣lnx的零点时，初始的区间大致可选在（3，4）上．
又f（3.5）=3.5﹣2﹣ln3.5=0.25＞0，
∴f（3）f（3.5）＜0，
零点区间大致可选在（3，3.5）上，则接下来我们要求的函数值是区间（3，3.5）中点的函数值f （ 3.25）．
故答案为：3.25．
【点评】本题主要考查函数的零点的定义，二分法求方程的近似解，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
14．函数f（x）=在定义域R上不是单调函数，则a的取值范围是a＞4
或a＜2 ．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】先判断函数为单调函数时的条件，即可得到结论．
【解答】解：若f（x）在R上为单调函数，
∵当x＞1时，函数f（x）为减函数，
∴函数在（﹣∞，+∞）上为减函数，
则满足，即，
解得2≤a≤4，
若函数f（x）在R上不是单调函数，
则a＞4或a＜2，
故答案为：a＞4或a＜2．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性的应用，利用条件先求出函数为单调函数的等价条件是解决本题的关键．
15．已知a∈{x|（）x﹣x=0}，则f（x）=log a（4+3x﹣x2）的单调减区间为（﹣1，] ．【考点】复合函数的单调性．
【专题】综合题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由函数零点存在性定理求出方程（）x﹣x=0的根的范围，得到a的范围，由4+3x ﹣x2＞0求出对数型函数的定义域，得到内函数t=4+3x﹣x2的增区间，再由外函数y=log a t为定义域内的减函数，结合复合函数的单调性求得f（x）=log a（4+3x﹣x2）的单调区间．
【解答】解：方程（）x﹣x=0的根，即为函数g（x）=（）x﹣x的零点，
∵g（0）=，g（1）=，
∴函数g（x）=（）x﹣x的零点在（0，1）内，即方程（）x﹣x=0的根在（0，1）内，
又a∈{x|（）x﹣x=0}，∴0＜a＜1．
令t=4+3x﹣x2，由t＞0，解得﹣1＜x＜4．
函数t=4+3x﹣x2的对称轴方程为x=，
当x∈（﹣1，]时，内函数t=4+3x﹣x2为增函数，
而外函数y=log a t为定义域内的减函数，
∴f（x）=log a（4+3x﹣x2）的单调减区间为（﹣1，]．
故答案为：（﹣1，]．
【点评】本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．
16．给出下列四个命题：
（1）函数f（x）=2x﹣x2只有两个零点；
（2）已知集合A={x∈R|x2﹣4ax+2a+6=0}，B={x∈R|x＜0}，若A∩B≠∅，则实数a∈（﹣∞，﹣2]；
（3）设x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，则；
（4）已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．
其中正确的序号的是（3），（4）．（把正确的序号全部写上）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数思想；数形结合法；简易逻辑．
【分析】（1）作出函数y=2x，y=x2的图象，由图象知两函数有3个交点，
（2）若A∩B≠∅，A中至少含有一个负数，对方程x2﹣4ax+2a+6=0分类讨论即可．
（3）分别代人得2x1+2x1=5，2x+2log2（x﹣1）=5，2x2+2log2（x2﹣1）=5，利用构造设t=log2（x2﹣1），得出对数和指数的关系，进而求解．
（4）把点代人，得出幂函数f（x）=x﹣3，由幂函数的性质和奇函数的性质可得出结论．
【解答】（1）函数f（x）=2x﹣x2，
作出函数y=2x，y=x2的图象，由图象知两函数有3个交点，
∴f（x）=2x﹣x2有3个零点，故命题（1）错误；
（2）已知集合A={x∈R|x2﹣4ax+2a+6=0}，B={x∈R|x＜0}，若A∩B≠∅，
∴A中至少含有一个负数，即方程x2﹣4ax+2a+6=0至少有一个负根．
当方程有两个负根时，△≥0，4a＜0，2a+6＞0，解得：﹣3＜a≤1；
当方程有一个负根与一个正根时，△＞0，2a+6＜0，∴a＜﹣3；
当方程有一个负根与一个零根时，△＞0，4a＜0，2a+6=0，∴a=﹣3；
∴a＜﹣3或﹣3＜a≤1或a=﹣3，
∴a≤﹣1，从而实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]，故错误；
（3）设x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，
x1满足：2x+2x=5，2x1+2x1=5
x2满足：2x+2log2（x﹣1）=5，2x2+2log2（x2﹣1）=5
设t=log2（x2﹣1）
则x2﹣1=2t
∴x2=1+2t
∴2（1+2t）+2t=5
∴2（t+1）+2（t+1）=5
∴x1和t+1都是方程2x+2x=5的解
所以：x1=t+1=log2（x2﹣1）+1=log2（2x2﹣2）
2x2﹣2=2（x1）
2x2=2+2（x1）
∴2x1+2x2=2x1+2+2（x1）
=2x1+2+（5﹣2x1）
=7
则，故正确；
（4）已知点在幂函数f（x）的图象上，
设幂函数f（x）=x a，
∴3=，
∴a=﹣3，
则f（x）=x﹣3，函数为奇函数，单调减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），故正确．
故答案为（3），（4）．
【点评】考查了零点的概念，方程根的分类，幂函数的性质．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（1）计算：；
（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣2x2+3x+1，求f（x）的解析式．
【考点】对数的运算性质；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据对数的运算性质即可求出．
（2）先求f（0）=0，再设x＜0，由奇函数的性质f（x）=﹣f（﹣x），利用x＞0时的表达式求出x＜0时函数的表达式．
【解答】解：（1），
=log2.52.52+lg10﹣3+lne+×3﹣，
=2﹣3++﹣=，
（2）当x＜0时，﹣x＞0，
则f（﹣x）=﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1=﹣2x2﹣3x+1．
又f（x）是R上的奇函数，所以当x＜0时f（x）=﹣f（﹣x）=2x2+3x﹣1．
f（0）=0，
所以f（x）=
【点评】本题主要考查奇函数的性质求解函数的解析式和对数的运算性质，关键是利用原点两侧的函数表达式之间的关系解题
18．已知集合，，C={x|m+1≤x≤3m﹣1}．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆A，求实数m的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】求解指数不等式互分式不等式化简集合A，B．
（1）直接由交集运算得答案；
（2）对C是∅和非空分类讨论，当C≠∅时，由两集合端点值间的关系列关于m的不等式组求解．
【解答】解： ={x|﹣4≤x≤3}， ={x|x＜0或x}．（1）A∩B={x|﹣4≤x≤3}∩{x|x＜0或x}={x|﹣4≤x＜0或}；
（2）A={x|﹣4≤x≤3}，C={x|m+1≤x≤3m﹣1}．
当m+1＞3m﹣1，即m＜1时，C=∅，满足C⊆A；
当m+1≤3m﹣1，即m≥1时，
由C⊆A，得，解得：1．
综上，使C⊆A的实数m的取值范围是（﹣∞，]．
【点评】本题考查交集及其运算，考查了指数不等式和分式不等式的解法，训练了由集合间的关系求解字母范围问题，是中档题．
19．某专卖店经销某种电器，进价为每台1500元，当销售价定为1500元～2200元时，销售量（台）P与销售价q（元）满足P=
（1）当定价为每台1800元时，该专卖店的销售利润为多少？
（2）若规定销售价q为100的整数倍，当销售价q的定价为多少时，专卖店的利润最高？【考点】函数最值的应用．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（1）求出销售量，每台的利润，即可求专卖店的销售利润；
（2）根据分段函数，分别求出销售利润，利用配方法，即可求得结论．
【解答】解：（1）当q=1800时，P=500﹣=500﹣360=140，∴销售利润为（1800﹣1500）
×140=42000元；
（2）设q=100n（n∈Z），则
当1500≤q＜2000，即15≤n＜20时，销售利润为（100n﹣1500）×（500﹣20n）=﹣2000（n ﹣20）2+50000
∴y＜50000；
当2000≤q≤2200，即20≤n≤22时，销售利润为（100n﹣1500）×（1100﹣50n）=﹣2000（n﹣）2+61250
∴n=20，即q=2000时，y max=50000；
答：（1）当定价为每台1800元时，该专卖店的销售利润为42000元；（2）销售价q的定价为2000时，专卖店的利润最高．
【点评】本题考查函数模型的构建，考查配方法求最值，属于中档题．
20．已知函数
（1）若m=1，求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】计算题．
【分析】（1）要使函数有意义，只需真数大于零，解不等式即可得函数的定义域；
（2）若函数的值域为R，则真数应能取遍一切正数，只需y=x2﹣mx﹣m的判别式不小于零，即可解得m的范围；
（3）函数f（x）在区间上是增函数包含两层含义，y=x2﹣mx﹣m在区间
上是减函数且x2﹣mx﹣m＞0在区间上恒成立，分别利用二次函数的图象和性质和单调性即可解得m的范围
【解答】解：（1）若m=1，则
要使函数有意义，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈
∴若m=1，函数f（x）的定义域为．
（2）若函数f（x）的值域为R，则x2﹣mx﹣m能取遍一切正实数，
∴△=m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪∪上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈，m+n≠0时有＞0．
（1）判断f （x）在上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+）＜f（）；
（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈，a∈恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数恒成立问题．
【分析】（1）由单调性定义判断和证明；
（2）由f（x）是奇函数和（1）的结论知f（x）在上是增函数，再利用定义的逆用求解；（3）先由（1）求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．
【解答】解：（1）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则
f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=
∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，
由已知＞0，又x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在上为增函数；
（2）∵f（x）在上为增函数，
故有
（3）由（1）可知：f（x）在上是增函数，
且f（1）=1，故对x∈，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈，a∈恒成立，
即要t2﹣2at+1≥1成立，故t2﹣2at≥0成立．
即g（a）=t2﹣2at对a∈，g（a）≥0恒成立，
只需g（a）在上的最小值大于等于零．
故g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，
解得：t≤﹣2或t=0或t≥2．
【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．。