浙江省瑞安市上海新纪元高级中学2021-2022高一数学下学期期末(内部)考试试题(2).doc

浙江省瑞安市上海新纪元高级中学2021-2022高一数学下学期期末（内部）
考试试题（2）
（本试卷满分共150分，考试时间:120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知α为第三象限角，且25
sin α=-
，则cos α=（ ▲ ） A.
5 B. 55
-
C. 25
D. 25
-
2.终边落在直线y x =上的角的集合为（ ▲ ） A. {|2,}4
k k Z π
ααπ=+
∈ B. {|,}4
k k Z π
ααπ=+
∈ C. {|2,}4
k k Z π
ααπ=±
∈
D. {|,}4
k k Z π
ααπ=±
∈
3.集合2
*
{|70}A x x x x N =-<∈，
，则集合*6
{|}B y N y A y
=∈∈，的子集个数为（ ▲ ） A. 4个 B. 8个
C. 15个
D. 16个
4. 函数2lg ()=
x
f x x
的大致图像为 （ ▲ ）
5. 已知函数)4
2sin()(π
+
=x x f ，则下列命题正确的是（ ▲ ）
A ．函数)(x f y =的图象关于点)0,4
(π
-
对称；
B ．函数)(x f y =在区间)0,2
(π
-
上是增函数
C ．函数)8
(π
+
=x f y 是偶函数；
D ．将函数x y 2sin =的图象向左平移
4
π
个单位得到函数)(x f y =的图象 6．下列四个数中最大的是（ ▲ ）
(A) 2lg (B) 2lg (C) 2
)2(lg (D) )2lg(lg
7.设sin1,cos1,tan1a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ▲ ）
A. a b c >>
B. a c b >>
C. c a b >>
D. c b a >>
8. 已知()2
x a
f x -=是定义在R 上的偶函数，则下列不等关系正确的是（ ▲ ）
A. 20.5()(log 3)(log 5)<<f a f f
B. 0.52(log 5)(log 3)()<<f f f a
C. 0.52()(log 5)(log 3)<<f a f f
D. 20.5(log 3)(log 5)()<<f f f a
9. 已知函数f(x )=A )2sin(ϕ+x ，其中ϕ为实数，A>0，若f(x )≤)6
(π
f 对x ∈R 恒成立，
且)2
(π
f >f （π），则f （x ）的单调递增区间是（ ▲ ）
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-ππ
πk k ,2(k )z ∈ B ．⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
+2,πππk k (k )z ∈
C ．⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-6,3ππππk k (k )z ∈
D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+32,6
πππ
πk k (k )z ∈ 10．给出定义：若2
1
21+≤<-
m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数y =)(x f 的定义域为R ，值域
为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡21,0；②函数y =)(x f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； ③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y =)(x f 的图象关于直线2
k
x =（Z k ∈）对称;.其中正确命题的个数是（ ▲ ）(A) 1 (B) 2
(C) 3
(D) 4
二、填空题：（单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）
11.若2log ,323==b a
，则=ab ___▲_____,=+-b b 33_____▲___.
12．在ABC ∆中sinA+cosA=5
1，则sin cos A A 的值=___▲___；tan
A 的值=____▲___.
13.已知2)4
2（sin 22)(++-
=πx x f ，则()f x 的单调递增区间是___▲_____；若方程()10f x m -+=在[0,]2
x π
∈上有解，实数m 的取值范围是___▲_____.
14. 设集合A={1，2，3},B={1，2，3}，则从A 到B 的函数f:A →B 共有___▲_____个；其中满足 f(f(x))= f(x) 的函数个数共有___▲____个.
15. 已知函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡->=43)0(sin 2)(ππωω，在区间x x f 上的最小值是－2，则ω的最小值等于__▲_____.
16．设()f x ax b =+（其中,a b 为实数），1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若22a b +=-，
且()243244k f x x =-+，则k ＝ ▲ .
17．设函数2
()2152f x x ax a =-+-的两个零点分别为12,x x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 ▲ .
三、解答题：（5小题，共74分）
18.（本题14分）. 已知集合{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，{}a x a x C <<-=5|.
(1)求B A ，()B A C R ；
(2)若()B A C ⊆，求a 的取值范围.
19（本题15分）.（1）．计算： 3
23
log 396415932log 4log
55-⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+- （2）已知tan 2α=，计算：①2cos()cos()2sin()3sin()
2
π
απαπαπα+----+ ②3
3sin cos sin 2cos αααα-+ 20．（本题15分）已知函数
，x ∈R ，A ＞0，
．y=f （x ）
的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ）． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若点R 的坐标为（1，0），，求A 的值．
（III ）在（Ⅱ）的条件下，若[]
2,
1-∈x ，求函数()f x 的值域．
21. （本题15分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有
()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数
11
()1()()24x x f x a =++，12
1()log 1ax g x x -=-．
（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9
[,3]7
上的所有上界构成的集合；
（3）若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
22．（本题15分）.若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点. 已知函数)0(1)1()(2
≠-+++=a b x b ax x f . (1)当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；
(2)若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若)(x f y =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数)(x f 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数1
45)(2
+-+
-=a a a
x x g 的图象上，求b 的最小值. （参考公式：),(),,(2211y x B y x A 的中点坐标为⎪⎭⎫
⎝⎛++2,2
2121y y x x ）
瑞安市上海新纪元高级中学2021度第二学期 2021级期末考试——数学试题参考答案
一、选择题(每小题4分共40分)
1.---5. B B D D C 6--10． A C A D C
二、填空题：（单空题每题4分，多空题每题6分）
11．1，
52； 12．2512-；34- 13. 5[,]()88k k k Z ππππ++∈；
7
[3]2
-.
14 .27；10 15.
23 16. 5 17． 3119
(,]106
三、解答题：5小题，共74分
18.解：（1）{}102|<<=x x B A ， ……………3分
{}73|≥<=x x x A C R 或 ，∴(){}10732|<≤<<=x x x B A C R 或 …………7分（2）
由（1）知{}102|<<=x x B A ，
①当φ=C 时，满足()B A C ⊆，此时a a ≥-5，得2
5
≤
a ； ②当φ≠C 时，要()B A C ⊆，则⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥-<-10
255a a a a ，解得325
≤<a ；
由①②得，3≤a ……………………14分
19．解：（1）原式(
)3
2
2
3
5
3364
33
log 2log 2log 5---+-= ……………………3分
16
33log 22log 52log 5333---+-=
211632-=---= ……………………7分
（2）①
tan 2α=
2sin cos 2tan 13
cos 3sin 13tan 7αααααα-+-+∴==-
++原式=
………………………11分
②322322
sin cos (sin cos )
sin 2cos sin cos αααααααα-+=++原式（）
3232tan tan 11tan 2tan 26
αααα--==++ …………………………（15分）
20.解：（I ）由题意得，T==6 ………………………………………………………………2分
∵P （1，A ）在函数的图象上
∴
=1 又∵
∴φ= …………………………………………………………………………………………………5.
分
（II ）由P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），结合（I ）可知点Q 的坐标为（4，﹣A ）,连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ=
可得，∠QRX=，作QM ⊥X 轴于M ，则QM=A ，RM=3，
所以有tan ===
∴A=
……………………………………………………………
….10分 （III ）
[][]2
3
)1(,3)1(y 上递减，所以2，1上递增，在1，1-在)6
3
sin(3)(min max -
=-==
=+
=f y f x x f π
π
……………………………………………………………15分
21解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即1
12
2
11log log 11ax ax
x x +-=----， 即
11
11ax x x ax
+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．…………………4分 （2）由（1）得：1
2
1()log 1x
g x x +=-， 而1
122
12
()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数1
2
1()log 1x g x x +=-在区间9
[,3]7上单调递增， 所以函数1
2
1()log 1x g x x +=-在区间9
[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7
上的所有上界构成集合为[3,)+∞．………………………..9分
（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立.
5()5f x -≤≤，1116()()4()4
2
4
x x x a --≤≤-．
∴1162()42()2
2
x
x x
x
a -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立．
∴max min 11[62()][42()]2
2
x
x x
x
a -⋅-≤≤⋅-
设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t
=-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，
设121t t ≤<，21121212
()(61)
()()0t t t t h t h t t t ---=
>，
所以()h t 在[1,)+∞上递减，
()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =，
所以实数a 的取值范围为[7,3]-． ……………………………………15分
22.解：(1)3)(2
--=x x x f ，由x x x =--32，
解得3=x 或1-=x ，所以所求的不动点为1-或3. ……………………3分 (2)令x b x b ax =-+++1)1(2
，则012=-++b bx ax ①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以0)1(42
>--=∆b a b ， 即0442>+-a ab b 恒成立，
则016162<-=∆'a a ，故10<<a …………………8分 (3)设A(x 1，x 1)，B(x 2，x 2)(x 1≠x 2)，1
45)(2+-+
-=a a a
x x g ，
又AB 的中点在该直线上，所以
1
45222
2121+-++-=+a a a
x x x x ，
∴1
452
21+-=
+a a a
x x ， 而x 1、x 2应是方程①的两个根，所以a b x x -
=+21，即1
452+-=-a a a a b ， ∴1
4522
+--=a a a b =-51411
2
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =-1)21(1
2
+-a ………………13分 ∴当 a =
2
1
∈(0，1)时，b min =1- ………………15分。