2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第二章
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答案：A
8．求证： ＋ ＞ .
证明：因为 ＋ 和 都是正数，
所以为了证明 ＋ ＞ ，
只需证明( ＋ )2＞( )2，
展开得5＋2 ＞5，即2 ＞0，
此式显然成立，
所以不等式 ＋ ＞ 成立．
上述证明过程应用了()
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
解析：证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案：D
3．已知f(x＋1)＝ ，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：f(2)＝ ，f(3)＝ ，f(4)＝ ，猜想f(x)＝ .
答案：B
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是()
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证 ＜ a
只需证b2－ac＜3a2
∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c
只需证(－a－c)2－ac＜3a2
只需证(c－a)(c＋2a)＜0
只需证(c－a)(c＋a－b－c)＜0
只需证(c－a)(a－b)＞0
故选C.
答案：C
7．在平面直角坐标系内，方程 ＋ ＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()
A. ＋ ＋ ＝1 B. ＋ ＋ ＝1
C. ＋ ＋ ＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析：类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．
答案：C
12．观察式子：1＋ ＜ ，1＋ ＋ ＜ ，1＋ ＋ ＋ ＜ ，…，则可归纳出一般式子为()
A．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
B．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
C．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
D．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
解析：由合情推理可得．
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
第二章章末质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
15．已知 ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，…， ＝6 ，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a、b的值，则a＋b＝__________.
解析：由题意归纳推理得 ＝6 ，
b＝62－1＝35，a＝6.
∴a＋b＝6＋35＝41.
答案：41
16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为__________．源自A. B．－1C．2 D．3
解析：∵a1＝ ，an＋1＝1－ ，
∴a2＝1－ ＝－1，
a3＝1－ ＝2，
a4＝1－ ＝ ，
a5＝1－ ＝－1，
a6＝1－ ＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2.
答案：C
11．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证： ＜ a”最终的索因应是()
答案：B
9．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：假设应为“三内角都大于60°”．
答案：B
10．数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝1－ ，则a2 013等于()
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__________．
答案：菱形对角线互相垂直且平分
14．已知x，y∈R，且x＋y＞2，且x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
A．指数函数B．对数函数
C．一次函数D．余弦函数
解析：当函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)时，对任意的x＞0，y＞0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求．
答案：A
5．下列推理正确的是()
答案：D
6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
答案：A
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()
A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
8．求证： ＋ ＞ .
证明：因为 ＋ 和 都是正数，
所以为了证明 ＋ ＞ ，
只需证明( ＋ )2＞( )2，
展开得5＋2 ＞5，即2 ＞0，
此式显然成立，
所以不等式 ＋ ＞ 成立．
上述证明过程应用了()
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
解析：证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案：D
3．已知f(x＋1)＝ ，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：f(2)＝ ，f(3)＝ ，f(4)＝ ，猜想f(x)＝ .
答案：B
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是()
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证 ＜ a
只需证b2－ac＜3a2
∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c
只需证(－a－c)2－ac＜3a2
只需证(c－a)(c＋2a)＜0
只需证(c－a)(c＋a－b－c)＜0
只需证(c－a)(a－b)＞0
故选C.
答案：C
7．在平面直角坐标系内，方程 ＋ ＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()
A. ＋ ＋ ＝1 B. ＋ ＋ ＝1
C. ＋ ＋ ＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析：类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．
答案：C
12．观察式子：1＋ ＜ ，1＋ ＋ ＜ ，1＋ ＋ ＋ ＜ ，…，则可归纳出一般式子为()
A．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
B．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
C．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
D．1＋ ＋ ＋…＋ ＜ (n≥2)
解析：由合情推理可得．
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
第二章章末质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
15．已知 ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，…， ＝6 ，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a、b的值，则a＋b＝__________.
解析：由题意归纳推理得 ＝6 ，
b＝62－1＝35，a＝6.
∴a＋b＝6＋35＝41.
答案：41
16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为__________．源自A. B．－1C．2 D．3
解析：∵a1＝ ，an＋1＝1－ ，
∴a2＝1－ ＝－1，
a3＝1－ ＝2，
a4＝1－ ＝ ，
a5＝1－ ＝－1，
a6＝1－ ＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2.
答案：C
11．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证： ＜ a”最终的索因应是()
答案：B
9．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：假设应为“三内角都大于60°”．
答案：B
10．数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝1－ ，则a2 013等于()
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__________．
答案：菱形对角线互相垂直且平分
14．已知x，y∈R，且x＋y＞2，且x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
A．指数函数B．对数函数
C．一次函数D．余弦函数
解析：当函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)时，对任意的x＞0，y＞0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求．
答案：A
5．下列推理正确的是()
答案：D
6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
答案：A
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()
A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9