1.1.1集合的含义与表示
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1.1.1集合的含义与表示
问题提出
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉 语解释为:许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学 语言，我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究（一）
考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）华侨中学所有的高一同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
形式如 :{ | }
例2 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2 2 0的所有实数根组成的集合;
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解 : (1)设方程x2 2 0的实数根为x,并且满足条 件x2 2 0,因此,用描述法表示为
A { x R | x2 2 0}. 方程 x2 2 0有两个实数根 2, 2,因此, 用列举法表示为A { 2, 2}. (2)设 大 于10小 于20的 整 数 为x,它 满 足 条 件x Z 且10 x 20,因 此,用 描 述 法 表 示 为
例1 用列举法表示下列集合： (1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2 x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列 举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举方 法．例如 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不 能组成一个集合,因为其元素不确定
(2)已知2是集合M={0，a，a2-3a+2}中的元素，
则实数a为( C )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
3.集合A={1，-2，a2-1}，集合B={1，a2-3a,0}， 且A=B，求a的值.
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 N • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Z • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Q • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 R
4.元素与集合之间的关系
• 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A；
4. 下列集合中，表示同一集合的是 A. M={(3,2)}，N={(2,3)} B. M={1,2}，N={(1,2)} C. M={(x,y)|x+y=1}，N={y|x+y=1} D. M={3,2}，N={2,3}
B { x Z | 10 x 20}. 大 于10小 于20的 整 数 有11,12,13,14,15,16,17,18, 19,因 此,用 列 举 法 表 示 为 B {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
6.课堂练习
1.填空题 (1)现有:①不大于 3 的正有理数.②我校高一年 级所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实 根的一元二次方程．四个条件中所指对象不能
• 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合
A，记作 a A ；
例如，A＝｛所有能被3整除的整数｝
当a 6时, a A 当a 7时, a A
5．集合的几种表示方法
(1)自然语言法——用文字叙述的形式描述集 合的方法. A＝｛所有能被3整除的整数｝
(2) 列举法——将所给集合中的元素一一列举 出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分 开．
a=1
4.方程ax2+5x+c=0的解集是
1
2
，1 3
,求a,c的值
a=-6，c=-1
8．小结
• 集合的含义 • 元素与集合之间的关系 • 集合中元素的三个特征 • 集合的三种表示法
课后练习 1. 若x∈R，则数集{1,x,x2}中元素x应满足什么条件 2. -3∈{m-1，3m，m2+1},则m=_______ 3.设x∈R,y∈R,观察下面四个集合，它们表示的含 义相同吗？ A={y=x2-1} B={y|y=x2-1} C={x|y=x2-1} D={(x,y)|y=x2-1}
2．集合中元素具有的三个特征
⑴确定性——因集合是由一些元素组成的总体， 所以元素必须是确定的． ⑵互异性——即集合中的元素是互不相同的，如 果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个， 即集合中的元素是不重复出现的．
⑶无序性——即集合中的元素没有次序之分．
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这 两个集合是相等的
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B， 那么B={0，1}
(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C， 那么C={2，3，5，7，11，13，17，19}
(3) 描述法——用集合所含元素的共同特征表 示集合的方法.
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元 素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
思考1：上述每个问题都由若干个对象组成， 每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每 个对象都称为元素. 上述4个集合中的元素分别是什么？
思考2：下列任意一组对象是否都能组成一个集合？
1、所有小于0的整数
是
2、所有好人
不是
3、与2003非常接近的数 不是
4、小于2003的数
是
集合中的元素必须是明确的，不能是模棱两可的
组成集合的＿②＿＿．
(2)课本P5
(3)设集合A={-2,-1,0,1,2}，B={x∈A时,代数式 x2-1 的值}．则B中的元素是＿{＿3,0＿,-＿1}＿．
2．选择题
(1) 以下说法正确的( C )
(A) “实数Βιβλιοθήκη ”可记为{R}或{实数集}(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
思考3：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？
把研究的对象称为元素，通常用小写拉 丁字母a，b，c，…表示；把一些元素组成的 总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字 母A，B，C，…表示.
3.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的 元素．
问题提出
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉 语解释为:许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学 语言，我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究（一）
考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）华侨中学所有的高一同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
形式如 :{ | }
例2 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2 2 0的所有实数根组成的集合;
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解 : (1)设方程x2 2 0的实数根为x,并且满足条 件x2 2 0,因此,用描述法表示为
A { x R | x2 2 0}. 方程 x2 2 0有两个实数根 2, 2,因此, 用列举法表示为A { 2, 2}. (2)设 大 于10小 于20的 整 数 为x,它 满 足 条 件x Z 且10 x 20,因 此,用 描 述 法 表 示 为
例1 用列举法表示下列集合： (1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2 x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列 举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举方 法．例如 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不 能组成一个集合,因为其元素不确定
(2)已知2是集合M={0，a，a2-3a+2}中的元素，
则实数a为( C )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
3.集合A={1，-2，a2-1}，集合B={1，a2-3a,0}， 且A=B，求a的值.
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 N • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Z • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Q • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 R
4.元素与集合之间的关系
• 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A；
4. 下列集合中，表示同一集合的是 A. M={(3,2)}，N={(2,3)} B. M={1,2}，N={(1,2)} C. M={(x,y)|x+y=1}，N={y|x+y=1} D. M={3,2}，N={2,3}
B { x Z | 10 x 20}. 大 于10小 于20的 整 数 有11,12,13,14,15,16,17,18, 19,因 此,用 列 举 法 表 示 为 B {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
6.课堂练习
1.填空题 (1)现有:①不大于 3 的正有理数.②我校高一年 级所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实 根的一元二次方程．四个条件中所指对象不能
• 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合
A，记作 a A ；
例如，A＝｛所有能被3整除的整数｝
当a 6时, a A 当a 7时, a A
5．集合的几种表示方法
(1)自然语言法——用文字叙述的形式描述集 合的方法. A＝｛所有能被3整除的整数｝
(2) 列举法——将所给集合中的元素一一列举 出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分 开．
a=1
4.方程ax2+5x+c=0的解集是
1
2
，1 3
,求a,c的值
a=-6，c=-1
8．小结
• 集合的含义 • 元素与集合之间的关系 • 集合中元素的三个特征 • 集合的三种表示法
课后练习 1. 若x∈R，则数集{1,x,x2}中元素x应满足什么条件 2. -3∈{m-1，3m，m2+1},则m=_______ 3.设x∈R,y∈R,观察下面四个集合，它们表示的含 义相同吗？ A={y=x2-1} B={y|y=x2-1} C={x|y=x2-1} D={(x,y)|y=x2-1}
2．集合中元素具有的三个特征
⑴确定性——因集合是由一些元素组成的总体， 所以元素必须是确定的． ⑵互异性——即集合中的元素是互不相同的，如 果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个， 即集合中的元素是不重复出现的．
⑶无序性——即集合中的元素没有次序之分．
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这 两个集合是相等的
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B， 那么B={0，1}
(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C， 那么C={2，3，5，7，11，13，17，19}
(3) 描述法——用集合所含元素的共同特征表 示集合的方法.
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元 素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
思考1：上述每个问题都由若干个对象组成， 每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每 个对象都称为元素. 上述4个集合中的元素分别是什么？
思考2：下列任意一组对象是否都能组成一个集合？
1、所有小于0的整数
是
2、所有好人
不是
3、与2003非常接近的数 不是
4、小于2003的数
是
集合中的元素必须是明确的，不能是模棱两可的
组成集合的＿②＿＿．
(2)课本P5
(3)设集合A={-2,-1,0,1,2}，B={x∈A时,代数式 x2-1 的值}．则B中的元素是＿{＿3,0＿,-＿1}＿．
2．选择题
(1) 以下说法正确的( C )
(A) “实数Βιβλιοθήκη ”可记为{R}或{实数集}(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
思考3：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？
把研究的对象称为元素，通常用小写拉 丁字母a，b，c，…表示；把一些元素组成的 总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字 母A，B，C，…表示.
3.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的 元素．