专题十 内积空间与希尔伯特空间 ppt课件

注：1)由定理的证明过程易知, 只要M是H的完备子空间, 而H本身不完备, 定理结论也成立。从而上述正交分解式 也唯一.
n
n
x0 ckek x, ek ek
k 1
k 1
是x在内积空间H上的正交投影 n
n
x ckek x kek
k 1
k 1
2)设{en}是内积空间H的标准正交系, xH, {ck}={<x,ek>}, 则
2) < x+y, z>=<x, z>+<y, z>
3) <x,y+z>=<y+z,x>=<x,y>+<x,z>
4) <x,y>=<y,x>=<x,y>
2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离
定义2 (1)范数 x x, x 称为由内积诱导的范数。
(2)距离函数 (x, y) x y x y, x y
专题十 内积空间与希尔伯特空间
•内积空间与希尔伯特空间
•欧氏空间线性空间+内积内积空间 •内积空间+完备性希尔伯特空间
元素的长度（范数） •内积空间特点：
两向量夹角与正交
一、内积空间与希尔伯特空间的概念
1 内积与内积空间
定义1 设H是数域K上的线性空间，定义函数<·,·> :HHK, 使对 对x,y,zH, K, 满足
注：正交补的性质：
(1)U {0},{0} U
(2)M U, M M {0}
(3)M U , M 是U的闭线性子空间，即U的
完备子空间，
事实上， x,yL及zL, 有<x,z>=0,<y,z>=0 <x+y,z>=<x,z>+<x,z>=0 <x+y,z>LL为H线性子空间 {xn}L, xnx, zL <x,z>=lim<xn,z>=0xL L为H的闭子空间
1) <x+y, z>=<x, z>+<y, z)
内
2) <x,z>=<x,z>
积
3) <x,y>=<y,x>
公
4) <x, x> 0, 且<x, x>=0x=0 理
则称<x, y> 为数域K中x与y的内积, 而称定义了内积的空间 H为内积空间。
注：1) 当数域K为实数域时，称H为实的内积空间； 当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。
= ||(ym-x)+(x-yn)||2+||(ym-x)-(x-yn)||2-||(ym-x)-(x-yn)||2
= 2||ym-x||2+2||x-yn||2-||(ym+ yn)-2x||2 (平行四边形公式)
2||ym-x||2+2||x-yn||2-4d20 (m,n)
{xn}是基本列
2) 证明 {xn}在M中收敛
二、内积空间中的正交分解与投影定理
在解析几何中，有向量正交和向量投
影的概念，而且两个向量正交的充分必要
条件是它们的内积等于0，而向量x在空间
x
中坐标平面上的正交投影向量x0是将向量
x1
的起点移到坐标原点，过向量的终点做平
面的垂线所得的垂足与原点之间的有向线
x0
段而得到的。且有x=x0+x1, 其中x1该坐 标平面。这时称x=x0+x1为x关于做表面的 正交分解。
<x-x0,z>+<z,x-x0>-||2||z||20
特取
x
x0 , z2
z
z,
x x0 z2
|<x-x0,z>|20|<x-x0,z>|=0
<x-x0,z>=0x-x0z
x1=x-x0M x=x0+x1
4) 证明x0 是唯一的，从而上述正交分解式也是唯一的 设x0, x0’使x在M上的两个正交投影，则||x0-x0’||=0 ,x1=x0=x0’
定义5 (内积空间的同构) 设X,Y是同一数域K上的内积空 间，若存在映射T: XY, 保持线性运算和内积不变，即 x,yX, , K, 有
(1) T(x+y)=Tx+Ty, (2) <Tx,Ty>=<x,y> 则称内积空间X与Y同构，而称T为内积空间X到Y的同构 映射。
定理3 设X是内积空间，则必存在一个Hilbert空间H，使 X与H的稠密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述 条件的Hilbert空 间是唯一的。
<x0,xk>=<x,xk> (xkM, k=1,2,…,n)
n
k xk , xk x, xk , (k 1,2,...n) k 1 n
k xk , xk x, xk , (k 1,2,...n) k 1
x1, x1 x, x1
xn , x1
k
x1, xn x1, x1
k 1
最佳逼近问题实际上就是求正交投影的问题
(2) 最佳逼近问题的求解步骤： 设{xn}M线性无关，记M=span{x1, x2, …, xn}H
M是H的闭线性子空间
n
唯一的x0: x0 k xk M k 1 使得||x-x0||=inf||x-y||, 且对yM, 有<x-x0,y>=0
<x-x0,xk>=0 (xkM, k=1,2,…,n)
注 1）在一般的内积空间中，若xy，则有勾股定理 ||x+y||2=||x||2+||y||2成立，但反之不然。
事实上， ||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re(x,y)
2）在实内积空间中，xy||x+y||2=||x||2+||y||2，即勾股定理 成立
定义6 (正交补) 设H是内积空间, MH, 称集合 M={x|xy, yM}为M在H中的正交补。
1 正交的概念
定义5 (正交) 设H是内积空间， x,yH, M,NH. (1) xy<x,y>=0; (2) xMyM, 都有<x,y>=0; (3) MNx，yN,都有<x,y>=0.
定理4 (勾股定理) 设H是内积空间， 若x,yH, 且xy， 则 ||x+y||2=||x||2+||y||2
5 内积空间中的极限
定义4 （极限）设X是内积空间，{xn}X, xX及yX,
xn
,
x
lim
n
xn
x,
y
0
lim
n
xn
,
y
x,
y
定理2 设H是希尔伯特空间，则H中的内积<x,y>是x,y的
连续函数, 即{xn}、{yn}H, x, yH来自百度文库 若xnx, yny, 则
<xn,yn><x,y>
（线性运算对内积的连续性）
x=x0+x1
(其中x1M).
证 xH, 令x到M的距离(x,M)=inf||x=y||0
yM
{yn}M, 使得||yn-x||d (n) (下确界定义)
1) 证明 {yn}是基本列 M是H的线性子空间ym,ynM, 有
ym yn M ym yn x d
2
2
0 ||ym-yn||2 = ||(ym-x)+(x-yn)||2
例如 （1） i, j, k 是R3中的标准正交系。
（2）{ 1 , 1 cost, 1 sin t,..., 1 cos nt, 1 cos nt,...}
称为由内积诱导的距离。 注: (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系—— 许瓦兹不等式 |<x,y>|||x|| ||y||
(2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系：
x, y 1 ( x y 2 x y 2 i x iy 2 i x iy 2 ) 4
(3)由内积诱导的范数满足范数公理 内积空间按照由内积导出的范数，是线性赋范 空间。但反之不然
下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般 的内积空间
中。
其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用
投影定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积
看所特有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因
为巴拿赫空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理
还常被用来判定最佳逼近的存在性和唯一性。
证 xnx||xn-x||0
yny||yn-y||0
|<xn,yn> -< x,y>|<xn,yn> - <x,yn>|+|<x,yn>-<x,y>|
||xn-x|| ||yn|| + ||x|| ||yn-y||0
<xn,yn> <x,y> (n) 注：距离函数、范数、内积都是连续函数
6 内积空间的完备化
3 线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导 出的范数）的充分必要条件
定理1 线性赋范空间X是内积空间x,yX, 有 ||x+y||2 + ||x-y||2=2||x||2 + 2||y||
4 希尔伯特空间
(平行四边形公式或中线公式)
定义3 设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成 为Banach空间，则称H是希尔伯特空间。
||x||=1, ||y||=1 ||x+y||=max|1+(t-a)/(b-a)|=2, ||x-y||=max|1-(t-a)/(b-a)|=1
||x+y||2+||x-y||2=54=2(||x||2+||y||2) C[a,b]中范数不满足平行四边形公式， 因而不是由内积导出的范数 C[a,b]不是内积空间
R3中的向量正交概念一般内积空间中的向量正交概念
1 正交系的概念
定义7 (正交集与标准正交系) 设H是内积空间, MH,
（1）如果对x,yM, xy, 都有<x,y>=0，则称 M是H中
的正交系。
（2） {en}H,
若
0, m n; em , en 1, m n.
则称{en}是H中的标准正交系。
即对任何数组1, 2,…,n,有
2 正交投影的应用——最佳逼近问题
(1) 最佳逼近问题的一般提法： 设H是Hilbert空间，x, x1, x2, …, xnH, 要求寻找出n个数1,2,…,n, 使得
n
n
x k xk k 1
min
(1 ,..., n )
x
k xk
k 1
n
即要求出 x0 k xk span{x1, x2 ,...xn}
n
l2按照由内积导出的范数 x
xk2
k 1
是Banach空间，因而是Hilbert空间。
l2中由内积导出的距离为
(x, y)
x y, x y
12
xi yi 2
i1
b
例3 L2[a,b]空间按照内积 x, y x(t) y(t)dt a 是内积空间。
L2[a,b]按照由内积导出的范数
M使Hilbert空间的闭线性子空间M是完备的
x0M, 使ynx0 ,||yn-x||||x0-x|| (n) d=||x-x0||=inf||x-y||
yM
3) 证明x0 是x在M中的正交投影 记x1=x-x0, zM, z, Cx0+zM
||x-x0||2||x-(x0+z)||2=||x-x0||2-<x-x0,z>-<z,x-x0>-||2||z||2
n
例1 n维欧氏空间Rn按照内积 x, y xk yk
是内积空间。
k 1
n
Rn按照由内积导出的范数 x
xk2 是Banach空间，
因而是Hilbert空间。
k 1
Rn中由内积导出的距离为
(x, y)
x y, x y n
12
xi yi 2
i1
例2 l2空间按照内积 x, y xk yk 是内积空间。 k 1 (许瓦兹不等式)
k 1
使得||x-x0||最小。
(2) 最佳逼近问题的几何解释：记M=span{x1, x2, …, xn}H, 则 n x k xk 表示x到M上某点的距离 k 1
n
n
x k xk k 1
min
(1 ,..., n )
x
k xk
k 1
表示x到M的最短距离
n
x0 k xk 表示x在M上的正交投影
x, xn xk , x1
xn , xn xn , x1
x1, xn xk , xn xn , xn
n
x0 k xk , k 1
x1 x x0
(k 1,2,...n)
三、内积空间中的正交系与傅立叶级数
在解析几何中，向量i, j, k起着坐标架的作用，他们两 两正交，R3中一切向量x都能由他们线性表示： x=x1i+x2j+x3k。这是解析几何的基础。
2 正交分解与正交投影
定义10 (正交分解与正交投影) 设U是内积空间，MU
是线性子空间，xU, 如果存在x0M, x1M, 使得
x=x0+x1
（1）
则称x0为x在M上的正交投影，而成（1）式为x关于M的
正交分解。
定理14 (投影定理) 设M是希尔伯特空间H的闭线性子空
间，则对xH在M中存在唯一的正交投影x0, 使
x
b a
12
x(t) 2 dt
是Banach空间，因而是Hilbert空间。
L2[a,b]中由内积导出的距离为
(x, y) x y, x y b x(t) y(t) 2 1 2
a
例4 C[a,b]按照范数 x max x(t) 是线性赋范空间， t[a,b] 但C[a,b]不是内积空间 证 取x=1, y=(t-a)/(b-a)C[a,b]