高等数学基础

【高等数学基础】历年模拟题小抄版 高等数学基础 一、单项选择题
1．下列函数中为奇函数是(C)．
A ．y=xsinx
B ．y=lnx
C ．y=xcosx
D ．y = x+x 2
2．在下列指定的变化过程中，(A )是无穷小量．
)0(1
sin .→x x x A )(.-∞→-x e B x
)0(ln .→x x C )(sin .∞→x x D
3．设，(z)在X 。

可导，则=
--→h
x f h x f h )()2(lim
000
(D) )(.0x f A ')(2.0x f B ')(.0x f C '-)(2.0x f D '-
(A)
)()(.x f dx x f B ='⎰
)()(.x f dx x f d C =⎰)()(.x f x df D =⎰
5．下列积分计算正确的是(B)．
0)(.11=+⎰--dx e e A x x 0)(.1
1
=-⎰--dx e e B x x
0.2
1
1
=⎰-dx x C 0||.1
1
=⎰-dx x D
二、填空题 1．函数x x y ++-=
1)
3ln(1
的定义域是
[一1，2)U(2，3)． 2．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0
1
01sin
)(2x x x x
x x f 的间断点是——X=0．
3．曲线f(x)=e x
+1在(0，2)处的切线斜率是—1． 4．函数y=e -x2
的单调减少区间是——),0(+∞．
5．若是，的一个原函数，则=-
3
2x ． 三、计算题 1．计算极限
2．设2
sin x e
y x
-=
3．计算不定积分
.1
sin
2
dx x x ⎰
解：由换元积分法得
c u udu x
d x dx x x +=-=-=⎰
⎰⎰cos sin )1(1sin 1
sin
2c x +=1
cos
4．计算定积分.ln 2
1
xdx x e
⎰
解：由分部积分法得
)(ln 3
1|ln 3ln 31132
1x d x x x xdx x e e
e ⎰⎰-= )12(9
1|933133133133+=-=-=⎰e x e dx x x e e e 四、应用题
欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?
解．设底边的边长为2，高为h ，用材料为Y ，由已知
2232,32x
h h x =
= x x x
x x xh x y 12832.
442
2
22+=+=+= 令0128
22
=-
='
x x y ，解得z=4是唯一驻点，易知x=4是函数的极小值点，此时有24
32
2==h
所以当X=4，h=2时用料最省．
高等数学基础期末综合练习题
（一）单项选择题
⑴下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
(A) 2
)()(x x f =，x x g =)( (B) 2)(x x f =
，
x x g =)(; (C) 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= (D) 4ln )(x x f =，x x g ln 4)(=
⑵设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数
)()(x f x f --的图形关于（D ）对称．
(A) x y =(B) y 轴 (C) x 轴 (D) 坐标原点 ⑶当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．
(A) x 1 (B) x
x sin (C) 1e -x
(D) 32x x
⑷设)(x f 在点1=x 处可导，则=
--→h
f h f h )
1()21(lim 0
（D ）．
(A) )1(f ' (B) )1(f '- (C) )1(2f ' (D) )1(2f '-
⑸函数322
-+=x x y 在区间)4,2(内满足（B ）． (A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降 ⑹若x x f cos )(=，则
='⎰x x f d )(（B ）
． (A) c x +sin (B) c x +cos (C) c x +-sin (D) c x +-cos ⑺
=+-⎰
-x x x x d )22cos (2π
2
π7（D ）
． (A) 0 (B) π (C) 2π
(D) 2π ⑻若)(x f 的一个原函数是x 1
，则=')(x f （B ）．
(A) x ln (B) 32x
(C) x 1 (D) 21
x -
⑼下列无穷积分收敛的是（D ）． (A)
⎰
∞
+0
d cos x x (B)
⎰
∞
+-0
3d e x x
(C)
⎰
∞
+1
d 1x x (D)
⎰
∞
+1
d 1x x
（二）填空题 ⑴函数
x x x
y ++-=
2)
2ln(的定义域是
)2,1()1,2[ - ．
⑵函数⎩
⎨⎧≤>+=0sin 0
2x x x x y 的间断点是0=x ．
⑶若函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<+=0
0)
1()(31
x k
x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
⑷曲线2)(+=
x x f 在)2,2(处的切线斜率是
4
1． ⑸函数1)2(2
--=x y 的单调增加区间是),2(∞+． ⑹若
⎰
+=c x x x f 3sin d )(，则=)(x f x 3cos 3．
⑺=⎰x x
x d e d d 2
2
e
x ．
（三)计算题
⑴已知32)1(2
-+=+x x x f ，求)1
(,)2(,)(x
f f x f ．
答：f(x)=42
-x ,=0, =2
2
41x
x - ⑵计算极限x x x 5sin 6tan lim 0→． 答：x x x 5sin 6tan lim 0→=5
6
⑶计算极限545
6lim 221--++-→x x x x x 。

答：5456lim 221--++-→x x x x x =32-
⑷计算极限32)1sin(lim 21-+-→x x x x ． 答：32)1sin(lim
21-+-→x x x x =41 ⑸设2
ln sin x
x
x y -=，求'y ． 答：'y =
3
ln 2sin 21cos x
x
x x x +-- ⑹设x y 3
sin ln =，求y d ． 答：y d =x x d cot 3 ⑺设y
y x =()是由方程x y x y cos e e 3+=确定的函数，
求d y ．答：dy=x x
y x
y y x d cos 3e sin e 2
3-- ⑻计算不定积分
⎰
x x
x d sin ．
答：
⎰
x x
x d sin =c x +-cos 2
⑼计算不定积分⎰+x x x d )
ln 1(1
．
答：⎰
+x x x d )
ln 1(1
= c x ++ln 1ln
⑽计算不定积分⎰x x x
d e 21． 答：⎰x x x
d e
21 =c x +-1
e
⑾计算不定积分⎰x x x d ln 2．答：⎰x x
x d ln 2=c x x x +--1
ln ⑿计算定积分⎰102d e x x x ． 答：⎰102d e x x x =)1e (4
12
+
⒀计算定积分⎰e 12d ln x x x ．答： ⎰e 12d ln x x x =)12e (9
13
+
⒁计算定积分
⎰
e
1
d ln x x
x ． 答：⎰
e
1
d ln x x
x =e 24-
（四）应用题
⑴求曲线x y 22
=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最
短． 答：)2,
1(和)2,1(-
⑵圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为d ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 答：底半径d r 36=
，高d h 3
3= ⑶某厂要生产一种体积为V 的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？ 答：底半径3
πV r =，高3π
V h = ⑷欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开
口容器，怎样做法用料最省？
答：底边长5=x ，高5.2=h
（五）证明题
⑴试证：奇函数与奇函数的和是奇函数；奇函数与奇函数的乘积是偶函数．
⑵试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数． ⑶当0>x 时，证明不等式x x arctan >．
⑷当1>x 时，证明不等式e e x x
>．
⑸证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则
0d )(=⎰
-a
a
x x f ．。