题型2 专题2 反比例函数综合题

解：∵点
E
的坐标为
2，3 2
，点
B
的坐标为(2，3)，点
D
的坐标为(1，3)，
∴B D＝1，B E ＝3，B C＝2. 2
∵△F B C∽△DE B ，
∴DF CB ＝BE CB ，即F1C＝23， 2
解得 FC＝43.
∴OF＝OC－FC＝3－43＝53. ∴点 F 的坐标为0，53. 设直线 FB 的解析式为 y＝mx＋b(m≠0)． 把点(2，3)，0，53代入 y＝mx＋b 中， 得2bm＝＋53，b＝3，解得mb＝＝5323.， ∴直线 FB 的解析式 y＝23x＋53.
(2)求出点 B 的坐标，并根据图象直接写出满足不等式2xm＜kx－1 的 x 的取值范围． 解：由yy＝ ＝2x3，x－1，解得xy＝＝21，或xy＝＝－－323.， ∴B(－23，－3)． ∴由图象，知满足不等式2xm＜kx－1 的 x 的取值范围为－23＜x＜0 或 x＞1.
审题指导
1.一次函数与反比例函数综合题的考查形式 (1)用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式． (2)根据一次函数和反比例函数的图象，利用数形结合思想直接写出不等式的解集． (3)求不规则三角形(此处的不规则是指三角形三边均不与坐标轴平行或重合)的面 积、点的坐标或边所在直线的解析式．
解：如解图所示，矩形 OABP，矩形 OCDP 即为所求作的图形．(答案不唯一，满足 要求即可)
审题指导
1.反比例函数图象中作图题的考查形式 (1)求反比例函数的解析式． (2)根据反比例函数中|k|的几何意义，画出图形． 2．解决反比例函数图象中作图题的一般思路 (1)读图，找出反比例函数图象上的一点的坐标，代入反比例函数解析式，求得待定 系数． (2)根据对所画图形面积的要求，结合反比例函数中|k|的几何意义，画出图形．
2．解决一次函数与反比例函数综合题的一般思路 (1)先将已知交点代入反比例函数的解析式，求得反比例函数的解析式，再求另一交 点的坐标，最后利用待定系数法求得一次函数的解析式． (2)观察图象，判断两函数图象在交点两侧的部分的上、下位置关系(若图象不全， 则先将图象补充完整)，再根据题中的不等式求自变量的取值范围． (3)求不规则三角形的面积时，通常采用分割法，把不规则三角形转化为两个同底的 规则三角形求面积(此处的规则是指三角形三边中某一边与坐标轴平行或重合)．
∵点 D 为 BC 的中点，∴CD＝1.
∴点 D 的坐标为(1，3)．
把点(1，3)代入双曲线 y＝kx(x＞0)中，
得 k＝1×3＝3.
∵BA∥y 轴，
∴点 E 的横坐标为 2.
∵点 E 在双曲线 y＝3x上，∴y＝32.
∴点
E
的坐标为
2，3 2
.
(2)若点 F 是 OC 边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线 FB 的解析式．
(2)比较大小：AD
＝
BC(填“＞”或“＜”或“＝”)．
【提示】由一次函数的解析式为 y1＝23x＋2，可知 C(0，2)，D(－3，0)，
∴AD＝ （3＋3）2＋42＝2 13，BC＝ 62＋（－2－2）2＝2 13.∴AD＝BC．
(3)直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围． 解：x＜－6 或 0＜x＜3.
反比例函数与一次函数结合 典例 2 (2019·大庆 24 题)如图，反比例函数 y＝2xm和一次函数 y＝kx－1 的图象相 交于 A(m，2m)，B 两点． (1)求一次函数的表达式．
解：∵A(m，2m)在反比例函数图象上， ∴2m＝2mm. ∴m＝1. ∴A(1，2)． 又∵A(1，2)在一次函数 y＝kx－1 的图象上， ∴2＝k－1，解得 k＝3. ∴一次函数的表达式为 y＝3x－1.
题型二 解答题重难点题型
专题二 反比例函数综合题
反比例函数综合题是河南中考解答题的必考题，分值为 9 分，其考查的类型有：① 函数图象中的作图题；②反比例函数与一次函数结合；③反比例函数与几何图形结合； ④函数图象与性质的探究．
反比例函数图象中的作图题 典例 1 (2018·河南 18 题)如图，反比例函数 y＝kx(x＞0)的图象过格点(网格线的交 点)P.
类型一 反比例函数图象中的作图题 1．如图，直线 l1∶y＝x＋2 和直线 l2∶y＝－x＋4 交于点 A，反比例函数 y＝kx(k＞
0)的图象过点 A，并与直线 l2 交于另外一点 C，连接 BC，OC．
(1)求反比例函数的解析式．
解：联立yy＝ ＝x－＋x2＋，4，解得xy＝＝31.， ∴A(1，3)． 把 A(1，3)代入 y＝kx中，得 k＝1×3＝3. ∴反比例函数解析式为 y＝3x.
(2)若点 P 为 x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标．
反比例函数与几何图形结合 典例 3 (2013·河南 20 题)如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为(2，3)．双曲线 y＝kx(x＞0)的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连 接 DE. (1)求 k 的值及点 E 的坐标．
解：∵BC∥x 轴，点 B 的坐标为(2，3)，∴BC＝2.
4．(2019·岳阳)如图，双曲线 y＝mx 经过点 P(2，1)，且与直线 y＝kx－4(k＜0)有两个 不同的交点．
(1)求 m 的值．
解：∵双曲线 y＝mx 经过点 P(2，1)， ∴m＝2×1＝2.
(2)求 k 的取值范围． 解：∵双曲线 y＝2x与直线 y＝kx－4(k＜0)有两个不同的交点， ∴2x＝kx－4，整理为 kx2－4x－2＝0. ∴Δ＝(－4)2－4k×(－2)＞0. ∴k＞－2. ∴k 的取值范围是－2＜k＜0.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
解：把 A(3，4)代入 y2＝mx 中，得 4＝m3 ， ∴m＝12. ∴反比例函数的解析式为 y2＝1x2. ∵点 B(a，－2)在反比例函数 y2＝1x2的图象上， ∴－2＝1a2，解得 a＝－6.
∴B(－6，－2)． ∵一次函数 y1＝kx＋b 的图象经过 A(3，4)，B(－6，－2)两点， ∴3－k＋6kb＋＝b4＝，－2，解得bk＝＝223.， ∴一次函数的解析式为 y1＝23x＋2.
解：②直线与函数 y＝4x(x>0)的图象交点还有两种情况： 当有 0 个交点时，周长 m 的取值范围是 0<m<8； 当有 2 个交点时，周长 m 的取值范围是 m>8.
(4)得出结论
若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为
m≥8
．
审题指导
解决函数图象与性质的探究问题的方法 1．建立函数模型：根据题中条件，列出方程，并根据自变量和因变量的取值范围， 可知函数图象所在象限． 2．描点、连线画函数图象：用平滑的曲线或直线依次连接各点即可． 3．利用函数与方程之间的关系，解决相应问题，常见问题是函数图象的交点与方 程的解的个数之间的关系． 4．利用函数的图象与性质解决其他知识相关的问题．
(3)平移直线 y＝－x，观察函数图象
①当直线平移到与函数 y＝4x(x＞0)的图象有唯一交点(2，2)时，周长 m 的值
为
8
；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的
＝－x＋m2 ，得 2＝－2＋m2 ，解得 m＝8.②联立 y＝4x和 y＝－x＋m2 ，并整理得 x2－12mx＋4＝0.当 Δ＝14m2－4×4＞0 时，两个函数有 2 个交点， 解得 m＞8.当 Δ＝14m2－16＜0 时，两个函数没有交点，解得 0＜m＜8.
解：由(1)知，a＝2，A(－2，2)，C(－4，1)， ∴直线 AC 的解析式为 y＝12x＋3. 根据题意，知直线 AP 的解析式为 x＝－2. ∵∠PAC＝∠PAB，
①当点 B 在直线 AC 上时，直线 AB 的解析式为 y＝12x＋3. ②当点 B 不在直线 AC 上时，点 C(－4，1)关于直线 AP∶x＝－2 的对称点为 C′(0，1)， ∴直线 AC′的解析式为 y＝－12x＋1，即直线 AB 的解析式为 y＝－12x＋1.
(2)在图中用 2B 铅笔和直尺、圆规画出一个△OPQ(不写画法)，满足以下条件： ①P 点(不与 O 点重合)在横坐标轴上，Q 点在反比例函数图象上； ②三角形的面积等于△BOC 面积的 1.5 倍． 解：∵B 点是 l1 和 x 轴的交点， ∴B(－2，0)． ∴OB＝2. ∵C 点是 l2 和反比例函数的交点， ∴C(3，1)． ∴|yC|＝1.
∴S△BOC＝12OB·|yC|＝12×2×1＝1. ∴S△OPQ＝1.5＝k2. 在双曲线上任选一个点 Q，向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 P，连接 OQ，PQ，△OPQ 即为所求，如解图所示．
类型二 反比例函数与一次函数结合 2．(2019·襄阳)如图，已知一次函数 y1＝kx＋b 与反比例函数 y2＝mx 的图象在第一、 第三象限分别交于 A(3，4)，B(a，－2)两点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C，D 两点．
在 Rt△ADB 中，BD＝ AB2－AD2＝4， ∴OD＝OB＋BD＝9.∴A(9，3)． 将点 A(9，3)代入反比例函数 y＝mx 中，得 m＝9×3＝27. ∴反比例函数的解析式为 y＝2x7. 将点 A(9，3)，B(5，0)代入直线 y＝kx＋b 中， 得95kk＋ ＋bb＝ ＝30， ，解得kb＝ ＝34－，145. ∴直线 AB 的解析式为 y＝34x－145.
m，得
2(x ＋ y) ＝ m ， 即
y
＝
－
x
＋
m 2
.
满
足
要
求
的
(x
，
y)
应
是
两
个
函
数
图
象
在
第
象限内交点的坐标．
解：一．
(2)画出函数图象 函数 y＝4x(x＞0)的图象如图所示，而函数 y＝－x＋m2 的图象可由直线 y＝－x 平移得 到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 y＝－x.
解：所画图形如解图所示．
(1)求反比例函数的解析式．
解：由图象可知，点 P 的坐标为(2，2)． ∵点 P 在反比例函数的图象上， ∴2＝k2. ∴k＝4. ∴反比例函数的解析式为 y＝4.
x
(2)在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列 两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P； ②矩形的面积等于 k 的值．
3．(2019·周口二模)如图，点 A(－2，a)，C(3a－10，1)是反比例函数 y＝mx (x＜0)图 象上的两点．
(1)求 m 的值．
解：∵A(－2，a)，C(3a－10，1)两点在反比例函数 y＝mx 的图象上， ∴m＝－2a＝3a－10. ∴a＝2，m＝－4.
(2)过点 A 作 AP⊥x 轴于点 P.若直线 y＝kx＋b 经过点 A，且与 x 轴交于点 B，当∠PAC ＝∠PAB 时，求直线 AB 的解析式．
类型三 反比例函数与几何图形结合 5．(2019·泰安)已知一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝mx 的图象交于点 A， 与 x 轴交于点 B(5，0)．若 OB＝AB，且 S△OAB＝125.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式．
解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，如解图 1 所示． ∵B(5，0)， ∴OB＝5. ∵S△OAB＝125， ∴12OB·AD＝125. ∴AD＝3. ∵OB＝AB， ∴AB＝5.
函数图象与性质的探究
典例 4 (2019·河南 21 题)模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具．对于 m 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行 探究，过程如下：
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为 x，y.由矩形的面积为 4，得 xy＝4，即 y＝4x；由周长为
审题指导
对于反比例函数与几何图形的综合题，常涉及以下几个方面： 1．求反比例函数的解析式； 2．涉及求点坐标时：(1)求交点坐标，应与图象联系在一起，观察图象，得出该点 的横坐标(或纵坐标)代入已知的解析式中即可求解；(2)给出图形的面积求点的坐标，根 据解析式设出该点只含一个未知数的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解．